最后更新: 2026-01-19 17:33 查看: 417 次纠错评论(0) 课件开VIP

摩擦力的突变问题★★★★★

## 摩擦力的突变问题
摩擦力的突变问题是力学中的难点，核心在于**摩擦力类型（静摩擦/滑动摩擦）或大小方向的突然改变**，通常由物体的运动状态、接触面性质或外力变化触发。这类问题的核心是找到**临界状态**，判断临界前后摩擦力的性质（静摩擦/滑动摩擦）和大小。

### 一、 摩擦力突变的两种核心类型
摩擦力分为**静摩擦力**和**滑动摩擦力**，二者的计算方式完全不同，这是突变的根源：
1.  **静摩擦力**：大小随外力变化，范围为 $0 \le f_{\text{静}} \le f_{\text{max}}$（最大静摩擦力），方向与相对运动趋势相反。
2.  **滑动摩擦力**：大小恒定，$f_{\text{滑}} = \mu N$（$\mu$ 为动摩擦因数，$N$ 为正压力），方向与相对运动方向相反。

突变的本质就是物体在**将要动而未动** 或 **将要停而未停** 的临界状态下，摩擦力从静摩擦转为滑动摩擦，或从滑动摩擦转为静摩擦。

### 二、 常见的摩擦力突变场景
#### 场景1： 外力变化导致的静→滑突变
当外力逐渐增大，突破**最大静摩擦力**时，物体由静止变为运动，静摩擦力瞬间变为滑动摩擦力。
- **临界条件**：外力 $F = f_{\text{max}}$（一般近似 $f_{\text{max}}=\mu N$）。
- **突变特点**：摩擦力大小从等于外力，突变为 $\mu N$；若外力继续增大，滑动摩擦力大小保持不变。

**例题** 一个质量 $m=1\ \text{kg}$ 的木块静止在水平地面上，动摩擦因数 $\mu=0.2$，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。用一个逐渐增大的水平拉力 $F$ 拉木块，分析摩擦力的变化：
1.  当 $F=1\ \text{N}$ 时，木块静止，$f_{\text{静}}=F=1\ \text{N}$；
2.  当 $F$ 增大到 $f_{\text{max}}=\mu mg=2\ \text{N}$ 时，达到临界状态；
3.  当 $F=3\ \text{N}$ 时，木块滑动，摩擦力突变为 $f_{\text{滑}}=2\ \text{N}$，此后 $F$ 再增大，$f_{\text{滑}}$ 不变 仍然是$2N$。

#### 场景2： 运动状态变化导致的滑→静突变
当物体的相对运动停止时，滑动摩擦力会瞬间消失，转为静摩擦力（大小等于此时的外力）。
- **临界条件**：物体的相对速度减为 $0$。
- **突变特点**：摩擦力从恒定的 $\mu N$ 突变为静摩擦力，大小由后续外力决定。

**例题** 一个木块以初速度 $v_0$ 滑上水平粗糙地面，滑行过程中只受滑动摩擦力 $f_{\text{滑}}=\mu mg$，做减速运动；当木块速度减为 $0$ 后，滑动摩擦力消失，若此时无外力作用，静摩擦力为 $0$；若有一个小于 $f_{\text{max}}$ 的外力拉它，木块保持静止，静摩擦力大小等于外力。

#### 场景3： 接触面变化导致的摩擦力突变
当物体的接触面粗糙程度（$\mu$）或正压力（$N$）突然改变时，滑动摩擦力会发生突变。
- **临界条件**：接触面的 $\mu$ 或 $N$ 发生变化的瞬间。
- **突变特点**：$f_{\text{滑}}=\mu N$ 随 $\mu$ 或 $N$ 突变，大小发生跳跃。

**例题** 一个木块以速度 $v$ 滑过一段粗糙水平面（$\mu_1$）后，滑上另一段更粗糙的水平面（$\mu_2>\mu_1$），则滑动摩擦力从 $f_1=\mu_1 mg$ 突变为 $f_2=\mu_2 mg$，木块的**加速度也随之增大**（这里的加速度是阻力的加速度，也就是物体速度变慢所需要的时间更短）。

## 摩擦力突变典型综合例题（含临界分析+解题步骤）
### 例题1  外力变化引发的**静→滑**突变
**题目**：
质量 $m=2\ \text{kg}$ 的木块静止在水平地面上，木块与地面间的动摩擦因数 $\mu=0.3$，最大静摩擦力 $f_{\text{max}}$ 近似等于滑动摩擦力。现用一个从零开始逐渐增大的水平拉力 $F$ 作用在木块上，$g$ 取 $10\ \text{m/s}^2$。求：
(1) 当 $F=5\ \text{N}$ 时，木块受到的摩擦力大小；
(2) 当 $F=8\ \text{N}$ 时，木块受到的摩擦力大小；
(3) 拉力 $F$ 满足什么条件时，木块会由静止开始运动？

**临界分析**：
本题的临界状态是**木块将要运动而未运动**，此时拉力等于最大静摩擦力。
先计算最大静摩擦力：
$$f_{\text{max}} \approx f_{\text{滑}}=\mu mg=0.3\times2\times10=6\ \text{N}$$
临界条件：$F = f_{\text{max}}=6\ \text{N}$

**解题步骤**：
(1) 当 $F=5\ \text{N}$ 时，$F < f_{\text{max}}$，木块保持静止，受**静摩擦力**。
根据二力平衡，静摩擦力大小等于拉力大小，即 $f_{\text{静}}=F=5\ \text{N}$。

(2) 当 $F=8\ \text{N}$ 时，$F > f_{\text{max}}$，木块开始滑动，受**滑动摩擦力**。
滑动摩擦力大小恒定，$f_{\text{滑}}=\mu mg=6\ \text{N}$。

(3) 木块由静止开始运动的临界条件是拉力大于等于最大静摩擦力，因此 $F \ge 6\ \text{N}$。

---

### 例题2  运动状态变化引发的**滑→静**突变
**题目**：
一个质量 $m=1\ \text{kg}$ 的滑块，以初速度 $v_0=6\ \text{m/s}$ 滑上水平粗糙的台面，滑块与台面间的动摩擦因数 $\mu=0.2$，$g$ 取 $10\ \text{m/s}^2$。滑块滑行一段距离后速度减为0，且此后没有外力作用。求：
(1) 滑块滑行过程中受到的摩擦力大小和方向；
(2) 滑块速度减为0后，受到的摩擦力大小；
(3) 若滑块速度减为0后，施加一个水平向右、大小为 $1\ \text{N}$ 的拉力，滑块受到的摩擦力大小。

**临界分析**：
本题的临界状态是**滑块速度减为0的瞬间**，此前滑块相对台面运动，受滑动摩擦力；此后相对静止，受静摩擦力（或不受摩擦力）。
滑动摩擦力大小：$f_{\text{滑}}=\mu mg=0.2\times1\times10=2\ \text{N}$
最大静摩擦力：$f_{\text{max}}\approx2\ \text{N}$

**解题步骤**：
(1) 滑块滑行过程中相对台面运动，受**滑动摩擦力**，大小 $f_{\text{滑}}=2\ \text{N}$，方向与运动方向相反（水平向左）。

(2) 滑块速度减为0后，无外力作用，无相对运动趋势，因此静摩擦力大小为 $\boldsymbol{0}$。

(3) 施加 $F=1\ \text{N}$ 的拉力后，$F < f_{\text{max}}$，滑块保持静止，受**静摩擦力**。
根据二力平衡，静摩擦力大小 $f_{\text{静}}=F=1\ \text{N}$，方向水平向左。

---

### 例题3  接触面变化引发的滑动摩擦力突变
**题目**：
如图所示，一木块以初速度 $v_0=4\ \text{m/s}$ 沿水平方向向右滑行，依次经过**粗糙面AB**和**更粗糙面BC**，AB段动摩擦因数 $\mu_1=0.1$，BC段动摩擦因数 $\mu_2=0.4$，木块质量 $m=3\ \text{kg}$，$g$ 取 $10\ \text{m/s}^2$。求：
(1) 木块在AB段受到的摩擦力大小和加速度大小；
(2) 木块进入BC段瞬间，摩擦力和加速度的突变情况；
(3) 比较木块在AB段和BC段的减速快慢。

**临界分析**：
本题的临界状态是**木块刚进入BC段的瞬间**，接触面的动摩擦因数突变，导致滑动摩擦力突变，加速度也随之突变。
滑动摩擦力公式：$f_{\text{滑}}=\mu mg$，加速度公式：$a=\frac{f_{\text{滑}}}{m}=\mu g$

**解题步骤**：
(1) 木块在AB段受滑动摩擦力：
$$f_1=\mu_1 mg=0.1\times3\times10=3\ \text{N}$$
根据牛顿第二定律，加速度大小：
$$a_1=\mu_1 g=0.1\times10=1\ \text{m/s}^2$$
方向水平向左。

(2) 木块进入BC段瞬间，动摩擦因数从 $\mu_1$ 突变为 $\mu_2$，滑动摩擦力突变：
$$f_2=\mu_2 mg=0.4\times3\times10=12\ \text{N}$$
加速度也随之突变：
$$a_2=\mu_2 g=0.4\times10=4\ \text{m/s}^2$$
方向仍水平向左。
**突变特点**：摩擦力从 $3\ \text{N}$ 突增为 $12\ \text{N}$，加速度从 $1\ \text{m/s}^2$ 突增为 $4\ \text{m/s}^2$。

(3) 加速度是描述速度变化快慢的物理量，因为 $a_2 > a_1$，所以木块在 **BC段减速更快**。

---

### 例题4  外力方向变化引发的静摩擦力突变
**题目**：
一个质量 $m=5\ \text{kg}$ 的木箱放在水平地面上，与地面间的最大静摩擦力 $f_{\text{max}}=15\ \text{N}$。现对木箱施加一个水平外力 $F$，$F$ 的方向先水平向右，再水平向左，大小始终为 $10\ \text{N}$。求：
(1) $F$ 水平向右时，木箱受到的静摩擦力大小和方向；
(2) $F$ 突然变为水平向左的瞬间，静摩擦力的突变情况；
(3) 若 $F$ 大小变为 $20\ \text{N}$，方向水平向右，有什么变化？

**临界分析**：
本题的临界状态是**外力方向突变的瞬间**，木箱的相对运动趋势方向突变，导致静摩擦力的方向和大小（若有变化）突变。
核心规律：静摩擦力大小等于外力，方向与外力相反（静止状态下）。

**解题步骤**：
(1) $F=10\ \text{N}$ 水平向右时，$F < f_{\text{max}}$，木箱静止。
静摩擦力大小 $f_{\text{静}}=F=10\ \text{N}$，方向**水平向左**。

(2) $F$ 突然变为水平向左的瞬间，木箱相对运动趋势变为水平向左，静摩擦力方向立即突变为**水平向右**，大小仍为 $10\ \text{N}$（因为外力大小不变）。

(3) 若 $F=20\ \text{N} > f_{\text{max}}=15\ \text{N}$，木箱不再静止，静摩擦力突变为滑动摩擦力（需已知动摩擦因数才能计算大小），木箱将沿外力方向做加速运动。

### **易错题**
倾角为$\theta=37^\circ$的传送带以$v=2m/s$**匀速**上行，将质量$m=1kg$的物块轻放于传送带底端（初速度0）。已知$\mu=0.8$，$\sin37^\circ=0.6$，$\cos37^\circ=0.8$，$g=10m/s^2$。求物块从底端到与传送带共速过程中的摩擦力变化。

![图片](/uploads/2026-01/b1bae9.jpg)
 
**分析**：  
- 物块刚放上时，速度$v_0=0 < v$，相对传送带向下滑动，滑动摩擦沿斜面向上（阻碍相对向下滑动）。  
  滑动摩擦力大小：$f_1=\mu mg\cos\theta=0.8\times1\times10\times0.8=6.4N$。  
  重力分力：$mg\sin\theta=6N < f_1$，故物块加速上滑。  
- 当物块速度增至$v=2m/s$时，相对传送带静止，需判断是否能保持静止：  
  最大静摩擦$f_{\text{max}}=\mu_s mg\cos\theta$（近似$\mu_s\approx\mu_k=0.8$），$f_{\text{max}}=6.4N > mg\sin\theta=6N$，故物块随传送带匀速上行，滑动摩擦突变为静摩擦。  
  静摩擦力大小：$f_2=mg\sin\theta=6N$（平衡重力分力）。

**结论**：摩擦力先从6.4N（滑动，向上）突变为6N（静，向上）。  
## 练习
分析摩擦力突变问题的方法
1.在涉及摩擦力的情况中，题目中出现“最大”“最小”和“刚好”等关键词时，一般隐藏着摩擦力突变的临界问题.题意中某个物理量在变化过程中发生突变，可能导致摩擦力突变，则该物理量突变时的状态即为临界状态.
2.存在静摩擦力的情景中，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态.
3.确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析.

物体在静摩擦力和其他力的共同作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发生变化时，如果物体仍然保持静止状态，则物体受到的静摩擦力的大小和方向将发生突变.

`例`如图所示，质量为10 kg的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧的拉力为5 N时，物体A与小车均处于静止状态.若小车以1 m/s2的加速度向右运动，则
 ![图片](/uploads/2024-12/1ed661.jpg)
A.物体A相对小车向右运动
B.物体A受到的摩擦力减小
C.物体A受到的摩擦力大小不变
D.物体A受到的弹簧的拉力增大

解： 由题意得，物体A与小车的上表面间的最大静摩擦力Ffm≥5 N，当小车加速运动时，假设物体A与小车仍然相对静止，则物体A所受合力大小F合＝ma＝10 N，可知此时小车对物体
A的摩擦力大小为5 N，方向向右，且为静
摩擦力，所以假设成立，物体A受到的摩擦
力大小不变，故A、B错误，C正确；
弹簧长度不变，物体A受到的弹簧的拉力大小不变，故D错误.

**物体在静摩擦力和其他力作用下处于相对静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持相对静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力.**

`例` (多选)在探究静摩擦力变化规律及滑动摩擦力变化规律的实验中，设计了如图甲所示的演示装置，力传感器A与计算机连接，可获得力随时间变化的规律，将力传感器固定在光滑水平桌面上，测力端通过细绳与一滑块相连(调节力传感器高度使细绳水平)，滑块放在较长的小车上，小车一端连接一根轻绳并跨过光滑的轻质定滑轮系一空沙桶(调节滑轮使桌面上部轻绳水平)，整个装置处于静止状态.实验开始时，打开力传感器的同时缓慢向沙桶里倒入沙子，小车一旦运动起来，立即停止倒沙子，若力传感器采集的图像如图乙，
 ![图片](/uploads/2024-12/373cbb.jpg)
 则结合该图像，下列说法正确的是
A.可求出空沙桶的重力
B.可求出滑块与小车之间的滑动摩擦力的大小
C.可求出滑块与小车之间的最大静摩擦力的大小
D.可判断第50 s后小车将做匀速直线运动(滑块仍在车上)
解：在t＝0时刻，力传感器显示拉力为2 N，则滑块受到的摩擦力为静摩擦力，大小为2 N，由小车与空沙桶受力平衡，可知空沙桶的重力也等于2 N，A选项正确；
t＝50 s时，静摩擦力达到最大值，即最大静摩擦力为3.5 N，同时小车启动，说明沙子与沙桶总重力等于3.5 N，此时静摩擦力突变为滑动摩擦力，滑动摩擦力大小为3 N，B、C选项正确；
此后由于沙子和沙桶总重力3.5 N大于滑动摩擦力3 N，故第50 s后小车将做匀加速直线运动，D选项错误.

在滑动摩擦力和其他力作用下，做减速运动的物体突然停止滑行时，物体将不再受滑动摩擦力作用，滑动摩擦力“突变”为静摩擦力.

`例`如图所示，斜面体固定在地面上，倾角为 $\theta=37^{\circ}\left(\sin 37^{\circ}=0.6, \cos \right.$ $37^{\circ}=0.8$ ). 质量为 1 kg 的滑块以初速度 $v_0$ 从斜面底端沿斜面向上滑行(斜面足够长，该滑块与斜面间的动摩擦因数为 0.8 ，则该滑块所受摩察力 $F_{\text {随时 }}$间变化的图像是选项图中的(取初速度 $v_0$ 的方向为正方向， $g=10 m / s ^2$ )
 ![图片](/uploads/2024-12/aa0942.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2024-12/a68ae8.jpg)
   ![图片](/uploads/2024-12/fafa41.jpg)
  解：滑块上滑过程中受滑动摩擦力， $F_{ f }=\mu F_{ N }, F_{ N }=m g \cos \theta$ ，联立得 $F_{ f }$ $=6.4 N$ ，方向沿斜面向下，当滑块的速度减为零后，由于重力的分力 $m g \sin \theta<\mu m g \cos \theta$ ，滑块静止，滑块受到的摩擦力为静摩擦力，由平衡条件得 $F_{ f }{ }^{\prime}=m g \sin \theta$ ，代入数据可得 $F_f{ }^{\prime}=6 N$ ，方向沿斜面向上，故选项B正确.
  
  
  物体在滑动摩擦力作用下运动直到达到共同速度后，如果在静摩擦力作用下不能保持相对静止，则物体将继续受滑动摩擦力作用，但其方向发生改变.

`例`(多选)如图所示，足够长的传送带与水平面间的夹角为 $\theta$ ，以速度 $v_0$ 逆时针匀速转动。在传送带的上端轻轻放置一个质量为 $m$ 的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数 $\mu<\tan \theta$ ，选沿传送带向下为正方向，则下列选项中能客观地反映小木块的受力和运动情况的是
 ![图片](/uploads/2024-12/45f28d.jpg)
  ![图片](/uploads/2024-12/c3fd1c.jpg)
  
 解：当小木块速度小于传送带速度时，小木块相对于传送带向上滑动，小木块受到的滑动摩擦力沿传送带向下，加速度 $a=g \sin \theta+\mu g \cos \theta$ ；当小木块速度与传送带速度相同时，由于 $\mu<\tan \theta$ ，即 $\mu m g \cos \theta<$ $m g \sin \theta$ ，所以速度能够继续增大，此时滑动摩擦力的大小不变，而方向突变为向上，且 $a=g \sin \theta-\mu g \cos \theta$ ，加速度变小，则 $v-r$ 图像的斜率变小，所以B、 D正确.
 
 ## 注意事项
 1.静摩擦力是被动力，其大小、方向取决于物体间的相对运动的趋势，而且静摩擦力存在最大值.存在静摩擦力的连接系统，相对滑动与相对静止的临界状态是静摩擦力达到最大值.
2.滑动摩擦力的突变问题：滑动摩擦力的大小与接触面的动摩擦因数和接触面受到的压力均成正比，发生相对运动的物体，如果接触面的动摩擦因数发生变化或接触面受到的压力发生变化，则滑动摩擦力就会发生变化.
3.研究传送带问题时，物体和传送带的速度相等的时刻往往是摩擦力的大小、方向和运动性质发生变化的分界点.

## 能力综合练

`例`(多选)图示为工人用砖夹搬运砖块的示意图.若工人搬运四块形状相同且重力均为 $G$ 的砖，当砖处于坚直静止状态时，下列说法正确的是
A. 3 对 2 的摩擦力为零
B. 2 对 1 的摩擦力大小为 $G$ ，方向坚直向上
C.工人对砖夹的力增大，砖夹对砖的水平压力增大，四块砖对砖夹的摩察力不变
D. 工人对砖夹的力增大，砖夹对砖的水平压力增大，3对4的摩擦力增大
 ![图片](/uploads/2024-12/1c67da.jpg)
 
 解：以四块砖整体为研究对象，根据力的平衡条件和对称性可知，左、右砖夹对四块砖整体的摩擦力大小均为2G，对1和2整体受力分析，竖直方向上受到2G的重力和大小为2G、方向竖直向上的摩擦力而平衡，则3对2的摩擦力为零，A正确；
对1砖受力分析，受到大小为G的重力，左侧砖夹竖直向上、大小为2G的摩擦力，则2对1的摩擦力大小为G，方向竖直向下，B错误；
工人对砖夹的力增大，砖夹对砖的水平压力增大，砖夹对四块砖的摩擦力与四块砖的重力平衡，即大小为4G，砖对砖夹的摩擦力与水平压力无关，C正确；
3对4的摩擦力方向竖直向下，大小为G，与水平压力无关，D错误.

`例`(多选)如图所示，用水平力F拉着一物体在水平地面上做匀速直线运动，从t＝0时刻起水平力F的大小随时间均匀减小，到t1时刻，F减小为零.物体所受的摩擦力Ff随时间t变化的图像可能是
 ![图片](/uploads/2024-12/2f5462.jpg)
  ![图片](/uploads/2024-12/394de4.jpg)
  
  解：由题意可知，开始物体做匀速运动，从t＝0时刻，
拉力F开始均匀减小，t1时刻拉力减小为零，出现
的摩擦力有两种可能，一种是当拉力为零时，物体仍在滑动，则受到的一直是滑动摩擦力，即大小不变，A正确；
另一种是当拉力为零前，物体已静止，则物体先受到滑动摩擦力，后受到静摩擦力，滑动摩擦力大小不变，而静摩擦力的大小与拉力相等，而此时拉力小于滑动摩擦力大小，D正确，B、C错误.

`例` 一长方形木板放置在水平地面上，在长方形木板的上方有一条状竖直挡板，挡板的两端固定于水平地面上，挡板与木板不接触.现有一个方形物块在木板上沿挡板以速度v运动，同时长方形木板以大小相等的速度向左运动，木板的运动方向与竖直挡板垂直，已知物块跟竖直挡板和水平木板间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块的质量为m，重力加速度为g，则竖直挡板对物块的摩擦力大小为
 ![图片](/uploads/2024-12/ac3e16.jpg)
 A. 0
B. $\frac{\sqrt{2}}{2} \mu_1 \mu_2 m g$
C. $\cdot \frac{1}{2} \mu_1 \mu_2 m g$
D. $\sqrt{2} \mu_1 \mu_2 m g$

解：物块沿运动方向受挡板的摩擦力大小为 $F_{ fl }=\mu_1 F_{ N }$,因物块沿挡板运动的速度的大小等于木板运动的速度的大小，故物块相对木板的速度方向与挡板成 $45^{\circ}$ 角，物块受木板的摩擦力大小为 $F_{ f 2}=\mu_2 m g$ ，其方向与挡板成 $45^{\circ}$ 角，如图，则物块与挡板之间的正压力 
$F_{ N }=\mu_2 m g \sin 45_2^{\sqrt{2}}=\quad \mu_2 m g$ ，故挡板对物块的摩擦力大小为 $F_{ fl }=\mu_1 F_{ N }$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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