最后更新: 2026-01-30 09:43 查看: 413 次纠错评论(0) 课件开VIP

专训：活结、死结、与定杆、定杆与力分析

在**力学（尤其是静力学）** 中，活结、死结、动杆、定杆是分析约束和受力的核心概念，它们的区别直接决定了受力方向和解题思路。

> 活结与死结的核心区别在于**绳结是否能沿绳滑动**，对应的受力特点差异显著。

## 活结
**活结**：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，绳上的力是相等的，即滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，如图甲，滑轮 $B$ 两侧绳的拉力大小相等.

![图片](/uploads/2026-01/eb9138.jpg){WIDTH=200PX}

活结的一个典型例子是**晾衣物**，如果绳子光滑，晾衣服的挂钩也是光滑的，此时就是一个活结，衣服会在“夹角相等”处静止。
 ![图片](/uploads/2026-01/146bdf.jpg){width=300px}

**活结受力特点**
1. 两侧绳子的拉力大小相等，因为滑动时无额外阻力
2. 拉力方向沿绳子切线方向
3. 活结本身的质量通常忽略不计

## 死结
**死结**：若结点不是滑轮，而是固定点时，称为 "死结" 结点，则两侧绳上的弹力大小不一定相等，如图乙，结点 $B$ 两侧绳的拉力大小不相等.

![图片](/uploads/2026-01/5a4c86.jpg){WIDTH=200PX}
 
 死结就是“系住”，物体不能随意的左右移动，下面显示了一个死结。
 
  ![图片](/uploads/2026-01/a530c8.jpg){width=400px}
  
 **死结受力特点**
1. 各段绳子的拉力大小可以**不相等**，取决于外力和平衡条件
2. 每段绳子的拉力方向沿自身切线方向
3. 死结处的合力为 0（静平衡状态）

> 杆的约束类型由杆的**连接方式**决定，核心区别是**杆能否绕连接点转动**，这决定了杆的受力是 “沿杆” 还是 “任意方向”。

## 动杆
杆的一端用铰链（或转轴） 连接，另一端自由或用铰链连接，杆可以绕铰链自由转动。
当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则杆会转动.如图乙所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向.

![图片](/uploads/2026-01/a376d2.jpg){width=200px}
 
 典型例子是起重机的伸缩臂，简易支架中可转动的斜杆，可以自有伸缩。
  ![图片](/uploads/2026-01/db6bca.jpg){width=300px}
  
 
 有些使用铰链连接，例如门窗，可以自由转动
  
 ![图片](/uploads/2026-01/0d2ede.jpg){width=400px}

**受力特点**
1. 杆处于平衡时，合力沿杆的轴线方向（否则会产生力矩使杆转动）
2. 杆的受力只有拉力或压力，无垂直于杆的分力
3. 铰链处的作用力沿杆方向

## 定杆
定杆，杆的两端被固定连接（非铰链），无法绕连接点转动，属于刚性约束。
若定杆被固定，不发生转动，则杆受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图 所示.
 
 ![图片](/uploads/2026-01/c5022d.jpg){width=200px}
 
 比如横梁、支架等，如下图，红色杆子两端倍固定住。 
  ![图片](/uploads/2026-01/2f64bb.jpg){width=300px}
 
 **受力特点**
1. 杆的受力方向任意，可分解为沿杆和垂直于杆的两个分力
2. 杆不仅能承受拉力、压力，还能承受弯矩（抵抗转动的力）
3. 固定端会产生约束力和约束力偶

## 例题
> **核心总结 活结看 “等力”，死结看 “平衡”；动杆力沿杆，定杆力任意。**
 
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 `例` 如图， $A 、 B$ 两物体通过两个质量不计的光滑滑轮悬挂起来，处于静止状态现将绳子一端从 $P$ 点缓慢移到 $Q$ 点，系统仍然平衡，以下说法正确的是
A.夹角 $\theta$ 将变小
B. 夹角 $\theta$ 将变大
C.物体 $B$ 位置将变高
D. 绳子张力将增大
  ![图片](/uploads/2024-12/cffb84.jpg)
  
  解：因为绳子张力始终与物体B的重力平衡，所以绳子张力不变，因为物体A的重力不变，所以绳子与水平方向的夹角不变，因为绳子一端从P点缓慢移到Q点，所以物体A会下落，物体B位置会升高，故选C.

`例`如图所示，用两根能承受的最大拉力相等、长度不等的细绳 $A O$ 、 $B O(A O>B O)$ 悬挂一个中空铁球，当向球内不断注入铁砂时，则

![图片](/uploads/2024-12/fd370e.jpg)
 
 
A.绳 $A O$ 先被拉断
B.绳 $B O$ 先被拉断
C.绳 $A O 、 B O$ 同时被拉断
D.条件不足，无法判断
解：依据力的作用效果将铁球对结点O的拉力分解如图所示.据图可知FB>FA，又因为两绳承受的最大拉力相等，故当向球内不断注入铁砂时，BO绳先断，选项B正确.

`例` 如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的光滑定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/f39fae.jpg)
  ![图片](/uploads/2024-12/9bbda3.jpg)
  
  A. 图甲中 $B C$ 对滑轮的作用力大小为 $\frac{m_1 g}{2}$
B. 图乙中 $H G$ 杆受到绳的作用力大小为 $m_2 g$
C. 细绳 $A C$ 段的拉力 $F_{A C}$ 与细绳 $E G$ 段的拉力 $F_{E G}$ 的大小之比为 $1: 1$
D.细绳 $A C$ 段的拉力 $F_{A C}$ 与细绳 $E G$ 段的拉力 $F_{E G}$ 的大小之比为 $m_1: 2 m_2$
解：题图甲中是一根绳跨过光滑定滑轮，绳中的弹力大小相等，两段绳的拉力大小都是 $m_1 g$ ，互成 $120^{\circ}$ 角，则合力的大小是 $m_1 g$ ，方向与坚直方向成 $60^{\circ}$ 角斜向左下方，故 $B C$ 对滑轮的作用力大小也是 $m_1 g$ ，方向与坚直方向成 $60^{\circ}$角斜向右上方，A选项错误；
题图乙中 $H G$ 杆受到绳的作用力大小为 $\sqrt{3} m_2 g$ ，B选项错误；题图乙中 $F_{E G} \sin 30^{\circ}=m_2 g$ ，得 $F_{E G}=2 m_2 g$ ，则 $\frac{F_{A C}}{F_{E G}}=\frac{m_1}{2 m_2}, C$ 选项错误， D选项正确.

## 力学习题精选
`例`三个共点力大小分别是 $F_1 、 F_2 、 F_3$ ，关于它们合力 $F$ 的大小，下列说法正确的是
A. $F$ 大小的取值范围一定是 $0 \leqslant F \leqslant F_1+F_2+F_3$
B. $F$ 至少比 $F_1 、 F_2 、 F_3$ 中的某一个力大
C. 若 $F_1: F_2: F_3=3: 6: 8$ ，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D.若 $F_1: F_2: F_3=3: 6: 2$ ，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
解：三个大小分别是 $F_1 、 F_2 、 F_3$ 的共点力合成后的最大值一定等于 $F_1+$ $F_2+F_3$ ，但最小值不一定等于零，只有当某一个力的大小在另外两个力的合力范围内时，这三个力的合力才可能为零，选项A错误；合力可能比三个力都大，也可能比三个力都小，选项B错误；
合力能够为零的条件是三个力的矢量箭头能组成首尾相接的三角形，任意两个力的和必须大于第三个力，选项D错误，C正确.

`例`用两根等长轻绳将木板挂在坚直木桩上等高的两点，制成一简易秋千.某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持两绳等长且悬点不变、木板静止时， $F_1$ 表示木板所受合力的大小， $F_2$ 表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后
A. $F_1$ 不变， $F_2$ 变大
B. $F_1$ 不变， $F_2$ 变小
C. $F_1$ 变大， $F_2$ 变大
D. $F_1$ 变小， $F_2$ 变小
 ![图片](/uploads/2024-12/b1e600.jpg)
 
 解：由于木板始终处于静止状态，因此维修前、后合力F1都是零，保持不变，两轻绳各剪去一段后，长度变短，悬挂木板时，轻绳与竖直方向的夹角变大，根据力的合成知，合力不变，两分力夹角变大时，两分力变大，故A正确，B、C、D错误.
 
 
 `例`有一种多功能“人”字形折叠梯，其顶部用活页连在一起，在两梯中间某相对的位置用一轻绳系住，如图所示，可以通过调节绳子的长度来改变两梯的夹角θ.一质量为m的人站在梯子顶部，若梯子的质量及梯子与水平地面间的摩擦不计，整个装置处于静止状态，则
A.θ角越大，梯子对水平地面的作用力越大
B.θ角越大，梯子对水平地面的作用力越小
C.θ角越大，绳子的拉力越大
D.θ角越大，人对梯子的压力越大

![图片](/uploads/2024-12/0454cc.jpg)
 
 解：
  ![图片](/uploads/2024-12/7821d2.jpg)
  对人和梯子整体进行分析，有 $m g=F_{ N }$ ，根据牛顿第三定律可知，梯子对水平地面的作用力与水平地面对梯子的支持力等大，与 $\theta$ 角无关，故 $A 、 B$ 错误；
对一侧的梯子受力分析，受到人的沿梯子向下的作用力，地面的坚直向上的支持力(不变)，绳子的水平方向的拉力，如图， $F_{ T }=F_{ N } \tan \frac{\theta}{2}, F_{\text {人 }}=\frac{F_{ N }}{\cos \frac{\theta}{2}}$ ，可知 $\theta$ 角越大，绳子的拉力越大，故 C正确；
对人受力分析，梯子对人的支持力大小等于人的重力，梯子对人的支持力与人对梯子的压力是相互作用力，大小与θ角无关，故D错误.

`例`如图为一小型起重机，A、B为光滑轻质滑轮，C为电动机.物体P和A、B、C之间用不可伸长的轻质细绳连接，滑轮A的轴固定在水平伸缩杆上并可以水平移动，滑轮B固定在竖直伸缩杆上并可以竖直移动.当物体P静止时
A.滑轮A的轴所受压力可能沿水平方向
B.滑轮A的轴所受压力一定大于物体P的重力
C.当只将滑轮A向右移动时，A的轴所受压力变大
D.当只将滑轮B向上移动时，A的轴所受压力变大
 ![图片](/uploads/2024-12/da88ec.jpg)
 
 解：滑轮A的轴所受压力为BA方向的拉力和物体P重力的合力，BA方向的拉力与物体P的重力大小相等，设两力方向的夹角为θ，其变化范围为90°<θ<180°，根据力的合成法则可知，滑轮A的轴所受压力不可能沿水平方向，θ的大小不确定，滑轮A的轴所受压力可能大于物体P的重力，也可能小于或等于物体P的重力，故A、B错误；

当只将滑轮A向右移动时，θ变小，两绳的合力变大，A的轴所受压力变大，故C正确；
当只将滑轮B向上移动时，θ变大，两绳的合力变小，A的轴所受压力变小，故D错误.

`例` 如图所示是扩张机的原理示意图， $A 、 B$ 为活动铰链， $C$ 为固定铰链，在 $A$ 处作用一水平力 $F, B$ 就以比 $F$ 大得多的压力向上顶物体 $D$ ，已知图中 $2 l=1.0 m, b=0.05 m, F=400 N, B$ 与左侧坚直墙壁接触，接触面光滑，铰链和杆受到的重力不计，求：
(1)扩张机 $A B$ 杆的弹力大小(用含 $\alpha$ 的三角函数表示)；
(2)D受到向上顶的力的大小.

![图片](/uploads/2024-12/f88549.jpg)
 
 解：将力 $F$ 按作用效果沿 $A B$ 和 $A C$ 两个方向进行分解，如图甲所示，且 $F_1$ $=F_2$ ，则有 $2 F_1 \cos \alpha=F$ ，则扩张机 $A B$ 杆的弹力大小为 $F_1=\frac{F}{2 \cos \alpha}=$

$$
\frac{200}{\cos \alpha} N
$$
 ![图片](/uploads/2024-12/ac6bdf.jpg)
 
 （2）再将 $F_1$ 按作用效果分解为 $F_{ N }$ 和 $F_{ N }{ }^{\prime}$,如图乙所示, 则有 $F_{ N }=F_1 \sin \alpha$, 联立得 $F_{ N }=\frac{F \tan \alpha}{2}$, 根据几何知识可知 $\tan \alpha$ $=\frac{l}{b}=10$, 则 $F_{ N }=5 F=2000 N$.
  ![图片](/uploads/2024-12/9eefdf.jpg)
  
  
  
  
`例`  一重力为G的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽的两侧面与水平方向的夹角相等，槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同，大小为μ＝0.25，则：
 ![图片](/uploads/2024-12/cc021c.jpg)
 (1)要沿圆柱体的轴线方向(如图甲所示)水平地把工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉力？
 (2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成37°角，如图乙所示，且保证工件对V形槽两侧面的压力大小相等，发现工件能自动沿槽下滑，求此时工件所受槽的摩擦力大小.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

解：（1）分析圆柱体工件的受力可知，沿轴线方向受到拉力 $F$ 和两个侧面对圆柱体工件的滑动摩擦力，由题给条件知 $F=E_{ f }$ ，将工件的重力进行分解，如图所示，由平衡条件可得 $G=F_1=F_2$ ，由 $F_{ f }=\mu F_1+$ $\mu F_2$ 得 $F=0.5 G$.
  ![图片](/uploads/2024-12/2f6c39.jpg)

（2）把整个装置倾斜，则重力沿压紧两侧的斜面的分力 $F_1{ }^{\prime}=F_2{ }^{\prime}=G \cos 37^{\circ}=0.8 G$ ，此时工件所受槽的摩擦力大小 $E_f{ }^{\prime}=2 \mu F_1{ }^{\prime}=0.4 G$.

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