最后更新: 2024-12-09 17:10 查看: 108 次反馈同步训练

高次多项式函数的极值

定义
如果对于 $x_0$ 附近的任何 $x$, 即如果存在 $\delta>0$, 当 $\left|x-x_0\right|<\delta$ 时, 都有

$$
f(x) \leq f\left(x_0\right) \quad\left(f(x) \geq f\left(x_0\right)\right)
$$

则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点达到相对极大值（相对极小值）。简称极大值（极小值），而称 $x_0$ 为极大值点（极小值点）。
极大值点和极小值点统称为极值点.

下面考虑, 随着 $x$ 值的增加, $f^{\prime}(x)$ 在点 $x=a$ 处由正变负, 或者在点 $x=b$ 处由负变正时, 那么函数 $f(x)$ 的变化状态是怎样的?

在 $x$ 值的增加过程中, 如果在点 $x=a$ 处, 导函数 $f^{\prime}(x)$ 由正变负, 于是函数 $f(x)$ 在这一点便由递增变为递减, 就图象来看, 当 $x=a$ 时, 图象上的对应点比这点附近图象上的点都高（图5.33的 $A$ 点），换言之，对于 $x=a$ 附近的任何 $x$ 都有 $f(x) \leq f(a)$, 因此 $f(a)$ 是极大值.
 ![图片](/uploads/2024-12/4a6432.jpg)
 又在 $x=b$ 点处, 如果导函数由负变正, 则函数 $f(x)$ 由递减变为递增, 就图象看, 当 $x=b$ 时, 图象上的对应点比这点附近图象上的点都低（图5.33的$B$ 点), 换言之, 对于 $x=b$ 附近的任何 $x$ 都有 $f(x) \geq f(b)$, 因此 $f(b)$ 是极小值。

如果函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 随着 $x$ 的值连续地增加而连续地变化，也就是说 $f^{\prime}(x)$ 的图象是一条连续的曲线，那么 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ ，由正变负必经过 $0, f^{\prime}(x)$ 在 $x=b$ 由负变正也必经过 0 , 这就是说, 如果 $y=f^{\prime}(x)$ 是一条连续的曲线，那么 $f^{\prime}(a)=0, f^{\prime}(b)=0$ 是极值点的必要条件。必须注意在求函数 $f(x)$ 的极值点时, 可以令 $f^{\prime}(x)=0$ 求出方程的解, 但不能认为 $f^{\prime}(x)=0$ 的解一定是极值点. 例如 $f(x)=x^3$ 的导函数是 $f^{\prime}(x)=3 x^2$, 而 $f^{\prime}(x)=3 x^2=0$的根是一个二重根零，但当 $x \neq 0$ 时， $f(x)=3 x^2>0$ ，即导函数 $f^{\prime}(x)=3 x^2$在 $x=0$ 这一点处不由正变负，因此这个函数没有极值。函数 $f(x)=x$ 在整个实数范围内是递增的，只不过在 $x=0$ 这一点函数变化暂时处于平稳状态，它的图象如图5.34.
 ![图片](/uploads/2024-12/075c0d.jpg)
 
 我们在第五章中已经说过极大值、极小值和最大值、最小值是不同的概念.如果函数只有一个极大值或只有一个极小值时，那么最大值与极大值，最小值与极小值必定一致.二次函数可作为这方面例子，如果我们在闭区间 $[a, d](a \leq$ $x \leq d)$ 上来求函数 $f(x)$ 的最大值和最小值时, 如图 5.35 所示, $f(x)$ 的极大值是 $f(b)$, 也是最大值, $f(x)$ 的极小值是 $f(c)$, 但不是最小值, $f(x)$ 的最小值是 $f(a)$. 从这里立即可以看出最大值、最小值一定出现在端点上，或极值点上.因此要寻求最大值（最小值），只需要把 $(a, d)$ 内一切极大值（极小值）和两端点处的函数值都求出来比较就可以了。

例 5.31 求二次多项式函数 $f(x)=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 的极值.
解: 取充分小的正数 $\delta$, 对应于 $x^{\prime}=x+h,|h|<\delta$ 的函数值:

$$
f(x+h)=f(x)+(2 a x+b) h+a h^2
$$

量 $x$ 得到改变量 $h$ 之后，函数改变量为：

$$
f(x+h)-f(x)=(2 a x+b) h+a h^2
$$

所以 $f(x)$ 的导函数

免费注册看余下 50%

本站提供海里试题，欢迎使用，最低 8.2 元/月，非VIP每天12篇文章

赞助本站

上一篇：多项式函数的增减性

下一篇：阅读：一元二次方程的判别式与求函数的极值

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)