最后更新: 2024-12-09 17:08 查看: 193 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

多项式函数的增减性

一、多项式函数的增减性
我们已经在第四章中，给出了函数在某一区间上是增函数和减函数的定义，在前面也讨论过一、二次函数的增减性与极值. 这就是：

一次函数 $f(x)=k x+b$
- 当 $k>0$ 时, 一次函数 $f(x)=k x+b$ 在定义域 $(-\infty,+\infty)$ 上递增;
- 当 $k<0$ 时, 一次函数 $f(x)=k x+b$ 在定义域 $(-\infty,+\infty)$ 上递减.
- 一次函数在定义域 $(-\infty,+\infty)$ 上无极值.

二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c$
- 当 $a>0$ 时, 二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c$ 在 $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right)$ 上递减, 在 $\left(-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$ 上递增, 且当 $x=-\frac{b}{2 a}$ 时, $y_{\min }=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$.
- 当 $a<0$ 时, 二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c$ 在 $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right)$ 上递增, 在 $\left(-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$ 上递减, 且当 $x=-\frac{b}{2 a}$ 时, $y_{\max }=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$.
可是对于二次以上的多项式函数就不能象二次多项式那样，利用配方和图象来研究它. 在研究二次以上多项式函数的时候, 确定出函数的递增、递减变
化的区间对作出函数的图象, 求出函数的极值都很重要, 下面举一个例子来说明。

例 5.27 证明函数 $y=x^3-3 x$ 在开区间 $\left.(-\infty),-1\right)$ 上递增; 在开区间 $(-1,+1)$上递减；在开区间 $(1,+\infty)$ 上递增；作出这个函数图象的草图.

解：
1. 设 $x_1<x_2<-1$, 则 $-x_1>-x_2>1$, 从而 $\left(-x_1\right)\left(-x_2\right)>1$, 即 $x_1 \cdot x_2>1$.

$$
\begin{aligned}
& f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=x_2^3-3 x_2-\left(x_1^3-3 x_1\right) \\
&=x_2^3-x_1^3-3\left(x_2-x_1\right) \\
&=\left(x_2-x_1\right)\left(x_2^2+x_2 x_1+x_1^2-3\right) \\
&>\left(x_2-x_1\right)\left(3 x_2 x_1-3\right) \\
&=3\left(x_2-x_1\right)\left(x_2 x_1-1\right) \\
& \because \quad x_2-x_1>0, \quad x_2 x_1-1>0 \\
& \therefore \quad f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)>0, \text { 即 } f(x)=x^3-3 x \text { 在 }(-\infty,-1) \text { 上递增. }
\end{aligned}
$$

2. 设 $-1<x_1<x_2<1$, 当 $-1<x_1<x_2<0$ 时, 有 $1>-x_1>-x_2>0$,从而 $\left(-x_1\right)\left(-x_2\right)<1$, 即 $x_1 x_2<1$; 当 $-1<x_1<0<x_2<1$ 时, 有 $x_1 x_2<0<1 ; 0<x_1<x_2<1$ 时, 有 $x_1 x_2<1$, 无论哪种情形都有 $x_1 x_2<1$. 因此由 (5.28) 得到: $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)<0$, 即 $f(x)=x^3-3 x$ 在 $(-1,1)$ 上递减.
3. 设 $1<x_1<x_2$, 则 $x_1 x_2>1$. 因此由 (5.28) 得到: $f\left(x_2\right)-f(x 1)>0$, 即
$f(x)=x^3-3 x$ 在 $(1,+\infty)$ 上递增.
这个函数的图象通过原点且关于原点对称，函数变化增、减情形如下表：
 
 ![图片](/uploads/2024-12/2ce6e5.jpg)
草图如图5.29.
现在的问题是怎样找出一个多项式函数的递增区间和递减区间？
我们的办法是考虑多项式函数在各点的变化趋向，也就是考虑函数 $f(x)$在 $x=x_0$ 这一点有递增变化趋向，还是有递减变化趋向？从图5.29可以直观地看出随着 $x$ 值的增加，当 $x=2$ 时， $f(x)=x^3-3 x$ 有递增变化趋向，当 $x=-\frac{1}{2}$ 时, $f(x)=x^3-3 x$ 有递减变化趋向; 当 $x=-1$ 时, 函数由递增转
 ![图片](/uploads/2024-12/82cb58.jpg)
 
 变到递减; 当 $x=1$ 时, 函数由递减转变到递增, 现在我们来考虑如何给函数在某一点递增或递减的概念以明确的定义, 一个很自然的

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