最后更新: 2024-12-09 17:08 查看: 60 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

多项式函数的增减性

一、多项式函数的增减性
我们已经在第四章中，给出了函数在某一区间上是增函数和减函数的定义，在前面也讨论过一、二次函数的增减性与极值. 这就是：

一次函数 $f(x)=k x+b$
- 当 $k>0$ 时, 一次函数 $f(x)=k x+b$ 在定义域 $(-\infty,+\infty)$ 上递增;
- 当 $k<0$ 时, 一次函数 $f(x)=k x+b$ 在定义域 $(-\infty,+\infty)$ 上递减.
- 一次函数在定义域 $(-\infty,+\infty)$ 上无极值.

二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c$
- 当 $a>0$ 时, 二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c$ 在 $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right)$ 上递减, 在 $\left(-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$ 上递增, 且当 $x=-\frac{b}{2 a}$ 时, $y_{\min }=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$.
- 当 $a<0$ 时, 二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c$ 在 $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right)$ 上递增, 在 $\left(-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$ 上递减, 且当 $x=-\frac{b}{2 a}$ 时, $y_{\max }=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$.
可是对于二次以上的多项式函数就不能象二次多项式那样，利用配方和图象来研究它. 在研究二次以上多项式函数的时候, 确定出函数的递增、递减变
化的区间对作出函数的图象, 求出函数的极值都很重要, 下面举一个例子来说明。

例 5.27 证明函数 $y=x^3-3 x$ 在开区间 $\left.(-\infty),-1\right)$ 上递增; 在开区间 $(-1,+1)$上递减；在开区间 $(1,+\infty)$ 上递增；作出这个函数图象的草图.

解：
1. 设 $x_1<x_2<-1$, 则 $-x_1>-x_2>1$, 从而 $\left(-x_1\right)\left(-x_2\right)>1$, 即 $x_1 \cdot x_2>1$.

$$
\begin{aligned}
& f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=x_2^3-3 x_2-\left(x_1^3-3 x_1\right) \\
&=x_2^3-x_1^3-3\left(x_2-x_1\right) \\
&=\left(x_2-x_1\right)\left(x_2^2+x_2 x_1+x_1^2-3\right) \\
&>\left(x_2-x_1\right)\left(3 x_2 x_1-3\right) \\
&=3\left(x_2-x_1\right)\left(x_2 x_1-1\right) \\
& \because \quad x_2-x_1>0, \quad x_2 x_1-1>0 \\
& \therefore \quad f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)>0, \text { 即 } f(x)=x^3-3 x \text { 在 }(-\infty,-1) \text { 上递增. }
\end{aligned}
$$

2. 设 $-1<x_1<x_2<1$, 当 $-1<x_1<x_2<0$ 时, 有 $1>-x_1>-x_2>0$,从而 $\left(-x_1\right)\left(-x_2\right)<1$, 即 $x_1 x_2<1$; 当 $-1<x_1<0<x_2<1$ 时, 有 $x_1 x_2<0<1 ; 0<x_1<x_2<1$ 时, 有 $x_1 x_2<1$, 无论哪种情形都有 $x_1 x_2<1$. 因此由 (5.28) 得到: $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)<0$, 即 $f(x)=x^3-3 x$ 在 $(-1,1)$ 上递减.
3. 设 $1<x_1<x_2$, 则 $x_1 x_2>1$. 因此由 (5.28) 得到: $f\left(x_2\right)-f(x 1)>0$, 即
$f(x)=x^3-3 x$ 在 $(1,+\infty)$ 上递增.
这个函数的图象通过原点且关于原点对称，函数变化增、减情形如下表：
 
 ![图片](/uploads/2024-12/2ce6e5.jpg)
草图如图5.29.
现在的问题是怎样找出一个多项式函数的递增区间和递减区间？
我们的办法是考虑多项式函数在各点的变化趋向，也就是考虑函数 $f(x)$在 $x=x_0$ 这一点有递增变化趋向，还是有递减变化趋向？从图5.29可以直观地看出随着 $x$ 值的增加，当 $x=2$ 时， $f(x)=x^3-3 x$ 有递增变化趋向，当 $x=-\frac{1}{2}$ 时, $f(x)=x^3-3 x$ 有递减变化趋向; 当 $x=-1$ 时, 函数由递增转
 ![图片](/uploads/2024-12/82cb58.jpg)
 
 变到递减; 当 $x=1$ 时, 函数由递减转变到递增, 现在我们来考虑如何给函数在某一点递增或递减的概念以明确的定义, 一个很自然的办法是让自变量从 $x_0$点开始作很小的改变。令 $x-x_0=h$, 即 $x=x_0+h$, 这里 $h$ 可正、可负, 但是它的绝对值很小, 我们把 $h$ 叫做自变量的改变量, 以 $x=x_0+h$ 代人 $f(x)$,得到自变量改变量的对应函数 $f\left(x_0+h\right)$ ，我们把差 $f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)$ 叫做函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 这一点的改变量.

定义
如果存在一个充分小正数 $\delta$, 使得在以 $x_0$ 为中心的开区间 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$,即在点 $x_0$ 的邻域内, 使得
1. 对于一切点 $x=x_0+h(-\delta<h<0)$ 和一切点 $x^{\prime}=x_0+h^{\prime}(0<$ $h^{\prime}<\delta$ ), 有

$$
f\left(x_0+h\right)<f\left(x_0\right)<f\left(x_0+h^{\prime}\right)
$$

则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 递增（图5.30），
2. 对于一切点 $x=x_0+h(-\delta<h<0)$ 和一切点 $x=x_0+h^{\prime}(0<$ $h^{\prime}<\delta$ ), 有

$$
f\left(x_0+h\right)>f\left(x_0\right)>f\left(x_0+h^{\prime}\right)
$$

则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 递减（图5.31）。

例 5.28 说明 $f(x)=x^3-3 x$ 在点 $x_0=2$ 是递增.
 ![图片](/uploads/2024-12/14b204.jpg)
 
 解: 取一个充分小的 $\delta>0$, 譬如 $\delta=0.01$, 令 $0<|h|<0.01$, 即 $-0.01<h<$ $0.01, h \neq 0$.

函数在点 $x=2$ 的改变量是 $f(2+h)-f(2)$,

$$
\begin{aligned}
f(2+h) & =(2+h)^3-3(2+h) \\
& =8+12 h+6 h^2+h^3-6-3 h \\
& =2+9 h+6 h+h^3
\end{aligned}
$$

又 $f(2)=2^3-3 \times(2)=2$,

$$
\therefore \quad f(2+h)-f(2)=9 h+6 h^2+h^3
$$

当 $x=2+h$ 在点 2 的左边, 且 $-0.01<h<0$ 时, 我们来确定 $f(2+h)-f(2)$的符号, 暂取 $h=-0.009$, 于是

$$
\begin{aligned}
f(2-0.009)-f(2) & =9\left(-9 \times 10^{-3}\right)+6\left(-9 \times 10^{-3}\right)^2+\left(-9 \times 10^{-3}\right)^3 \\
& =-0.0081+0.00000486-0.00000000729
\end{aligned}
$$

我们看到这个算式的后面两项的和的绝对值，比第一项的绝对值小得多，所以略去后面两项，不会改变结果的符号。因此，只要 $\delta$ 充分小， $f(2+h)-f(2)$的符号，完全可以由 $h$ 的一次幂项的符号决定，这就是说当 $-0.01<h<0$ 时， $f(2+h)-f(2)>0$.

当 $x=2+h$ 在点 2 的右边且 $0<h<0.01$ 时, 我们来确定 $f(2+h)-f(2)$的符号, 暂取 $h=0.0001$, 于是

$$
\begin{aligned}
f(2+0.0001)-f(2) & =9\left(10^{-4}\right)+6\left(10^{-4}\right)^2+\left(10^{-4}\right)^3 \\
& =0.0009+0.00000006+0.000000000001
\end{aligned}
$$

我们看到只要 $h$ 是一个微小的数量, 那么 $h^2, h^3$ 就是更小, 更更小的量, 略去含 $h^2$ 和 $h^3$ 的项，不影响 $f(2+h)-f(2)$ 的符号，这也就是说只要充分小，那么 $f(2+h)-f(2)$ 的符号与它的按 $h$ 升幂展开式中的 $h$ 的一次项的符号一致，所以当 $0<h<0.01$ 时， $f(2+h)-f(2)>0$ 。

根据上面的定义, 我们说 $f(x)=x^3-3 x$ 在点 $x_0=2$ 是递增的.
让我们来找出一般的三次多项式函数 $f(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0$, 在点 $x=x_0$ 的递增性或递减性的判别方法.

取充分小的 $\delta>0, f(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0$, 在点 $x=x_0$ 的邻近一点 $x=x_0+h$ (这里 $|h|<\delta$ ) 的函数值 $f\left(x_0+h\right)$, 按 $h$ 的升幂展开得到

$$
\begin{aligned}
f\left(x_0+h\right)= & a_3\left(x_0+h\right)^3+a_2\left(x_0+h\right)^2+a_3\left(x_0+h\right)+a_0 \\
= & a_3 x_0^3+3 a_3 x_0^2 h+3 a_3 x_0 h^2+a_3 h^3+a_2 x_0^2+2 a_2 x_0 h \\
& \quad+a_2 h^2+a_1 x_0+a_1 h+a_0 \\
= & f\left(x_0\right)+\left(3 a_3 x_0^2+2 a_2 x_0+a_1\right) h+\left(3 a_3 x_0+a_2\right) h^2+a_3 h^3
\end{aligned}
$$

在 $x_0$ 处的函数改变量：

$$
f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)=\left(3 a_3 x_0^2+2 a_2 x_0+a_1\right) h+\left(3 a_3 x_0+a_2\right) h^2+a_3 h^3
$$
因为当 $\delta$ 充分小时, 在 $3 a_3 x_0^2+2 a_2 x_0+a_1 \neq 0$ 的场合, $f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)$ 的符号与 $h$ 的一次幂项即 $\left(3 a_3 x_0^2+2 a_2 x_0+a_1\right) h$ 的符 $f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)$ 的符号与 $h$ 的系数 $3 a_3 x_0^2+2 a_2 x_0+a_1$ 的符号一致。这样
- 如果

$$
3 a_3 x_0^2+2 a_2 x_0+a_1>0
$$

则 $\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}>0$, 即: 当 $h<0$ 时, 由 $\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}>0$,得到 $f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)<0$ ；当 $h>0$ 时，由 $\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}>0$ ，得到 $f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)>0$. 因此条件 (5.29) 表明 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 递增.
- 如果

$$
3 a_3 x_0^2+2 a_2 x_0+a_1<0
$$

则 $\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}<0$, 即: 当 $h<0$ 时, $f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)>0$; 当 $h>0$ 时, $f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)<0$. 因此条件 (5.30) 表明 $f(x)$ 在点 $x=x_0$递减。

数 $3 a_3 x_0^2+2 a_2 x_0+a_1$ 可以看作多项式 $f^{\prime}(x)=3 a_3 x_0^2+2 a_2 x_0+a_1$ 在 $x=x_0$ 的值. 而多项式 $f^{\prime}(x)=3 a_3 x_0^2+2 a_2 x_0+a_1$ 称为原来多项式函数的导出函数, 它的二次项系数等于原来多项式的三次项系数与 3 的乘积, 它的一次项系数等于原来多项式二次项的系数与 2 的乘积, 它的常数项等于原来多项式一次项的系数。

将上面讨论的结果总结成下面的定理：
定理
如果 $f(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0$ 的导函数 $f^{\prime}(x)=3 a_3 x_0^2+2 a_2 x_0+a_1$在 $x=x_0$ 的值 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$, 则 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 递增; 如果 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的值 $f^{\prime}\left(x_0\right)<0$, 则 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 递减.
$f^{\prime}\left(x_0\right)$ 也简称为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的导数.
推论
如果三次多项式 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$, 在区间 $(a, b)$ 内各点有 $f^{\prime}(x)>0$成立，那么 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 上递增。
如果 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $(c, d)$ 内各点有 $f^{\prime}(x)<0$ 成立, 那么 $f(x)$ 在区间 $(c, d)$ 上递减.（定理和推论的严格证明在第六册）

虽然我们在上面仅讨论了三次多项式函数，其实 $n$ 次多项式函数也有类似上面的定理与推论.

例 5.29 确定 $f(x)=x^3-3 x$ 的递增区间和递减区间.
解: $f(x)=x^3-3 x$ 的导函数是 $f^{\prime}(x)=3 x^2-3=3\left(x^2-1\right)$. 它的两个零点是 -1 和 1.

因为, 当 $x<-1$ 或 $x>1$ 时, $f^{\prime}(x)=3(x-1)>0$, 所以 $f(x)=x^3-3 x$在区间 $(-\infty,-1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上递增。

因为, 当 $-1<x<1$ 时, $f^{\prime}(x)=3(x-1)<0$, 所以 $f(x)=x^3-3 x$ 在区间 $(-1,1)$ 上递减.
注意：在 $x=1$ 或 $x=-1$ 这两个点，函数既不是递增也不是递减.
例 5.30 确定 $f(x)=(x-1)^2(x-2)$ 的递增区间和递减区间, 并画出这个函数图象的草图.

解：

$$
f(x)=(x-1)^2(x-2)=x^3-4 x^2+5 x-2
$$

导函数 $f^{\prime}(x)=3 x^2-8 x+5=(3 x-5)(x-1)$
- 当 $x<1$ 或 $x>\frac{5}{3}$ 时, $f^{\prime}(x)>0$, 所以 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 1)$ 和 $\left(\frac{5}{3},+\infty\right)$上递增；
- 当 $1<x<\frac{5}{3}$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 所以 $f(x)$ 在区间 $\left(1, \frac{5}{3}\right)$ 上递减.

又 $x$ 轴与 $y=(x-1)^2(x-2)$ 的图象交于一个二重点 $(1,0)$ 和点 $(2,0)$, 由此知道函数的图象与 $x$ 轴切于 $(1,0)$ 点. 把 $f(x)=(x-1)^2(x-2)$ 的递增变化和递减变化的情形列成下面的表, 就更加醒目.

![图片](/uploads/2024-12/c38ec3.jpg)
 图象的草图如图 5.32
  ![图片](/uploads/2024-12/3a3831.jpg)

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