最后更新: 2024-12-09 17:02 查看: 56 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

再谈函数及其图象

1. $y=2 x, \quad(x \in R )$;
2. $y=2 x, \quad(0 \leq x \leq 5)$;
3. $y=2 x, \quad(x$ 是整数).

解：1的图象是图 4.35(a) 的直线 $A B ; 2$ 的图象是图 4.35(b) 的线段 $C D ; 3$ 的图象是图 4.35(c) 的一些离散的点.
 ![图片](/uploads/2024-12/ff0a35.jpg)
 
 从这里我们再次体会到, 当谈论函数时是离不开定义域的, 因为若函数表达式一样, 而其定义域不同, 则它们的图象会差之干里, 故例中 $1 、 2 、 3$ 三个函数不能认为是相同的函数。

有时用公式表示的函数，在它的定义域的不同部分可以用不同的公式表示，即可用若干公式表示变量间的关系, 请看下例:

例 4.27 火车在 9 小时内从 A 行驶到 B , 在最初三小时内, 它的行驶速度为 50 公里/小时, 接下来它停止了两小时, 在最后的四小时内, 它以速度 60 公里/小时行驶到达 B. 试表示行车路程和时间的关系.

解: 以 $x$ 表示时间, 单位为小时; 以 $y$ 表示走过的路程, 单位为公里, 我们就得到下面的函数式 $y=f(x)$ :

$$
y=f(x)= \begin{cases}50 x & 0 \leq x \leq 3 \\ 150 & 3 \leq x \leq 5 \\ 150+60(x-5) & 5 \leq x \leq 9\end{cases}
$$

显见, 对于定义域 $[0,9]$ 内每一个 $x$ 值, $y$ 就有唯一确定的值和它对应, 因而 $f(x)$ 是个定义在 $[0,9]$ 上的函数, 但这个函数是用几个不同的式子给出来的,这个函数的图象画在图 4.36 中.
 ![图片](/uploads/2024-12/59ec6f.jpg)
 
 例 4.28 画出函数 $y=|x|$ 的图象.
解：这个函数的定义域是一切实数，按照绝对值的定义我们有：

$$
y=|x|= \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}
$$

图象是折线（图4.37）
 ![图片](/uploads/2024-12/05aee9.jpg)

例4.29 已知 $f(x)=|x+1|+\sqrt{(x-2)^2}$
1. 求函数的定义域;
2. 当 $-1 \leq x<2$ 时, 化简函数的解析式;
3. 作出函数的图象, 并说明函数的值域是什么?

解:
1. 对于 $|x+1|, x$ 可取一切实数; 对于 $\sqrt{(x-2)^2}, x$ 必须满足 $(x-2) \geq 0$,这个不等式对于一切实数都成立，所以函数的定义域是一切实数.
2. $\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|, f(x)=|x+1|+|x-2|$, 要脱掉绝对值符号需分段讨论. 我们知道 $x=-1$ 时, $|x+1|=0 ; x=2$ 时, $|x-2|=0$, 故 $-1,2$ 把数轴分为三段： $(-\infty,-1),[-1,2),[2,+\infty)$.
- 当 $x \in(-\infty,-1)$ 时,

$$
f(x)=|x+1|+|x-2|=-(x+1)-(x-2)=-2 x+1
$$

- 当 $x \in[-1,2)$ 时, $f(x)=(x+1)-(x-2)=3$
- 当 $x \in[2,+\infty)$ 时, $f(x)=(x+1)+(x-2)=2 x-1$

即:

$$
f(x)= \begin{cases}-2 x+1 & x<-1 \\ 3 & -1 \leq x<2 \\ 2 x-1 & x \geq 2\end{cases}
$$
3. 画出的图象是图 4.38. 由观察图象知:
- 当 $x<-1$ 时, $f(x)=-2 x+1>3$;
- 当 $-1 \leq x<2$ 时, $f(x)=3$;
- 当 $x \geq 2$ 时, $f(x)=2 x-1 \geq 3$

所以函数的值域是 $f(x) \geq 3$ 的一切实数.
 ![图片](/uploads/2024-12/c00370.jpg)
 
 下面我们再来看一类函数作为本章的结束.
例4.30 邮局规定，寄往外埠普通信件重量不超过 20 克者邮资 8 分，重量超过 20 克但不超过 40 克者，邮资 1 角 6 分，重量超过 40 克但不超过 60 克者，邮资 2 角 4 分，依此每增加 20 克邮资增加 8 分，因此邮资是重量 $x$ 的函数，函数的图象为图 4.39.
 ![图片](/uploads/2024-12/94d6b8.jpg)
 
 这种类型的函数称为阶梯函数, 它的特点是: 自变量 $x$ 的变化范围分成若干区间，在每个区间中，因变量 $y$ 的值是不变的，但对应不同区间， $y$ 值是可

第二节 一次函数（线性函数）
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以不同的，在每个区间的端点处，因变量 $y$ 的值有一个跳跃，也就是说函数的图象不是连续的，而有间断的地方。

例 4.27 和例 4.30 中的函数从总体看也是递增变化的，但有时不增也不减处在平稳状态，这样的函数称为不减的。

## 定义
如果对于开区间 $(a, b)$ （或闭间 $[a, b]$ ）的任意两个自变量的值 $x_1$ 和 $x_2$ ：
- 当 $x_1<x_2$ 时, 可以推出 $f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right)$, 那么函数 $f(x)$ 称为在开区间 $(a, b)$ （或闭区间 $[a, b]$ 上）不减.
- 当 $x_1<x_2$ 时, 可以推出 $f\left(x_1\right) \geq f\left(x_2\right)$, 那么函数 $f(x)$ 称为在开区间（或闭区间 $[a, b]$ 上不增.

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