最后更新: 2025-12-27 15:55 查看: 637 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

匀变速直线运动的重要推论公式★★★★★

匀变速直线运动（加速度 $a$ 恒定） 的基本公式包括
1. 速度公式：$v = v_0 + at$  
2. 位移公式：$x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$  
3. 速度-位移公式：$v^2 - v_0^2 = 2ax$
由这3个公式，可以推出一些重要的推广结论公式。

## 平均速度与中间时刻瞬时速度的关系
做匀变速直线运动的物体，**某段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度**，也等于初末速度的算术平均值。

$$
\boxed{
\bar{v} = v_{\frac{t}{2}} = \frac{v_0 + v}{2}
}
$$

推导：  
  平均速度 $\bar{v} = \frac{x}{t} = \frac{v_0t + \frac{1}{2}at^2}{t} = v_0 + \frac{1}{2}at$
  
  
中间时刻 $t' = \frac{t}{2}$ 的速度 $v_{\frac{t}{2}} = v_0 + a\cdot\frac{t}{2}$，与上式相等；  
  又由 $v = v_0 + at$，得 $\frac{v_0 + v}{2} = \frac{v_0 + v_0 + at}{2} = v_0 + \frac{1}{2}at$，故三者相等。

## 连续相等时间间隔内的位移差公式

做匀变速直线运动的物体，**在连续相等的时间间隔 $T$ 内的位移之差为一恒量**，即：  
$$
\boxed{
\Delta x = x_{n+1} - x_n = aT^2
}
$$

$x_n$ 为第 $n$ 个 $T$ 内的位移，$a$ 为加速度，$T$ 为时间间隔

**推导思路1**：设开始的速度是 $V_0$
经过第一个时间 $t$ 后的速度为 $V_1=V_0+a t$ ，这一段时间内的位移为 $S_1=V_0 t+\frac{1}{2} a t^2$ ，
经过第二个时间 $t$ 后的速度为 $V_2=2 V_0+a t$ ，这段时间内的位移为 $S_2=V_1 t+\frac{1}{2} a t^2=V_0 t+\frac{3}{2} a t^2$
经过第三个时间 $t$ 后的速度为 $V_3=3 V_0+a t$ ，这段时间内的位移为 $S_3=V_2 t+\frac{1}{2} a t^2=V_0 t+\frac{5}{2} a t^2$
 经过第 $n$ 个时间 $t$ 后的速度为 $V_n=n V_0+a t$ ，这段时间内的位移为 $S_n=V_{n-1} t+\frac{1}{2} a t^2=V_0 t+\frac{2 n-1}{2} a t^2$
则 $\Delta S=S_2-S_1=S_3-S_2=\cdots \cdots=S_n-S_{n-1}=a t^2$
**点拨**：只要是匀加速或匀减速运动，相邻的连续的相同的时间内的位移之差，是一个与加速度 a 与时间 ＂有关的恒量＂．这也提供了一种加速度的测量的方法：
即 $a=\frac{\Delta S}{t^2}$ ，只要测出相邻的相同时间内的位移之差 $\Delta S$ 和 $t$ ，就容易测出加速度 $a$ 。

**推导思路2**
第1个$T$ 内位移：$x_1 = v_0T + \frac{1}{2}aT^2$；  
前2个 $T$ 内位移：$x_{总2} = v_0\cdot2T + \frac{1}{2}a(2T)^2 = 2v_0T + 2aT^2$，故第2个 $T$ 内位移 $x_2 = x_{总2} - x_1 = v_0T + \frac{3}{2}aT^2$；

前3个 $T$ 内位移：$x_{总3} = v_0\cdot 3T + \frac{1}{2}a(3T)^2 = 3v_0T + \frac{9}{2}aT^2$，故第3个 $T$ 内位移 $x_3 = x_{总3} -x_{总2} = v_0T + \frac{5}{2}aT^2$；

则 $\Delta x = x_2 - x_1 = aT^2$，同理可证后续相邻位移差均为 $aT^2$。

**推广** 对于前 $n$ 个 $T$ 内的总位移 $x_1, x_2, ..., x_n$（每个 $x_i$ 为第 $i$ 个 $T$ 内的位移），有：  
  
 $$
 \boxed{
 x_m - x_n = (m - n)aT^2
 }
 $$
  
 例如第3个 $T$ 内位移减第1个 $T$ 内位移：$x_3 - x_1 = 2aT^2$

## 中间位置的速度公式
 
**推论**：做匀变速直线运动的物体，**某段位移中点的瞬时速度** $v_{\frac{x}{2}}$ 与初末速度的关系为：  
$$
v_{\frac{x}{2}} = \sqrt{\frac{v_0^2 + v^2}{2}}
$$

且 $v_{\frac{x}{2}} > v_{\frac{t}{2}}$（位移中点的速度大于时间中点的速度）。

- 推导：  
  设总位移为 $x$，中点位移为 $\frac{x}{2}$，由 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ 得：  
  前半段：$\left(v_{\frac{x}{2}}\right)^2 - v_0^2 = 2a\cdot\frac{x}{2} = ax$；  
  后半段：$v^2 - \left(v_{\frac{x}{2}}\right)^2 = 2a\cdot\frac{x}{2} = ax$；  
  两式相加消去 $ax$：$\left(v_{\frac{x}{2}}\right)^2 - v_0^2 + v^2 - \left(v_{\frac{x}{2}}\right)^2 = 2ax$，结合 $v^2 - v_0^2 = 2ax$，化简得 $v_{\frac{x}{2}} = \sqrt{\frac{v_0^2 + v^2}{2}}$。  
  
  
 
## 初速度为0，推论1
 
初速度为零的匀变速直线运动的位移与所用时间的平方成正比，即 $t$ 秒内、 $2 t$ 秒内、 $3 t$ 秒内 $\cdots \cdots n t$ 秒内物体的位移之比
 $$
 \boxed{
 S_1: S_2: S_3: \cdots: S_n=1: 4: 9 \cdots: n^2
 }
 $$

**推导** 已知初速度 $v_0=0$ ，设加速度为 $a$ ，根据位移的公式 $S=\frac{1}{2} a t^2$ 在 $t$ 秒内、 $2 t$ 秒内、 $3 t$ 秒内 $\cdots \cdots \cdot n t$秒内物体的位移分别为：$S_1=\frac{1}{2} a t^2 、 S_2=\frac{1}{2} a(2 t)^2 、 S_3=\frac{1}{2} a(3 t)^2 \cdots \cdots S_n=\frac{1}{2} a(n t)^2$则代入得 $S_1: S_2: S_3: \cdots: S_n=1: 4: 9 \cdots: n^2$

**变形**：前一个 s 、前二个 $\mathrm{s} 、 \cdots \cdots$ 前 $n$ 个 s 的位移所需时间之比：

$$
\boxed{
\mathrm{t}_1: \mathrm{t}_2: \mathrm{t}_3 \ldots: \mathrm{t}_{\mathrm{n}}=1: \sqrt{2}: \sqrt{3}: \ldots \sqrt{\mathrm{n}}
}
$$

**推导** 因为初速度为 0 ，所以 $x=V_0 t+\frac{1}{2} \alpha t^2=\frac{1}{2} \alpha t^2$

$$
\begin{aligned}
& S=\frac{1}{2} a t_1^2, \quad t_1=\sqrt{\frac{2 S}{a}} \quad 2 S==\frac{1}{2} a t_2^2 \quad t_2=\sqrt{\frac{4 S}{a}} \quad 3 S=\frac{1}{2} a t_3^2 \quad t_3=\sqrt{\frac{6 S}{a}} \\
& t_1: t_2: t_3 \ldots \ldots: t_n=\sqrt{\frac{2 S}{a}}: \sqrt{\frac{4 S}{a}}: \sqrt{\frac{6 S}{a}} \ldots \ldots \ldots=1: \sqrt{2}: \sqrt{3}

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