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力的分解的两种常用方法★★★★★

## 力的分解的两种常用方法
 1.力的分解是力的合成的逆运算，遵循的法则: **平行四边形**定则或**三角形**定则。
2. 分解方法
(1)**按力产生的效果 分解**;
 ①根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向.
 ②再根据两个分力方向画出平行四边形.
 ③最后由几何知识求出两个分力的大小和方向.

(2)**正交分解**.
 ①建立坐标轴的原则：在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系.

②多个力求合力的方法：把各力向相互垂直的 $x$ 轴、 $y$ 轴分解.
$x$ 轴上的合力 $F_x=F_{x 1}+F_{x 2}+F_{x 3}+\cdots$
$y$ 轴上的合力 $F_y=F_{y 1}+F_{y 2}+F_{y 3}+\cdots$
合力大小 $F=\sqrt{F_x^2+F_y{ }^2}$
若合力方向与 $x$ 轴夹角为 $\theta$ ，则 $\tan \theta=\frac{F_y}{F_x}$.
 ![图片](/uploads/2024-12/165846.jpg)
 
 
如图，将结点 $O$ 的受力进行分解.上图是按效果进行分解，下图是正交分解。

![图片](/uploads/2024-12/2c0992.jpg){width=500px}

力的分解的常见情况
 
  ![图片](/uploads/2026-01/6c1150.jpg){WIDTH=500PX}
  
### 几种特殊情况下力的合成

![图片](/uploads/2026-01/0a67d1.jpg){WIDTH=500PX}

`例`如图所示，电灯的重力G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角为45°，BO绳水平，试求AO绳和BO绳拉力的大小？

![图片](/uploads/2026-01/7701be.jpg)

解：**（按照实际效果分解）**  结点O为研究对象，悬挂灯的拉力产生了两个效果，一是沿AO向下的使AO张紧的分力F1，二是沿BO向左的使BO绳张紧的分力F2，画出平行四边形如图甲所示，因此，由几何关系得

![图片](/uploads/2026-01/7e8e26.jpg)
 
 $$
 \begin{aligned}
& F_1=\frac{G}{\sin 45^{\circ}}=10 \sqrt{2} \mathrm{~N} \\
& F_2=\frac{G}{\tan 45^{\circ}}=10 \mathrm{~N}
\end{aligned}
$$

法二：**正交分解法**
结点 $O$ 与灯看作一个整体，其受到三个力作用 $F_A 、 F_B 、 G$ ，如图乙所示．
 
 ![图片](/uploads/2026-01/5ecf8e.jpg)
 
由水平方向和坚直方向，列方程得
$F_A \sin 45^{\circ}=G, \quad F_A \cos 45^{\circ}=F_B$
解得 $F_A=10 \sqrt{2} \mathrm{~N}, F_B=10 \mathrm{~N}$
答案 $10 \sqrt{2} \mathrm{~N} \quad 10 \mathrm{~N}$

## 例题

`例` （多选）作用在同一点上的两个力，大小分别是 5 N 和 4 N ，则它们的合力大小可能是 
A． 0
B． 5 N
C． 3 N
D． 10 N
解析：选 BC ．根据 $\left|F_1-F_2\right| \leqslant F \leqslant F_1+F_2$ 得，合力的大小范围为 $1 \mathrm{~N} \leqslant F \leqslant 9 \mathrm{~N}, \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 正确。

`例`如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态.蛛丝 $O M 、 O N$ 与坚直方向夹角分别为 $\alpha, \beta(\alpha>\beta)$. 用 $F_1 、 F_2$ 分别表示 $O M 、 O N$ 的拉力，则
A. $F_1$ 的坚直分力大于 $F_2$ 的坚直分力
B. $F_1$ 的坚直分力等于 $F_2$ 的坚直分力
C. $F_1$ 的水平分力大于 $F_2$ 的水平分力
D. $F_1$ 的水平分力等于 $F_2$ 的水平分力
 ![图片](/uploads/2024-12/f56e3b.jpg)

解：对结点 $O$ 受力分析可得，水平方向有 $F_{1 x}=F_{2 x}$ ，即 $F_1$ 的水平分力等于 $F_2$ 的水平分力，选项 C 错误，
D正确；
$F_{1 y}=\frac{F_{1 x}}{\tan \alpha}, F_{2 y}=\frac{F_{2 x}}{\tan \beta}$ ，因为 $\alpha>\beta$ ，故 $F_{1 y}<F_{2 y}$ ，选项A、B错误.

> 点评：本题也可以采用极限思维，题目说$\alpha>\beta$,如果 $\beta \to 0$，可以看到，$F_2$的竖直分力几乎等于物体的重量，而$F_1$的竖直分力几乎为零。

`例` 刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作壁，如图是斧头壁木柴的情景.壁的纵截面是一个等腰三角形，使用壁的时候，垂直䢃背加一个力 $F$ ，这个力产生两个作用效果，使壁的两个侧面推压木柴，把木柴襞开.设襞背的宽度为 $d$ ，臂的侧面长为 $l$ ，不计斧头自身的重力，则譬的侧面推压木柴的力的大小为
![图片](/uploads/2024-12/4443ad.jpg)

解：斧头幦木柴时, 设两侧面推压木柴的力分别为 $F_1 、 F_2$, 且 $F_1=F_2$, 利用几何三角形与力的三角形相似有 $\frac{d}{F}=\frac{l}{F_1}=\frac{l}{F_2}$, 得推压木柴的力 $F_1=$ $F_2=\frac{l}{d} F$ .
 ![图片](/uploads/2024-12/a6ed5e.jpg)

`例`(多选)如图所示，质量为M的斜面体A放在粗糙水平面上，用轻绳拴住质量为m的小球B置于斜面上，整个系统处于静止状态，已知斜面倾角及轻绳与竖直方向夹角均为θ＝30°.不计小球与斜面间的摩擦，则
   ![图片](/uploads/2026-01/700f15.jpg)
 
 A．轻绳对小球的作用力大小为 $\frac{\sqrt{3}}{3} m g$
B．斜面对小球的作用力大小为 $\sqrt{2} \mathrm{mg}$
C．斜面体对水平面的压力大小为 $(M+m) g$
D．斜面体与水平面间的摩擦力大小为 $\frac{\sqrt{3}}{6} m g$
解析：选 AD ．以 $B$ 为研究对象，受力如图甲所示，由几何关系知 $\theta=\beta=30^{\circ}$ ．根据受力平衡可得

$$
F_{\mathrm{T}}=F_{\mathrm{N}}=\frac{\sqrt{3}}{3} m g
$$

以斜面体为研究对象，其受力如图乙所示

![图片](/uploads/2026-01/256e50.jpg)
 
 由受力平衡得 $F_{\mathrm{N} 1}=M g+F_{\mathrm{N}}{ }^{\prime} \quad \cos \theta=M g+\frac{1}{2} m g$

$$
F_{\mathrm{f}}=F_{\mathrm{N}}^{\prime} \quad \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{6} m g
$$

故 B、C 选项错误，A、D 选项正确．

`例`电梯修理员或牵引专家常常需要监测金属绳中的张力，但不能到绳的自由端去直接测量．某公司制造出一种能测量绳中张力的仪器，工作原理如图所示，将相距为 $L$的两根固定支柱 $A 、 B$（图中的小圆圈表示支柱的横截面）垂直于金属绳水平放置，在 $A 、 B$ 的中点用一可动支柱 $C$ 向上推动金属绳，使绳在垂直于 $A 、 B$ 的方向坚直向上发生一个偏移量 $d(d \ll L)$ ，这时仪器测得金属绳对支柱 $C$ 坚直向下的作用力为 $F$ ．
 ![图片](/uploads/2026-01/1d24dc.jpg)
 
 （1）试用 $L 、 d 、 F$ 表示这时金属绳中的张力 $F_{\mathrm{T}}$ ；
（2）如果偏移量 $d=10 \mathrm{~mm}$ ，作用力 $F=400 \mathrm{~N}, L=250 \mathrm{~mm}$ ，计算金属绳中张力的大小．
解析：（1）设 $C^{\prime}$ 点受两边金属绳的张力分别为 $F_{\mathrm{T} 1}$ 和 $F_{\mathrm{T} 2}, B C$ 与 $B C^{\prime}$ 的夹角为 $\theta$ ，如图所示．依对称性有：

![图片](/uploads/2026-01/faba90.jpg)
 
 $$
F_{\mathrm{T} 1}=F_{\mathrm{T} 2}=F_{\mathrm{T}}
$$

由力的合成有：$F=2 F_{\mathrm{T}} \sin \theta$
根据几何关系有 $\sin \theta=\frac{d}{\sqrt{d^2+\frac{L^2}{4}}}$
联立上述二式解得 $F_{\mathrm{T}}=\frac{F}{2 d} \sqrt{d^2+\frac{L^2}{4}}$
因 $d \ll L$, 故 $F_{\mathrm{T}}=\frac{F L}{4 d}$ ．
（2）将 $d=10 \mathrm{~mm}, F=400 \mathrm{~N}, L=250 \mathrm{~mm}$
代入 $F_{\mathrm{T}}=\frac{F L}{4 d}$
解得 $F_{\mathrm{T}}=2.5 \times 10^3 \mathrm{~N}$ ，即金属绳中的张力为 $2.5 \times 10^3 \mathrm{~N}$ ．
答案：（1）$\frac{F L}{4 d} \quad$（2） $2.5 \times 10^3 \mathrm{~N}$

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