最后更新: 2026-01-30 12:49 查看: 65 次纠错评论(0) 课件开VIP

力矩的平衡条件

力矩的平衡条件 在初中学过的杜杆平衡条件，只牵涉到两个力矩。如果一个有固定转动轴的物体受到几个力矩的作用而处于平衡状态，需要满足什么条件呢？

下面让我们用实验来寻找这个条件。

### 研究力矩的平衡条件
图1．4－1所示的圆盘可以绕通过中心 $O$ 并垂直于盘面的轴转动。装好圆盘，使盘面沿竖直方向，在圆盘上任意选三个位置，各装上一个螺检，其中两个螺检上分别悬挂不同数量的钩码，第三个螺检上用丝线挂一个测力计，测力计的另一端固定在横杆的适当位置。圆盘在三个力 $F_1 、 F_2 、 F_3$ 的作用下达到平衡。画出三个力的作用线．用三角板量出各个力的力臂 $L_1 、 L_2 、 L_3$ 。

![图片](/uploads/2026-01/44d9b8.jpg){WIDTH=300PX}
 
 
设计一个表格，把力和力臂的数据填入表内，计算各个力对转动
轴 $O$ 的力矩 $M$ ，注意力矩使物体旋转的方向。

改变螺检的位置和钩码的数量，再做几次实验。你得到了什么结果？

实验表明，使圆盘向顺时针方向转动的力矩 $M_1 、 M_2$ 之和等于使圆盘向逆时针方向转动的力矩 $M_3$ ，即

$$
M_1+M_2=M_3
$$

在圆盘上增加几个力矩，再做这个实验。可以发现，如果有多个力矩作用在有固定转动轴的物体上，当所有使物体向顺时针方向转动的力矩之和等于所有使物体向逆时针方向转动的力矩之和时，物体将保持平衡。

如果把使物体向逆时针方向转动的力矩定为正力矩，使物体向顺时针方向转动的力矩定为负力矩，则上述结果可以表述为：有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩的代数和等于零。即

$$
M_1+M_2+M_3+\cdots=0
$$

或者

$$
M_{\text {合 }}=0
$$

作用在物体上几个力的合力矩为零的情形叫做**力矩的平衡**。

斜拉桥在生活中很常见，
 ![图片](/uploads/2026-01/99775f.jpg)
 
`例` 钢索斜拉桥如图 1．4－2 所示，均匀水平桥板 $A O$ 重为 $G$ ，

![图片](/uploads/2026-01/83ae83.jpg){WIDTH=200PX}

三根平行钢索与桥面成 $30^{\circ}$ 角，间距 $A B= B C=C D=D O$ ，若每根钢索受力大小相等，则每根钢索承受多大的拉力？

分析：桥板可以看做有固定转动轴的物体，以 $O$ 点为转轴。它受到三根钢索的拉力的力矩和桥板重力的力矩的作用。桥板在这些力矩的作用下保持平衡。

解：画出桥板受力的示意图 
由题意有

$$
A B=B C=C D=D O=L
$$

作出三根钢索拉力 $F$ 的力智 $O H 、 O N$ 和 $O E$

$$
\begin{aligned}
& O H=0.5 O D=0.5 L \\
& O N=0.5 O C=L \\
& O M=0.5 O B=1.5 L
\end{aligned}
$$

桥板重力 $G$ 的力臂为

$$
O C=2 L
$$

![图片](/uploads/2026-01/31306a.jpg){WIDTH=200PX}
 
 
 力矩平衡方程为

$$
F \times O H+F \times O N+F \times O M-G \times O C=0
$$

代入各力臀值得

$$
\begin{aligned}
& F \times 3 L-G \times 2 L=0 \\
& F=\frac{2}{3} G 
\end{aligned}
$$

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