最后更新: 2024-12-09 17:10 查看: 159 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

高次多项式函数的极值

定义
如果对于 $x_0$ 附近的任何 $x$, 即如果存在 $\delta>0$, 当 $\left|x-x_0\right|<\delta$ 时, 都有

$$
f(x) \leq f\left(x_0\right) \quad\left(f(x) \geq f\left(x_0\right)\right)
$$

则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点达到相对极大值（相对极小值）。简称极大值（极小值），而称 $x_0$ 为极大值点（极小值点）。
极大值点和极小值点统称为极值点.

下面考虑, 随着 $x$ 值的增加, $f^{\prime}(x)$ 在点 $x=a$ 处由正变负, 或者在点 $x=b$ 处由负变正时, 那么函数 $f(x)$ 的变化状态是怎样的?

在 $x$ 值的增加过程中, 如果在点 $x=a$ 处, 导函数 $f^{\prime}(x)$ 由正变负, 于是函数 $f(x)$ 在这一点便由递增变为递减, 就图象来看, 当 $x=a$ 时, 图象上的对应点比这点附近图象上的点都高（图5.33的 $A$ 点），换言之，对于 $x=a$ 附近的任何 $x$ 都有 $f(x) \leq f(a)$, 因此 $f(a)$ 是极大值.
 ![图片](/uploads/2024-12/4a6432.jpg)
 又在 $x=b$ 点处, 如果导函数由负变正, 则函数 $f(x)$ 由递减变为递增, 就图象看, 当 $x=b$ 时, 图象上的对应点比这点附近图象上的点都低（图5.33的$B$ 点), 换言之, 对于 $x=b$ 附近的任何 $x$ 都有 $f(x) \geq f(b)$, 因此 $f(b)$ 是极小值。

如果函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 随着 $x$ 的值连续地增加而连续地变化，也就是说 $f^{\prime}(x)$ 的图象是一条连续的曲线，那么 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ ，由正变负必经过 $0, f^{\prime}(x)$ 在 $x=b$ 由负变正也必经过 0 , 这就是说, 如果 $y=f^{\prime}(x)$ 是一条连续的曲线，那么 $f^{\prime}(a)=0, f^{\prime}(b)=0$ 是极值点的必要条件。必须注意在求函数 $f(x)$ 的极值点时, 可以令 $f^{\prime}(x)=0$ 求出方程的解, 但不

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