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实验：探究小车速度随时间变化的规律★★★★★

## 应用背景

原理：小车在重力加速度作用下，加速运动，打点计时器的“针尖”默认0.02秒下落一次，在纸张上打下小孔，通过测量距离，可以计算加度数。

### 公式

> **做匀变速直线运动的物体，如果在连续相等的时间间隔 $t$ 内的位移分别为 $S_1 、 S_2 、 S_3 \cdots \cdots S_n$ ，加速度为 $a$ ，则 $\Delta S=S_2-S_1=S_3-S_2=\cdots \cdots=S_n-S_{n-1}=a t^2$**

推导：设开始的速度是 $V_0$
经过第一个时间 $t$ 后的速度为 $V_1=V_0+a t$ ，这一段时间内的位移为 $S_1=V_0 t+\frac{1}{2} a t^2$ ，
经过第二个时间 $t$ 后的速度为 $v_2=2 v_0+a t$ ，这段时间内的位移为 $S_2=v_1 t+\frac{1}{2} a t^2=v_0 t+\frac{3}{2} a t^2$
经过第三个时间 $t$ 后的速度为 $V_2=3 V_0+a t$ ，这段时间内的位移为 $S_3=V_2 t+\frac{1}{2} a t^2=V_0 t+\frac{5}{2} a t^2$
 
经过第 $n$ 个时间 $t$ 后的速度为 $V_n=n V_0+a t$ ，这段时间内的位移为 $S_n=V_{n-1} t+\frac{1}{2} a t^2=V_0 t+\frac{2 n-1}{2} a t^2$
则 $\Delta S=S_2-S_1=S_3-S_2=\cdots \cdots=S_n-S_{n-1}=a t^2$

**点拨**：只要是匀加速或匀减速运动，相邻的连续的相同的时间内的位移之差，是一个与加速度 a 与时间 ＂有关的恒量＂．这也提供了一种加速度的测量的方法：
即 $a=\frac{\Delta S}{t^2}$ ，只要测出相邻的相同时间内的位移之差 $\Delta S$ 和 $t$ ，就容易测出加速度 $a$ 。

![图片](/uploads/2026-01/c9f166.jpg){width=500px}

具体公式推导请参考 [匀变速公式大全](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=4041)

## 实验：打点计时器
（1）如图2-3-2所示，把一端附有定滑轮的长木板平放在实验桌上，将滑轮端伸出桌面. 将打点计时器固定在木板上没有滑轮的一端, 连接好电路（若使用电磁打点计时器, 接 $4 \sim 6 V$ 的低压交流电源; 若使用电火花计时器, 接 220 V的交流电源).
 ![图片](/uploads/2024-12/a40666.jpg)
 (2) 在让纸带穿过打点计时器的限位孔后, 将其一端夹在小车尾部正中央.把小车靠近打点计时器，在小车前端系上细绳. 细绳、纸带与木板平行，且细绳、纸带、限位孔要在一条直线上. 细绳长度略短于定滑轮离地的高度. 细绳跨过定滑轮，挂上适量的钩码。
 (3) 启动打点计时器, 然后释放小车, 让它拖着纸带运动, 适时阻止小车与滑轮相碰. 及时关闭电源，更换纸带，重复做三次。
（4）选择点迹清楚、没有漏点的纸带，舍弃开始点迹密集的一段，找一个合适的点作为开始点. 为了测量方便和提高测量精度, 把每打五次点的时间作为时间单位, 则时间间隔 $T=0.02 s \times 5=0.1 s$.

确定恰当的计数点, 并标上序号 $0,1,2,3, \cdots$, 如图 2-3-3所示. 每两个相邻计数点问的距离分别为 $s_1, s_2, s_3 \cdots$
 ![图片](/uploads/2024-12/14b1e4.jpg)
 
 (5) 设计实验数据记录表格, 分析处理数据.
  
## 打点计时器
1.作用：计时仪器，当所用交变电源的频率f＝50 Hz时，每隔        **0.02s**打一次点.
2.结构
(1)电磁打点计时器(如图)
 ![图片](/uploads/2024-12/cd257f.jpg)
 (2)电火花计时器(如图)
 ![图片](/uploads/2024-12/99e3b1.jpg)
 3.工作条件
 电磁打点计时器：8v交变电源
电火花计时器：220v交变电源

## 实验：探究小车速度随时间变化的规律
1.实验器材

电火花计时器(或电磁打点计时器)、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、槽码、**刻度尺**、导线、**交变**电源。
2.实验过程
(1)按照实验装置，把打点计时器固定在长木板**无滑轮**的一端，接好电源；
(2)把一细绳系在小车上，细绳绕过滑轮，下端挂合适的槽码，纸带穿过打点计时器，固定在小车后面；
(3)把小车停在靠近打点计时器处，先**接通电源**，后**放开小车**；
(4)小车运动一段时间后，断开电源，取下纸带;
G
(5)更换纸带重复实验三次，选择一条比较理想的纸带进行测量、分析.
3. 数据处理
(1)求小车的速度与加速度
①利用平均速度求瞬时速度: $v_n=\frac{x_n+x_{n+1}}{2 T}=\frac{d_{n+1}-d_{n-1}}{2 T}$.
②利用逐差法求解平均加速度
 ![图片](/uploads/2024-12/ad0903.jpg)
 $$
 \begin{aligned}
&a_1=\frac{x_4-x_1}{3 T^2}, \quad a_2=\frac{x_5-x_2}{3 T^2}, \quad a_3=\frac{x_6-x_3}{3 T^2}\\
&\text { 则 } a=\frac{a_1+a_2+a_3}{3}=\frac{\left(x_4+x_5+x_6\right)-\left(x_1+x_2+x_3\right)}{9 T^2}
\end{aligned}
$$

③利用速度 - 时间图像求加速度
a.作出速度 - 时间图像，通过图像的斜率求解小车的加速度；
b. 剪下相邻计数点的纸带紧排在一起求解加速度.
（2）依据纸带判断小车是否做匀变速直线运动
① $x_1 、 x_2 、 x_3 、 \cdots 、 x_n$ 是相邻两计数点间的距离。
②$\Delta x$ 是两个连续相等的时间内的位移差: $\Delta x_1=x_2-x_1, \Delta x_2=x_3-x_2, \cdots$.
③若 $\Delta x$ 等于恒量 $\left(a T^2\right)$ ，则说明小车做匀变速直线运动。
④$\Delta x=a T^2$ ，只要小车做匀变速直线运动，它在任意两个连续相等的时间间隔内的位移之差就一定相等。

4.注意事项
(1)平行：纸带、细绳要与长木板平行。
(2)两先两后：实验中应先接通电源，后让小车运动；实验完毕应先断开电源，后取下纸带.
(3)防止碰撞：在到达长木板末端前应让小车停止运动，防止槽码落地及小车与滑轮相撞.
(4)减小误差: 小车的加速度应适当大些，可以减小长度测量的相对误差，加速度大小以能在约 50 cm 的纸带上清楚地取出 $6 \sim 7$ 个计数点为宜.
(5)小车从靠近打点计时器位置释放.

5.误差分析
(1)纸带运动时摩擦力不均匀，打点不稳定引起误差.
(2)计数点间距离的测量有偶然误差.
(3)作图有误差.

## 例题
`例`某小组利用打点计时器对物块沿倾斜的长木板加速下滑时的运动进行探究.物块拖动纸带下滑，打出的纸带一部分如图所示.已知打点计时器所用交流电的频率为 50 Hz ，纸带上标出的每两个相邻点之间还有 4 个打出的点未画出. 在 $A 、 B 、 C 、 D 、 E$ 五个点中，打点 $\circ$计时器最先打出的是 ___ 点.在打出 $C$ 点时物块的速度大小为___ (保留3位有效数字)；物块下滑的加速度大小为 ___ (保留 2 位有效数字).
 ![图片](/uploads/2024-12/d83715.jpg)
 
 解：根据题述，物块加速下滑，在 $A 、 B 、 C 、 D 、 E$ 五个点中，打点计时器最先打出的是 $A$ 点。
根据刻度尺读数规则可读出， $B$ 点对应的刻度为 $1.20 cm, C$ 点对应的刻度为 $3.15 cm, D$ 点对应的刻度为 $5.85 cm, E$ 点对应的刻度为 9.30 cm ， $A B=1.20 cm, B C=1.95 cm, C D=2.70 cm, D E=3.45 cm$.

两个相邻计数点之间的时间间隔 $T=5 \times \frac{1}{50} s=0.10 s$, 根据做匀变速直线运动的质点在一段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度可得, 打出 $C$ 点时物块的速度大小为 $v_C=\frac{B C+C D}{2 T} \approx 0.233 m / s$.由逐差法可得 $a=\frac{C D+D E-(A B+B C)}{4 T^2}$, 解得 $a=0.75 m / s ^2$.

`例` 如图所示为某同学在做匀变速直线运动实验中获得的一条纸带.

![图片](/uploads/2025-04/ceec7d.jpg)

(1)已知使用电磁打点计时器，它的工作电压是_____ V.打点计时器电源频率为50 Hz，则纸带上打相邻两点的时间间隔为______ s.

(2)A、B、C、D是纸带上四个计数点，每两个相邻计数点间有四个点没有画出，则计数点之间的时间间隔是________ s.从图中读出A、B两点间距x＝________ m；C点对应的速度大小是________ m/s，匀变速直线运动的加速度大小为________ m/s2.

(3)下列说法正确的是________.
A.使用时应当先释放小车，让其运动起来，再接通电源
B.也可使用干电池作为打点计时器的电源
C.每打完一条纸带，要及时切断打点计时器的电源
D.对纸带处理时，要从打出的纸带中选择一条点迹清晰的纸带进行处理

解：（1）电磁打点计时器是使用交变电源的计时仪器，它的工作电压是8 V；当电源的频率为50 Hz时，它每隔0.02 s打一次点.

（2）每两个相邻计数点间有四个点没有画出，则计数点之间的时间间隔是 $T=5 \times 0.02 s=0.1 s$ ，从题图中读出 $A, ~ B$ 两点间距 $x=0.70 cm=0.0070 m$ ；根据做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，则有 $C$ 点速度大小等于 $v_C=\frac{x_{B D}}{2 T}=\frac{0.90+1.10}{2 \times 0.1}$ $\times 10^{-2} m / s =0.1 m / s$ ，小车的加速度大小为 $a=\frac{x_{C D}-x_{B C}}{T^2}=\frac{0.002}{0.1^2} m / s ^2$ $=0.2 m / s ^2$ ．

（3）在使用打点计时器时应先打开电源再释放小车，故A错误；
为了使打点计时器工作，必须使用交变电源，故B错误；
每打完一条纸带，要及时切断打点计时器的电源，故C正确；
对纸带处理时，要从打出的纸带中选择一条点迹清晰的纸带进行处理，故D正确. 故选CD

## 探索创新实验
1.实验器材的改进及速度的测量方法(如图)
 ![图片](/uploads/2024-12/9d7e67.jpg)
 
 2.获得加速度方法的改进
靠重物的拉力获得加速度―→长木板倾斜靠重力获得加速度，如图甲、乙所示.
 ![图片](/uploads/2024-12/c2e478.jpg)
 
 3.用频闪照相的方法、滴水法或光电计时器手机录像代替打点计时器.
通过以上装置的改进能最大限度地减少因长木板和打点计时器的限位孔的阻力而导致的小车加速度不恒定，使小车尽可能做匀加速直线运动，以提高实验的精确度.

`例` 小明同学用手机拍摄视频的方法测量木块做匀变速直线运动的加速度，测量方法和步骤如下：
 ![图片](/uploads/2024-12/0cf91c.jpg)
 
 (1)如图，在长木板侧面平行木板固定一刻度尺(单位为：cm)，并按图组装好其他器材，调节滑轮使细线与木板 ____

(2)将具有高清摄像功能的手机正对长木板侧面用支架固定并调试好，先固定木块，在左边挂上钩码；启动手机录像后，释放木块，让钩码带动木块加速运动，钩码落地后结束录像。
(3)在视频编辑软件上回放录像，拖动时间进度条，按时间先后顺序找出 $t_1 、 t_2 、 t_3$ 时刻木块前端对应刻度尺上的刻度值分别为 $s_1 、 s_2 、 s_3$ ，其中图中木块前端对应的刻度值为 ———————— cm ，已知 $t_2-t_1=$ $t_3-t_2=T$ ，则木块的加速度大小 $a$ (用题中物理量符号表示).

解：（1）为了使木块能够做匀变速运动，需要调节滑轮使细线与木板平行.
 
（3）刻度尺的分度值为 0.1 cm , 需要估读到 0.01 cm , 所以读数为 17.25 cm .木块的加速度大小为 $a=\frac{\Delta x}{T^2}=\frac{s_3-s_2-\left(s_2-s_1\right)}{T^2}=\frac{s_3-2 s_2+s_1}{T^2}$.

`例` 用雷达探测一高速飞行器的位置.从某时刻(t＝0)开始的一段时间内，该飞行器可视为沿直线运动，每隔1 s测量一次其位置，坐标为x，结果如下表所示：
 ![图片](/uploads/2025-04/849218.jpg)
回答下列问题：
(1)根据表中数据可判断该飞行器在这段时间内近似做匀加速运动，判断的理由是： 
(2)当x＝507 m时，该飞行器速度的大小v＝______ m/s；

(3)这段时间内该飞行器加速度的大小a＝_____ m/s2(保留2位有效数字).

解：（1）相邻1 s内的位移之差接近Δx＝80 m
第1 s内的位移507 m，第2 s内的位移587 m，第3 s内的位移665 m，第4 s内的位移746 m，第5 s内的位移824 m，第6 s内的位移904 m，则相邻1 s内的位移之差接近Δx＝80 m，可知飞行器在这段时间内做匀加速运动；

（2）当x＝507 m时飞行器的速度等于0～2 s内的平均速度，则v1＝1094/2＝547 m/s；

（3）根据 $a=\frac{x_{36}-x_{03}}{9 T^2}=\frac{4233-2 \times 1759}{9 \times 1^2} m / s ^2 \approx 79 m / s ^2$ ．

`例`利用如图所示的装置研究匀变速直线运动.
 ![图片](/uploads/2025-04/467c82.jpg)
 
 (1)实验时，测出遮光条的宽度d，在砝码盘中放上砝码，让滑块从光电门1的右侧由静止释放，用数字毫秒计测出遮光条经过光电门1和2的时间分别为t1和t2，测出从光电门1到光电门2所用的时间为Δt，计算出滑块的

加速度大小a＝_______(用d、t1、t2和Δt表示)

（2）一个同学利用（1）中的装置实验时，保持滑块的质量，砝码盘和砝码的总质量不变，撤去光电门1，在某位置静止释放滑块，记录滑块的释放位置到光电门 2 的距离，记录遮光条的遮光时间，多次改变滑块的释放位置，重复实验．记录下的距离为 $x_1, ~ x_2, ~ x_3, ~ \cdots$ ，时间为 $t_1, ~ t_2, ~ t_3, ~ \cdots$ ，以 $x$ 为纵轴，$\frac{1}{t^2}$ 为横轴，描点作图得到一条过原点的倾斜直线，已知该直线的斜率为 $k$ ，则滑块匀变速运动过程中的加速度大小 $a= $（用 $d$ 和 $k$ 表示）．

解：（1）遮光条经过光电门 1 和 2 的速度大小分别为 $v_1=\frac{d}{t_1}, v_2=\frac{d}{t_2}$ ，滑块的加速度大小 $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{\Delta t}=\frac{\frac{d}{t_2}-\frac{d}{t_1}}{\Delta t}$ ；
（2）滑块从静止开始做匀加速直线运动，有 $2 a x=\left(\frac{d}{t}\right)^2$ ，整理得 $x=\frac{d^2}{2 a} \cdot \frac{1}{t^2}$ ，依题意有 $k=\frac{d^2}{2 a}$ ，整理得 $a=\frac{d^2}{2 k}$ ．

`例` “筋膜枪”是利用内部电机带动“枪头”高频冲击肌肉，缓解肌肉酸痛的装备.某同学为了测量“枪头”的冲击频率，如图(a)将带限位孔的塑料底板固定在墙面上，“枪头”放在限位孔上方，靠近并正对纸带.启动筋膜枪，松开纸带，让纸带在重锤带动下穿过限位孔，“枪头”在纸带上打下系列点迹.更换纸带，重复操作，得到多条纸带，选取点迹清晰的纸带并舍去密集点迹，完成下列实验内容：
 ![图片](/uploads/2025-04/19bb06.jpg)
 
 (1)该同学发现点迹有拖尾现象，他在测量各点间距时，以拖尾点迹左边为测量点，如图(b).①纸带的___ (选填“左”或“右”)端连接重锤；

②取重力加速度为9.8 m/s2，可算得“枪头”的冲击频率为______ Hz，A点对应的速度为_____ m/s；(计算结果均保留两位有效数字)

(2)该次实验产生误差的原因有
A.纸带与限位孔间有摩擦力
B.测量各点间的距离不精确
C.“枪头”打点瞬间阻碍纸带的运动
其中最主要的原因是________(选填“A”“B”或“C”).

解：（1）左。 重锤自由落体，速度越来越大，纸带点迹间的距离越来越大，所以纸带的左端连接重锤；

解析
由逐差法 $g=\frac{x_3+x_4-x_1-x_2}{4 T^2}$ ，其中 $f=\frac{1}{T}$ ，代入数据解得 $f=\sqrt{\frac{4 g}{x_3+x_4-x_1-x_2}}$ $=\sqrt{\frac{4 \times 9.8}{(45.9+39.9-27.6-33.7) \times 10^{-3}}} Hz=40 Hz$ ，根据匀变速直线运动的规律可得 $A$ 点的速度为 $v_A=\frac{x_3+x_2}{2 T}=\frac{0.0337+0.0399}{2} \times 40 m / s$ $\approx 1.5 m / s$ ．

（2） 该次实验产生误差其中最主要的原因是“枪头”打点瞬间阻碍纸带的运动，故A、B错误，C正确.

`例`某实验小组用图甲所示的装置测量自胄落体运动的加速度，其操作步骤如下:
A.按照图甲的装置安装实验器材；
B. 将电火花计时器接到学生电源的 " 8 V交流输出" 挡位上；
C. 先释放纸带，之后闭合开关接通电源，打出一条纸带；
D. 多次正确进行实验，从打出的纸带中选取较理想的一条如图乙所示，取连续的计时点 $1 、 2 、 3 、 4 、 \cdots$ ，测得点 1 到点 2 、
$3 、 4 、 \cdots$ 的距离分别为 $h_1 、 h_2 、 h_3 、 \cdots$ ；
E. 根据测量的数据算出重力加速度.
 ![图片](/uploads/2024-12/83b877.jpg)
(1)上述步骤中有错误的是___ (填相应步骤前的字母)；

(2)若从打点 1 时开始计时，点 $2 、 3 、 4 、 \cdots$ 对应时刻分别为 $t_1 、 t_2 、 t_3 、 \cdots$ ，求得 $v_2=\frac{h_1}{t_1} 、 v_3=\frac{h_2}{t_2} 、 v_4=\frac{h_3}{t_3} 、 \cdots$ ，作出 $v-t$ 图像如图丙所示，图线的斜率为 $k$ ，在纵轴上的截距为 $b$ ，可知打下点 1 时重物的速度 $v_1=$ ，当地的重力加速度 $g=$.
 ![图片](/uploads/2024-12/be056a.jpg)

解：（1）电火花计时器的工作电源是220 V交流电源，实验时应先接通电源后释放纸带，有错误的步骤是B、C.

（2）题图丙中的图线纵轴截距是0时刻对应的速度，即$v_1=b$，即表示打下点1时重物的速度.平均速度表示各段中间时刻的瞬时速度，以平均速度v为纵坐标，相应的运动时间的两倍为横坐标，则v－t图线的斜率的2倍表示重力加速度，即g＝2k.

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