最后更新: 2025-06-26 11:36 查看: 141 次反馈同步训练

正弦、余弦与正切

## 正弦与余弦
### 正弦
如图， 在直角三角形中, 我们把锐角 $\alpha$ 的对边与斜边的比叫作角 $\alpha$ 的正弦 (sine), 记作 $\sin \alpha$ ，即

$$
\boxed{
\sin \alpha = \dfrac{对边}{斜边}
}
$$

![图片](/uploads/2025-06/665444.jpg){WIDTH=300PX}

### 余弦
 如图在直角三角形中, 我们把锐角 $\alpha$ 的邻边与斜边的比叫作角 $\alpha$的余弦 (cosine), 记作 $\cos \alpha$, 
 $$
\boxed{
\sin \alpha = \dfrac{临边}{斜边}
}
$$
 
 
  ![图片](/uploads/2025-06/970b6b.jpg){WIDTH=300PX}
  
 
 ### 正切
如图, 在直角三角形中, 我们把锐角 $\alpha$ 的对边与邻边的比叫作角 $\alpha$的正切 (tangent), 记作 $\tan \alpha$, 
 
  ![图片](/uploads/2025-06/316d3f.jpg){WIDTH=300PX}
  
  $$
\boxed{
\tan \alpha = \dfrac{对边}{临边}
}
$$
 
## 三角函数性质
根据勾搭定理和定义，可以得到

$$
\boxed{ 
\begin{aligned}
& \cos \alpha=\sin \left(90^{\circ}-\alpha\right), \\
& \sin \alpha=\cos \left(90^{\circ}-\alpha\right) \\
& \sin^ \alpha+\cos^2\alpha =1 \\
& \tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\end{aligned}
}
$$

## 三角函数表
 
 $$
 \begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline \alpha & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} \\
\hline \sin \alpha & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\hline \cos \alpha & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\
\hline \tan \alpha & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} \\
\hline
\end{array}
$$

`例`求  $ \cos 30^{\circ}, \cos 45^{\circ}, \cos 60^{\circ} \text { 的值.} $

解
$$
\begin{aligned}
&\ \begin{aligned}
\cos 30^{\circ} & =\sin \left(90^{\circ}-30^{\circ}\right)=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \\
\cos 45^{\circ} & =\sin \left(90^{\circ}-45^{\circ}\right)=\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \\
\cos 60^{\circ} & =\sin \lef

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