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练习：匀变速试题精选

`例`一名宇航员在某星球上做自由落体运动实验，让一个质量为 2 kg 的小球从一定的高度自由下落，测得在第 4 s 内的位移是 42 m ，球仍在空中运动，则
A. 小球在第 2 s 末的速度大小是 $16 m / s$
B. 该星球上的重力加速度为 $12 m / s ^2$
C. 小球在第 4 s 末的速度大小是 $42 m / s$
D. 小球在 $0 \sim 4 s$ 内的位移是 80 m

解析： $=42 m, t_4=4 s, t_3=3 s$ ，解得 $g_{\text {星 }}=12 m / s ^2$ ，所以小球在第 2 s 末的速度大小为 $v_2=g_{\text {星 }} t_2=24 m / s$ ，故A错误，B正确；
小球在第 4 s 末的速度大小是 $v_4=g_{\text {星 }} t_4=48 m / s$ ，故 C 错误；小球在 $0 \sim 4 s$ 内的位移是 $x_4=\frac{1}{2} g_{\text {星 }} t_4{ }^2=96 m$ ，故D错误.

`例`如图, 篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮, 离地后重心上升的最大高度为 $H$.上升第一个 $\frac{H_4}{4}$ 所用的时间为 $t_1$, 第四个 $\frac{H_4}{4}$ 所用的时间为 $t_2$ 。不计空气阻力, 则 $\frac{t_2}{t_1}$ 满足
A. $1<\frac{t_2}{t_1}<2$
B. $2<\frac{t_2}{t_1}<3$
C. $3<\frac{t_2}{t_1}<4$
D. $4<\frac{t_2}{t_1}<5$
 ![图片](/uploads/2024-12/8f48f3.jpg)
 解:由逆向思维和初速度为零的匀加速直线运动比例式可知 $\frac{t_2}{t_1}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$, 即 $3<\frac{t_2}{t_1}<4$, 选项 C正确。
 
 `例`两物体从不同高度自由下落，同时落地，第一个物体下落时间为 $t$ ，第二个物体下落时间为 $\frac{t}{2}$ ，当第二个物体开始下落时，两物体相距（重力加速度为 $g$ )
A.gl ${ }^2$
B. $\frac{3}{8} g t^2$
C. $\frac{3}{4} g t^2$
D. $\frac{1}{4} g t^2$

解析:根据 $h=\frac{1}{2} g t^2$, 知第一个物体和第二个物体下落的总高度分别为 $\frac{1}{2} g t^2$和 $\frac{g t^2}{8}$ ，两物体未下落时相距 $\frac{3 g t^2}{8}$ ，第二个物体在第一个物体下落 $\frac{t}{2}$ 后开始下落, 此时第一个物体下落的高度 $h_1=\frac{1}{2} g\left(\frac{t}{2}\right)^2=\frac{g t^2}{8}$, 所以当第二个物体开始下落时, 两物体相距 $\Delta h=\frac{3}{8} g t^2-\frac{1}{8} g t^2=\frac{1}{4} g t^2$, 故 D 正确, A、 B、C 错误.

`例`在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度 $g$ 值， $g$ 值可由实验精确测得，近年来测 $g$ 值的一种方法叫 "对称自由下落法"，它是将测 $g$ 值转变为测长度和时间，具体做法是：将真空长直管沿坚直方向放置，自其中 $O$ 点上抛小球又落到原处的时间记为 $T_2$ ，在小球运动过程中经过比 $O$ 点高 $H$ 的 $P$ 点，小球离开 $P$ 点到又回到 $P$点所用的时间记为 $T_1$ ，测得 $T_1 、 T_2$ 和 $H$ ，可求得 $g$ 值等于

$$
\begin{array}{llll}
\text { A. } \frac{8 H}{T_2{ }^2-T_1{ }^2} & \text { B. } \frac{4 H}{T_2{ }^2-T_1{ }^2} & \text { C. } \frac{8 H}{\left(T_2-T_1\right)^2} & \text { D. } \frac{4 H}{\left(T_2-T_1\right)^2}
\end{array}
$$

解析:根据坚直上抛运动的对称性, 有 $\frac{1}{2} g\left(\frac{1}{2} T_2\right)^2-\frac{1}{2} g\left(\frac{1}{2} T_1\right)^2=H$, 解得 $g=$ $\frac{8 H}{T_2{ }^2-T_1^2}$, 故选A.

`例`城市高层建筑越来越多，高空坠物事件时有发生.假设某公路边的高楼距地面高 $H=47 m$ ，往外凸起的阳台上的花盆因受到扰动而掉落，掉落过程可看作自由落体运动。阳台下方有一辆长 $L_1=8 m$ 、高 $h=2 m$ 的货车，以 $v_0=9 m / s$ 的速度匀速直行，要经过阳台的正下方.花盆刚开始下落时货车车头距花盆的水平距离为 $L_2=24 m$ (示意图如图所示，花盆可视为质点，重力加速度 $g=10 m / s ^2$ ).
 ![图片](/uploads/2024-12/6f9272.jpg)
(1)若司机没有发现花盆掉落，货车保持速度v0匀速直行，请计算说明货车是否被花盆砸到；
(2)若司机发现花盆掉落，采取制动(可视为匀变速，司机反应时间 $\Delta t=1 s$ )的方式来避险，使货车在花盆砸落点前停下，求货车的最小加速度；

解：（1）花盆落下到达车顶过程，
位移为 $h_0=(47-2) m =45 m$花盆做自由落体运动，有 $h_0=\frac{1}{2} g t^2$ ，解得 $t=3 s$在这段时间内汽车位移大小为 $x=v_0 t=27 m$由于 $L_2<x<L_1+L_2$, 货车会被花盆砸到.

（2）货车匀减速运动的距离为 $L_2-v_0 \Delta t=15 m$设制动过程中最小加速度为 $a_0$ ，由 $v_0^2=2 a_0\left(L_2-v_0 \Delta t\right)$ ，解得 $a_0=2.7 m / s ^2$
(3)若司机发现花盆掉落，采取加速(可视为匀变速，司机反应时间 $\Delta t=1 s$ )的方式来避险，则货车至少以多大的加速度才能避免被花盆砸到?
（3）司机反应时间内货车的位移大小为 $x_1=v_0 \Delta t$

$$
=9 m
$$

此时车头离花盆的水平距离为 $d=L_2-x_1=15 m$
采取加速方式，要成功避险，
则加速运动的位移大小为 $x_2=d+L_1=23 m$ ，加速时间为 $t^{\prime}=t-\Delta t=2 s$
设货车加速度大小至少为 $a$ 才能避免被花盆砸到，
则有 $x_2=v_0 \cdot t^{\prime}+\frac{1}{2} a t^{\prime}{ }^2$
代入数据解得 $a=2.5 m / s ^2$ ，
即货车至少以 $2.5 m / s ^2$ 的加速度加速才能避免被花盆砸到.

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