最后更新: 2024-12-09 17:02 查看: 93 次反馈同步训练

再谈函数及其图象

1. $y=2 x, \quad(x \in R )$;
2. $y=2 x, \quad(0 \leq x \leq 5)$;
3. $y=2 x, \quad(x$ 是整数).

解：1的图象是图 4.35(a) 的直线 $A B ; 2$ 的图象是图 4.35(b) 的线段 $C D ; 3$ 的图象是图 4.35(c) 的一些离散的点.
 ![图片](/uploads/2024-12/ff0a35.jpg)
 
 从这里我们再次体会到, 当谈论函数时是离不开定义域的, 因为若函数表达式一样, 而其定义域不同, 则它们的图象会差之干里, 故例中 $1 、 2 、 3$ 三个函数不能认为是相同的函数。

有时用公式表示的函数，在它的定义域的不同部分可以用不同的公式表示，即可用若干公式表示变量间的关系, 请看下例:

例 4.27 火车在 9 小时内从 A 行驶到 B , 在最初三小时内, 它的行驶速度为 50 公里/小时, 接下来它停止了两小时, 在最后的四小时内, 它以速度 60 公里/小时行驶到达 B. 试表示行车路程和时间的关系.

解: 以 $x$ 表示时间, 单位为小时; 以 $y$ 表示走过的路程, 单位为公里, 我们就得到下面的函数式 $y=f(x)$ :

$$
y=f(x)= \begin{cases}50 x & 0 \leq x \leq 3 \\ 150 & 3 \leq x \leq 5 \\ 150+60(x-5) & 5 \leq x \leq 9\end{cases}
$$

显见, 对于定义域 $[0,9]$ 内每一个 $x$ 值, $y$ 就有唯一确定的值和它对应, 因而 $f(x)$ 是个定义在 $[0,9]$ 上的函数, 但这个函数是用几个不同的式子给出来的,这个函数的图象画在图 4.36 中.
 ![图片](/uploads/2024-12/59ec6f.jpg)
 
 例 4.28 画出函数 $y=|x|$ 的图象.
解：这个函数的定义域是一切实数，按照绝对值的定义我们有：

$$
y=|x|= \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}
$$

图象是折线（图4.37）
 ![图片](/uploads/2024-12/05aee9.jpg)

例4.29 已知 $f(x)=|x+1|+\sqrt{(x-2)^2}$
1. 求函数的定义域;
2. 当 $-1 \leq x<2$ 时, 化简函数的解析式;
3. 作出函数的图象, 并说明函数的值域是什么?

解:
1. 对于 $|x+1|, x$ 可取一切实数; 对于 $\sqrt{(x-2)^2}, x$ 必须满足 $(x-2) \geq 0$,这个不等式对于一切实数都成立，所以函数的定义域是一切实数.
2. $\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|, f(x)=|x+1|+|x-2|$, 要脱掉绝对值符号需分段讨论. 我们知道 $x=-1$ 时, $|x+1|=0 ; x=2$ 时, $|x-2|=0$, 故 $-1,2$ 把数轴分为三段： $(-\infty,-1),[-1,2),[2,+\infty)$.
- 当 $x \in(-\infty,-1)$ 时,

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