最后更新: 2024-12-09 17:10 查看: 37 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

高次多项式函数的极值

定义
如果对于 $x_0$ 附近的任何 $x$, 即如果存在 $\delta>0$, 当 $\left|x-x_0\right|<\delta$ 时, 都有

$$
f(x) \leq f\left(x_0\right) \quad\left(f(x) \geq f\left(x_0\right)\right)
$$

则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点达到相对极大值（相对极小值）。简称极大值（极小值），而称 $x_0$ 为极大值点（极小值点）。
极大值点和极小值点统称为极值点.

下面考虑, 随着 $x$ 值的增加, $f^{\prime}(x)$ 在点 $x=a$ 处由正变负, 或者在点 $x=b$ 处由负变正时, 那么函数 $f(x)$ 的变化状态是怎样的?

在 $x$ 值的增加过程中, 如果在点 $x=a$ 处, 导函数 $f^{\prime}(x)$ 由正变负, 于是函数 $f(x)$ 在这一点便由递增变为递减, 就图象来看, 当 $x=a$ 时, 图象上的对应点比这点附近图象上的点都高（图5.33的 $A$ 点），换言之，对于 $x=a$ 附近的任何 $x$ 都有 $f(x) \leq f(a)$, 因此 $f(a)$ 是极大值.
 ![图片](/uploads/2024-12/4a6432.jpg)
 又在 $x=b$ 点处, 如果导函数由负变正, 则函数 $f(x)$ 由递减变为递增, 就图象看, 当 $x=b$ 时, 图象上的对应点比这点附近图象上的点都低（图5.33的$B$ 点), 换言之, 对于 $x=b$ 附近的任何 $x$ 都有 $f(x) \geq f(b)$, 因此 $f(b)$ 是极小值。

如果函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 随着 $x$ 的值连续地增加而连续地变化，也就是说 $f^{\prime}(x)$ 的图象是一条连续的曲线，那么 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ ，由正变负必经过 $0, f^{\prime}(x)$ 在 $x=b$ 由负变正也必经过 0 , 这就是说, 如果 $y=f^{\prime}(x)$ 是一条连续的曲线，那么 $f^{\prime}(a)=0, f^{\prime}(b)=0$ 是极值点的必要条件。必须注意在求函数 $f(x)$ 的极值点时, 可以令 $f^{\prime}(x)=0$ 求出方程的解, 但不能认为 $f^{\prime}(x)=0$ 的解一定是极值点. 例如 $f(x)=x^3$ 的导函数是 $f^{\prime}(x)=3 x^2$, 而 $f^{\prime}(x)=3 x^2=0$的根是一个二重根零，但当 $x \neq 0$ 时， $f(x)=3 x^2>0$ ，即导函数 $f^{\prime}(x)=3 x^2$在 $x=0$ 这一点处不由正变负，因此这个函数没有极值。函数 $f(x)=x$ 在整个实数范围内是递增的，只不过在 $x=0$ 这一点函数变化暂时处于平稳状态，它的图象如图5.34.
 ![图片](/uploads/2024-12/075c0d.jpg)
 
 我们在第五章中已经说过极大值、极小值和最大值、最小值是不同的概念.如果函数只有一个极大值或只有一个极小值时，那么最大值与极大值，最小值与极小值必定一致.二次函数可作为这方面例子，如果我们在闭区间 $[a, d](a \leq$ $x \leq d)$ 上来求函数 $f(x)$ 的最大值和最小值时, 如图 5.35 所示, $f(x)$ 的极大值是 $f(b)$, 也是最大值, $f(x)$ 的极小值是 $f(c)$, 但不是最小值, $f(x)$ 的最小值是 $f(a)$. 从这里立即可以看出最大值、最小值一定出现在端点上，或极值点上.因此要寻求最大值（最小值），只需要把 $(a, d)$ 内一切极大值（极小值）和两端点处的函数值都求出来比较就可以了。

例 5.31 求二次多项式函数 $f(x)=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 的极值.
解: 取充分小的正数 $\delta$, 对应于 $x^{\prime}=x+h,|h|<\delta$ 的函数值:

$$
f(x+h)=f(x)+(2 a x+b) h+a h^2
$$

量 $x$ 得到改变量 $h$ 之后，函数改变量为：

$$
f(x+h)-f(x)=(2 a x+b) h+a h^2
$$

所以 $f(x)$ 的导函数是:

$$
f^{\prime}(x)=2 a x+b
$$

它的零点是: $x=-\frac{b}{2 a}$.
依 $a$ 的符号不同， $f^{\prime}(x)=2 a x+b$ 的符号有两种不同情形：
情形 I: $a>0$
- 当 $x<-\frac{b}{2 a}$ 时, $f^{\prime}(x)=2 a x+b<0$, 这时 $f(x)$ 在区间 $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right)$ 内是递减的；
- 当 $x>-\frac{b}{2 a}$ 时, $f^{\prime}(x)=2 a x+b>0$, 这时 $f(x)$ 在区间 $\left(-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$ 内是递增的。
所以, $x=-\frac{b}{2 a}$ 是极小值点, $f\left(-\frac{b}{2 a}\right)=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$ 是极小值也是最小值.
情形 II: $a<0$
- 当 $x<-\frac{b}{2 a}$ 时, $f^{\prime}(x)=2 a x+b>0$, 这时 $f(x)$ 在区间 $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right)$ 内是递增的；
- 当 $x>-\frac{b}{2 a}$ 时, $f^{\prime}(x)=2 a x+b<0$, 这时 $f(x)$ 在区间 $\left(-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$ 内是递减的。
所以, $x=-\frac{b}{2 a}$ 是极大值点, $f\left(-\frac{b}{2 a}\right)=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$ 是极大值也是最大值.
例 5.32 将各边为 $a$ 的正方形铁皮，于各角截去相等的小正方块，然后折起各边，要做成体积最大的无盖箱，问所截去的小正方形的边长应该是多少？

解: 令 $x$ 为小正方形的边长, 则正方形箱底边长为 $a-2 x$ (图5.36), 其体积为：

$$
V(x)=(a-2 x)^2 x
$$

$x$ 的变化区间是 $\left(0, \frac{a}{2}\right)$. 于是问题成为求这函数在这区间内的最大值.

$$
V(x)=4 x^3-4 a x^2+a^2 x
$$

![图片](/uploads/2024-12/ad806b.jpg)
 它的导函数是

$$
V^{\prime}(x)=12 x^2-8 a x+a^2
$$

导函数的根是: $x_1=\frac{a}{6}, \quad x_2=\frac{a}{2}$
- 当 $x<\frac{a}{6}$ 或 $x>\frac{a}{2}$ 时, $V^{\prime}(x)>0$;
- 当 $\frac{a}{6}<x<\frac{a}{2}$ 时, $V^{\prime}(x)<0$.
$V(x)$ 的变化情形如下表所示:
 ![图片](/uploads/2024-12/9a5d4b.jpg)
 
 $\therefore \quad x=\frac{a}{6}$ 是一个极大点, 极大值

$$
V\left(\frac{a}{6}\right)=\frac{2}{27} a^3
$$

因为在区间 $\left(0, \frac{a}{2}\right)$ 内, 极大值 $V\left(\frac{a}{6}\right)=\frac{2}{27} a^3$, 就是所求最大体积. 所以截去的正方形的边，等于所给正方形边长的六分之一。

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