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力的合成和分解

## 合力和分力
生活中常常见到这样的事例: 一个力的单独作用与两个或者更多力的共同作用，其效果相同。
例如，两个小孩分别用力 $F_1 、 F_2$ 共同提着一桶水，水桶静止 (图 3.4-1 乙) ; 一个大人单独向上用力 $F$ 也能提着这桶水，让水桶保持静止 (图 3.4-1 甲)。
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一盏吊灯悬吊在天花板上保持静止, 悬线对吊灯的拉力是 $F$ (图 3.4-2 甲), 若用两根线共同悬挂吊灯, 悬线上端分别固定在天花板的左右两处, 线的拉力是 $F_1$ 和 $F_2$, 也能产生使吊灯保持静止的效果 (图3.4-2乙)。
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假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同, 这个力就叫作那几个力的**合力** ( resultant force)。假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同, 这几个力就叫作那个力的**分力** (component force)。图3.4-1 中的 $F$ 是 $F_1$ 和 $F_2$ 的合力, 图3.4-2乙中的 $F_1$ 和 $F_2$ 是 $F$的分力。

## 力的合成和分解

**在物理学中, 我们把求几个力的合力的过程叫作力的合成 (composition of forces), 把求一个力的分力的过程叫作力的分解 (resolution of force)。**

### 力的合成
实验表明：两个共点力 $F_1, ~ F_2$ 的合力 $F$ 可以用以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线表示（图3－ 23）。这就是力的平行四边形定则（parallelogram rule）。

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`例` 两位学生同时用水平力推一个木箱使其沿直线移动，一位用力 300 N ，另一位用力 400 N ，两个水平推力的夹角是 $90^{\circ}$ ，求这两个力的合力。

分析：首先需要判断这两个力是否为共点力。如果是共点力，可以根据平行四边形定则通过作图或代数运算求得结果。本题中的两个力为相互垂直的共点力，相应的平行四边形为矩形，除作图法外，还可以根据幻股定理求解。

解：方法一：
将木箱抽象为质点 $O$ ，如图 3－24 所示，选定 10 mm 长的线段表示 100 N 的力。作 $F_1$ $=300 N, ~ F_2=400 N, F_1$ 与 $F_2$ 相互垂直。
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  (图 3–24  通过作图求合力)
  
以 $F_1, ~ F_2$ 为邻边作平行四边形，根据平行四边形定则，合力 $F$ 为平行四边形的对角线。

用刻度尺量得对角线长为 50 mm ，由此得到合力大小

$$
F=\frac{50 mm}{10 mm} \times 100 N=500 N
$$

用量角器量出合力 $F$ 与分力 $F_1$ 的夹角 $\alpha=53^{\circ}$ 。则合力 $F$ 的大小为 500 N ，合力的方向与 $F_1$ 的夹角为 $53^{\circ}$ 。

方法二：
图3－24 中 $F_1, ~ F_2$ 间夹角为 $90^{\circ}$ ，由勾股定理可得

$$
F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}=\sqrt{(300 N)^2+(400 N)^2}=500 N
$$

由正切函数的定义可得

$$
\tan \alpha=\frac{F_2}{F_1}=\frac{400 N}{300 N} \approx 1.33, \alpha \approx 53^{\circ}
$$

即合力 $F$ 的大小为 500 N ，合力的方向与 $F_1$ 的夹角为 $53^{\circ}$ 。
 
### 力的分解
把一个力用几个同时作用的力来替代的方法称为**力的分解**（decomposition of force）。力的分解也是一种等效替代。

一个力可以由任意多个分力来替代。我们针对一个力分解为两个分力的简单情况分析。
力是矢量，力的合成遵循平行四边形定则。力的分解同样遵循平行四边形定则。
根据平行四边形定则，以一个力 F 为对角线作出平行四边形；平行四边形的两条邻边即为与 F 共点的两个分力。如果没有限制，对于同一条对角线，可以作出无穷多个平行四边形（图 3–30）。因此，**一个力分解为两个分力的分解方法可以有无穷多种**

![图片](/uploads/2025-04/1d12aa.svg){width=200px}
 (图 3–30  一个力可以有无穷多种分解方法)
 
#### （1）按照实际效果进行力的分解
实际问题中我们常常根据力的**实际作用效果**来确定分力的方向，再用平行四边形定则求出分力。

`例` 把一个木箱放在倾角为 θ 的斜面上，木箱受到重力的作用。从力的作用效果来看，应该怎样分解重力？分力的大小与斜面的倾角有什么关系？

分析：重力的作用产生了两个效果杲：使木箱有沿斜面下滑的趋势和使木箱紧压斜面。因此，木箱的重力可分解为平行于斜面向下的力 $F_1$ 和垂直于斜面向下的力 $F_2$。
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 图 3–34  斜面上木箱所受重力的分解
 
 解：以木箱为研究对象，根据木箱所受重力产生的效果画出分解重力 $G$ 的平行四边形，如图 3－34 所示。由几何关系可知

$$
\begin{aligned}
& F_1=G \sin \theta \\
& F_2=G \cos \theta
\end{aligned}
$$

$F_1$ 和 $F_2$ 的大小都与斜面的倾角有关，倾角 $\theta$ 越大，$F_1$ 越大，$F_2$ 越小。

#### （2）正交分解法
在许多情况下，往往将一个力分解为两个互相垂直的分力，以便于对问题的分析讨论，这种方法称为正交分解法．如图3－5－10所示，斜向上的拉力 $F$ 产生了两个实际效果：一个水平拉力 $F_x$ ，一个垂直向上的力 $F_y$ ．我们在这两个方向上建立直角坐标系，把力 $F$ 分别沿这两个互相垂直的方向分解成两个分力，可得 
$$
\left\{\begin{array}{l}F_x=F \cos \theta, \\ F_y=F \sin \theta .\end{array}\right.
$$

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`例` 如图，用一根绳子将重 $G=100\ \text{N}$ 的物体悬挂在水平横梁上，绳子与横梁的夹角为 $30^\circ$，求绳子的拉力 $F$ 以及横梁对悬挂点的支持力 $N$
 
 ![图片](/uploads/2026-01/61387f.jpg){width=300px}

**解题步骤**
1.  **受力分析**：悬挂点受三个力——绳子拉力 $F$ 、横梁支持力 $N$ 、物体拉力 $T=100 \text{N}$（竖直向下）。
2.  **正交分解拉力 $F$**
    - 水平分力：$F_x=F\cos30^\circ$
    - 竖直分力：$F_y=F\sin30^\circ$
3.  **根据平衡条件列方程**
    - 水平方向：$F_x=N$ → $F\cos30^\circ=N$
    - 竖直方向：$F_y=T$ → $F\sin30^\circ=100$
4.  **解方程**
    由竖直方向方程：$F=\frac{100}{\sin30^\circ}=\frac{100}{0.5}=200\ \text{N}$
    代入水平方向方程：$N=F\cos30^\circ=200\times\frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}\ \text{N}\approx173.2\ \text{N}$

**结论**
绳子拉力为 $200\ \text{N}$，横梁支持力为 $100\sqrt{3}\ \text{N}$。

## 力分解的应用

在现实生活中，力的分解有着广泛的应用．下面通过一个实例来说明其应用．
一卡车陷人泥坑中，在紧急状况下，我们可以按如图3－5－7所示的方法，用钢索把载货卡车和木桩拴紧，在钢索的中央用较小的垂直于钢索的侧向力就可以将载货卡车拉出泥坑。我们将作用在钢索上的力 $F$ 沿钢索分解为 $F_1$ 和 $F_2$ 两个分力，显然，分力 $F_1, F_2$ 大于合力 $F$ ．这个例子是用一个较小的合力产生两个较大的分力，如图 3－5－8 所示．
 
 ![图片](/uploads/2026-01/1d1ba1.jpg){width=500px}

以上实例利用了合力与分力的关系：当合力一定时，分力的大小和方向会随着分力间的夹角改变而改变，两个分力的夹角越大，分力就越大．

## 本节梳理
**1.合力与分力**
(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的**合力**，那几个力叫作这个力的**分力**.
(2)关系：合力与分力是**等效替代** 关系.
**2.力的合成**
(1)定义：求几个力的**合力**的过程.
 （2）运算法则
(1)平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个①有向线段为**邻边**作平行四边形，这两个邻边之间的**对角线**就表示合力的大小和方向.如图甲所示， $F_1 、 F_2$ 为分力， $F$ 为合力.
 ![图片](/uploads/2024-12/55c749.jpg)
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的直向线段 为合矢量.如图乙所示， $F_1 、 F_2$ 为分力， $F$ 为合力.

## 判断
1.合力和分力可以同时作用在一个物体上. $(\times)$
2.两个力的合力一定比其分力大.（ $\times$ ）
3.当一个分力增大时，合力一定增大. $(\times)$

1.求合力的方法

![图片](/uploads/2024-12/a3db3f.jpg)
 
 2. 合力范围的确定
(1)两个共点力的合力大小的范围: $\left|F_1-F_2\right| \leqslant F \leqslant F_1+F_2$.
 ①两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
 ②当两个力反向时，合力最小，为 $\left|F_1-F_2\right|$ ；当两个力同向时，合力最大，为 $F_1+F_2$ 。
(2)三个共点力的合力大小的范围
 ①最大值: 三个力同向时，其合力最大，为 $F_{\text {max }}=F_1+F_2+F_3$.
 ②最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，即 $E_{\text {min }}=0$ ；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即 $E_{\min }=F_1-\left(F_2+F_3\right)\left(F_1\right.$ 为三个力中最大的力).

## 例题
`例`(多选)两个共点力 $F_1 、 F_2$ 大小不同，夹角为 $\alpha(0<\alpha<\pi)$ ，它们的合力大小为 $F$ ，则
A. $F_1 、 F_2$ 同时增加 $10 N, F$ 也增加 10 N
B. $F_1 、 F_2$ 同时增大一倍， $F$ 也增大一倍
C. $F_1$ 增加 $10 N, F_2$ 减少 $10 N, F$ 一定不变
D.若 $F_1 、 F_2$ 都增大，但 $F$ 不一定增大

解：$F_1 、 F_2$ 同时增加 10 N ，根据平行四边形定则合成之后，合力的大小增加不一定是 10 N ，故 A 错误；
根据平行四边形定则， $F_1 、 F_2$ 同时增大一倍， $F$ 也增大一倍，故B正确； $F_1$ 增加 $10 N, F_2$ 减少 $10 N, F$ 可能变大或变小，也可能不变，故 $C$ 错误；若 $F_1 、 F_2$ 都增大，根据平行四边形定则可知 $F$ 不一定增大，故D正确.

`例` 射箭是奥运会上一个观赏性很强的运动项目，中国队有较强的实力.如图甲所示，射箭时，刚释放的瞬间若弓弦的拉力为 100 N ，对箭产生的作用力为 120 N ，其弓弦的拉力如图乙中 $F_1$ 和 $F_2$ 所示，对箭产生的作用力如图乙中 $F$ 所示，则弓弦的夹角 $\alpha$ 应为 $\left(\cos 53^{\circ}=0.6\right)$

![图片](/uploads/2024-12/cb4721.jpg){width=400px}

A. $53^{\circ}$
B. $127^{\circ}$
C. $143^{\circ}$
D. $106^{\circ}$

解：弓弦拉力的合成如图所示, 由于 $F_1=F_2$, 由几何关系得 $2 F_1 \cos \frac{\alpha}{2}=F$, 有 $\cos \frac{\alpha}{2}=\frac{F}{2 F_1}=\frac{120 N}{2 \times 100 N}=0.6$, 所以 $\frac{\alpha}{2}=53^{\circ}$, 即 $\alpha=106^{\circ}$, 故 D 正确.
 ![图片](/uploads/2024-12/b084c2.jpg)
 
 
 
 `例`一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是
 
![图片](/uploads/2025-04/9cec04.jpg){width=300px}
 
A.三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B.三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C.三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D.由题给条件无法求合力大小

解：答案B
 
 先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，故选B.
 ![图片](/uploads/2025-04/67970a.jpg){width=300px}
 
 
`例`  （多选）已知力 $F$ 的一个分力 $F_1$ 跟 $F$ 成 $30^{\circ}$ 角，大小未知，另一个分力 $F_2$ 的大小为 $\frac{\sqrt{3}}{3} F$ ，方向未知，则 $F_1$ 的大小可能是 
A．$\frac{\sqrt{3} F}{3}$
B．$\frac{\sqrt{3} F}{2}$
C．$\frac{2 \sqrt{3} F}{3}$
D．$\sqrt{3} F$
解析：选 AC．如图所示，

![图片](/uploads/2026-01/359c22.jpg)
 
因 $F_2=\frac{\sqrt{3}}{3} F>F \sin 30^{\circ}$ ，故 $F_1$ 的大小有两种可能情况，由 $\Delta F =\sqrt{F_2^2-\left(F \sin 30^{\circ}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{6} F$ ，即 $F_1$ 的大小分别为 $F \cos 30^{\circ}-\Delta F$ 和 $F \cos 30^{\circ}+\Delta F$ ，即 $F_1$ 的大小分别为 $\frac{\sqrt{3}}{3} F$ 和 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} F, \mathrm{~A} 、 \mathrm{C}$ 正确．

`例`（多选）如图所示，质量为 $M$ 的斜面体 $A$ 放在粗糙水平面上，用轻绳拴住质量为 $m$ 的小球 $B$ 置于斜面上，整个系统处于静止状态，已知斜面倾角及轻绳与坚直方向夹角均为 $\theta=30^{\circ}$ ．不计小球与斜面间的摩擦，则 
 ![图片](/uploads/2026-01/070154.jpg)
A．轻绳对小球的作用力大小为 $\frac{\sqrt{3}}{3} m g$
B．斜面对小球的作用力大小为 $\sqrt{2} m g$
C．斜面体对水平面的压力大小为 $(M+m) g$
D．斜面体与水平面间的摩擦力大小为 $\frac{\sqrt{3}}{6} m g$

解析：选 AD．以 $B$ 为研究对象，受力如图甲所示，由几何关系知 $\theta=\beta=30^{\circ}$ ．根据受力平衡可得 $F_{\mathrm{T}}=F_{\mathrm{N}}=\frac{\sqrt{3}}{3} m g$以斜面体为研究对象，其受力如图乙所示

![图片](/uploads/2026-01/e2774c.jpg)
 
 由受力平衡得 $F_{\mathrm{N} 1}=M g+F_{\mathrm{N}}{ }^{\prime} \quad \cos \theta=M g+\frac{1}{2} m g$

$$
F_{\mathrm{f}}=F_{\mathrm{N}}^{\prime} \quad \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{6} m g
$$

故 B、C 选项错误，A、D 选项正确．

`例`   如图所示，开口向下的＂□＂形框架两侧坚直杆光滑固定，上面水平横杆中点固定一定滑轮，两侧杆上套着的两滑块用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，此时连接滑块 $A$ 的绳与水平方向夹角为 $\theta$ ，连接滑块 $B$ 的绳与水平方向的夹角为 $2 \theta$ ，则 $A 、 B$ 两滑块的质量之比为（ ）

解析：选 A．设绳的拉力为 $F$ ，对两个滑块分别受力分析，如图所示，根据力的平衡条件可知：$m_A g=F \sin \theta, m_B g=F \sin 2 \theta$ ，因此 $\frac{m_A}{m_B}=\frac{\sin \theta}{\sin 2 \theta}=\frac{1}{2 \cos \theta}$

![图片](/uploads/2026-01/272391.jpg)
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