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共点力平衡的条件

## 共点力平衡的条件
物体受到几个力作用时, 如果保持静止或匀速直线运动状态, 我们就说这个物体处于平衡状态。桌上的书、屋顶的灯、随传送带匀速运送的物体、沿直线公路匀速前进的汽车, 都处于平衡状态。

想一想, 受共点力作用的物体, 在什么条件下才能保持平衡呢?

> 作用在同一物体上的两个力, 如果大小相等、方向相反, 并且在同一条直线上, 这两个力平衡。二力平衡时物体所受的合力为 0 。

如果物体受到多个共点力作用, 我们可以逐步通过力的合成, 最终等效为两个力的作用。如果这两个力的合力为 0 , 则意味着所有力的合力等于 0 , 物体将处于平衡状态。因此, 在共点力作用下物体平衡的条件是合力为 0 ,我们把它称为共点力平衡的条件。

## 注意事项
在分析物体的受力情况时，不要把某个力的反作用力跟这个力的平衡力混淆。
例如，在图3.3-8甲中，猴子吊在空中，我们分析猴子所受的力。猴子受到重力G，还受到树枝对它的拉力F。由
于猴子是静止的，而且不再受到其他力的作用，所以拉力F和重力G这两个力是一对相互平衡的力，它们“大小相等、
方向相反，作用在同一条直线上”。应该注意，这两个力作用在同一物体（猴子）上。
另一方面，树枝在以拉力F向上拉着猴子，猴子同时也在以向下的拉力F
拉着树枝，这是一对作用力和反作用力，它们的关系也是“大小相等、方向相反，作用在同一条直线上”（图3.3-8乙）。但不同的是，它们分别作用在两个物体（猴子和树枝）上。
这两种情况，很容易混淆，因此要注意区分。“一对相互平衡的力”和“一对作用力和反作用力”还有一个区别： 后者一定是同一种类的力（例如F和F′都是弹力），而前者则不一定是同一种类的力（例如F是弹力，而G是重力）。
 ![图片](/uploads/2025-04/f27a4e.jpg)
 
 
 `例` 某幼儿园要在空地上做一个滑梯（图3.5-1甲），根据空地的大小，滑梯的水平跨度确定为6 m。设计时，
滑板和儿童裤料之间的动摩擦因数取0.4，为使儿童在滑梯游戏时能在滑板上滑下，滑梯至少要多高？
 ![图片](/uploads/2025-04/bbdb97.jpg)
 
 解：分析   将滑梯抽象为一个斜面的模型（图3.5-1乙 ），以正在匀速滑下的小孩为研究对象。
小孩受到三个力的作用：重力G、斜面的支持力FN和滑动摩擦力Ff 。
当这三个力的合力为0时，小孩能在滑板上获得一定速度后匀速滑下，则斜面的高度即为所要求的滑梯的高度。

解 在图 3．5－1 中，沿平行和垂直于斜面两个方向建立直角坐标系。把重力 $G$ 沿两坐标轴方向分解为 $F_1$ 和 $F_2$ ，这样的分解称为正交分解。设斜面倾角为 $\theta$ ，由于 $F_2$ 垂直于 $AB , ~ G$ 垂直于 AC ，故 $F_2$ 和 $G$ 的夹角也等于 $\theta$ 。用 $l, ~ b$ 和 $h$ 分别表示 $AB , ~ AC$ 和 BC 的长度。根据共点力平衡的条件和直角三角形中三角函数关系可知：

在 $x$ 轴方向上

$$
\begin{array}{r}
F_1-F_{f}=0 \\
F_{f}=F_1=G \sin \theta=G \frac{h}{l}
\end{array}
$$

在 $y$ 轴方向上

$$
\begin{array}{r}
F_2-F_{N}=0 \\
F_{N}=F_2=G \cos \theta=G_{\bar{l}}
\end{array}
$$

由于 $F_{ f }=\mu F_{ N }$
把（1）（2）式代入（3）式有

$$
G \frac{h}{l}=\mu G \frac{b}{l}
$$

可求得

$$
h=\mu b=0.4 \times 6 m=2.4 m
$$

滑梯至少要 2.4 m 高，儿童才能从滑梯上滑下。

`例`生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。如图 3.5-2，悬吊重物的细绳，其 O 点被一水平绳 BO 牵引，使悬绳 AO 段和竖直方向成θ角。若悬吊物所受的重力为 G，则悬绳 AO 和水平绳 BO 所受的拉力各等于多少？
 ![图片](/uploads/2025-04/c71133.jpg){width=300px}
 3.5-2
 
 分析 选取两根绳索连接的 O 点为研究对象，它受到三个力的作用：绳 AO 对它的拉力 F1、绳 BO 对它的拉力 F2 和 O 点下方悬绳对它的拉力 F3（图3.5-3）
  ![图片](/uploads/2025-04/306516.jpg){width=300px}
  在平衡状态下， O 点所受三个力的合力为 0 。由于 $F_3$ 的大小与悬挂物所受的重力相等，且三个力的方向均已知，由此可以求出 $F_1, ~ F_2$ 的大小。

**解：方法 1** 用两个力的合力和第三个力平衡的方法求解。
如图3．5－3，$F_4$ 为 $F_1$ 和 $F_2$ 的合力，则 $F_4$ 与 $F_3$ 平衡，即

$$
F_4=F_3=G
$$

由图可知，$F_1=\frac{F_4}{\cos \theta}=\frac{G}{\cos \theta}, ~ F_2=F_4 \tan \theta$ ，则

$$
F_2=G \tan \theta
$$

**方法 2** 用正交分解的方法求解。
 ![图片](/uploads/2025-04/840506.jpg)
 如图3．5－4，以 O 为原点建立直角坐标系。 $F_2$ 方向为 $x$ 轴正方向，向上为 $y$ 轴正方向。 $F_1$ 在两坐标轴方向的分矢量分别为 $F_{1 x }$ 和 $F_{1 y }$ 。因 $x, ~ y$ 两方向的合力都等于 0 ，可列方程

$$
\begin{aligned}
& F_2-F_{1 x}=0 \\
& F_{1 y}-F_3=0
\end{aligned}
$$

即

$$
\begin{aligned}
& F_2-F_1 \sin \theta=0 \\
& F_1 \cos \theta-G=0
\end{aligned}
$$

由（1）（2）式解得 $F_1=\frac{G}{\cos \theta}, ~ F_2=G \tan \theta$ 。
即绳 AO 和绳 BO 所受的拉力大小分别为 $\frac{G}{\cos \theta}$ 和 $G \tan \theta$ 。

1.共点力的平衡
(1)平衡状态：物体静止或做匀速直线运动.
(2)平衡条件: $F_{\text {合 }}=\underline{0}$ 或 $F_x=\underline{0}, F_v=\underline{0}$.
(3) 常用推论
①若物体受 $n$ 个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余 $(n-1)$个力的合力大小相等、方向相反。
②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个 封闭三角形.

2.处理共点力平衡问题的基本思路
确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论.

求解共点力平衡问题的常用方法:
1.合成法: 一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡
2.正交分解法： $E_x$ 合 $=0, F_2$ 合 $=0$ ，常用于多力平衡.
3.矢量三角形法: 把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形.

`例`如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上 $O$ 点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连.甲、乙两物体质量相等.系统平衡时， $O$ 点两侧
绳与坚直方向的夹角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$.若 $\alpha=70^{\circ}$ ，则 $\beta$ 等于
A. $45^{\circ}$
B. $55^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $70^{\circ}$
 ![图片](/uploads/2024-12/d5e585.jpg)
 
 解：取 $O$ 点为研究对象， $O$ 点在三力的作用下处于平衡状态，对其受力分析如图所示， $F_{ T 1}=F_{ T 2}$ ，两力的合力与 $F$ 等大反向，根据几何关系可得 $2 \beta+\alpha$ $=180^{\circ}$ ，所以 $\beta=55^{\circ}$ ，故选B.
 
  ![图片](/uploads/2024-12/abdffe.jpg)
  
 
 `例` 如图所示的装置，杆QO沿坚直方向固定，且顶端有一光滑的定滑轮，轻杆 $O P$ 用铰链固定于 $O$ 点且可绕 $O$ 点转动，用两根轻绳分别拴接质量分别为 $m_1 、 m_2$ 的小球并系于 $P$ 点，其中拴接 $m_1$ 小球的轻绳跨过定滑轮，已知 $O$点到滑轮顶端 $Q$ 的距离等于 $O P$ ，当系统平衡时两杆的夹角为 $\alpha=120^{\circ}$ ，则 $m_1: m_2$ 为
A. $1: 2$
B. $\sqrt{3}: 2$
C. $1: 1$
D. $\sqrt{3}: 1$
 
  ![图片](/uploads/2024-12/3b698c.jpg)
 
 解：以结点 $P$ 为研究对象，受力分析如图所示，则拴接小球 $m_1$ 轻绳的拉力大小等于 $m_1 g$ ，由力的平衡条件将杆 $O P$ 的支持力与轻绳的拉力合成，可得 $m_1 g=$ $2 m_2 g \cos 30^{\circ}$ ，解得 $m_1: m_2=\sqrt{3} 1$ ，故A、B、C错误，D正确.
 
 ![图片](/uploads/2024-12/9ab465.jpg)
 
 
 `例`如图，一物块在水平拉力 $F$ 的作用下沿水平桌面做匀速直线运动. 若保持 $F$的大小不变，而将方向变成与水平面成 $60^{\circ}$ 角，物块也恰好做匀速直线运动.则物块与桌面间的动摩擦因数为
A. $2-\sqrt{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

解：当 $F$ 水平时，根据平衡条件得 $F=\mu m g$ ；当保持 $F$ 的大小不变，而方向与水平面成 $60^{\circ}$ 角时，由平衡条件得 $F \cos 60^{\circ}=\mu\left(m g-F \sin 60^{\circ}\right)$ ，联立解得 $\mu=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，故选项C正确.
 ![图片](/uploads/2024-12/d928ce.jpg)

`例`如图所示，轻绳 $M N$ 的两端固定在水平天花板上，物体 $m_1$ 系在轻绳 $M N$ 的某处，悬挂有物体 $m_2$ 的光滑轻滑轮跨在轻绳 $M N$ 上.系统静止时的几何关系如图.则 $m_1$ 与 $m_2$ 的质量之比为
A.1：1
B. 1 : 2
C. $1: \sqrt{3}$
D. $\sqrt{3}: 2$

解：对物体 $m_1$ 上端绳结受力分析，如图甲所示，根据共点力平衡及几何关系可知，合力正好平分两个分力的夹角，可得 $F_1=m_1 g$ ，对滑轮受力分析，如图乙所示，由几何关系得 $F_2=m_2 g$ ，根据轻绳拉力特点可知 $F_1=F_2$ ，则 $m_1=m_2$ ，得 $\frac{m_1}{m_2}=\frac{1}{1}$ ，A正确。
 ![图片](/uploads/2024-12/ff4358.jpg)
  ![图片](/uploads/2024-12/67ca15.jpg)
  
   ![图片](/uploads/2024-12/2e4802.jpg)
   
   
  `例`如图所示，质量为2m的物块A静置于水平台面上，质量为M的半球体C静置于水平地面上，质量为m的光滑小球B(可视为质点)放在半球体C上，P点为三根轻绳PA、PB、PO的结点.系统在图示位置处于静止状态，P点位于半球体球心的正上方，PO竖直，PA水平，PB刚好与半球体相切且与竖直方向的夹角θ＝30°.已知物块A与台面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，则
    ![图片](/uploads/2024-12/8bb7a5.jpg)
A.绳OP的拉力大小为mg
B.A受到的摩擦力大小为2μmg
C.C受到的摩擦力大小为     mg
D.地面对C的支持力大小为(M＋m)g

解：对小球 $B$ 受力分析, 如图所示, 绳 $P B$ 的拉力大小 $F$ $=m g \cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2} m g$, 对结点 $P$ 受力分析可知, 绳 $A P$的拉力大小为 $F_{ T 1}=F \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{4} m g$, 绳 $O P$ 的拉力大小 $F_{ T 2}=F \cos \theta=\frac{3}{4} m g$, 故 A 错误;
对物块 $A$ 受力分析可知，物块 $A$ 所受摩擦力 $F_{ f A}=F_{ T 1}=\frac{\sqrt{3}}{4} m g$ ，故 B错误；

![图片](/uploads/2024-12/5d42d3.jpg)
 
 对绳 $P B$ 、结点 $P$ 和小球 $B$ 、半球体 $C$ 整体受力分析可知, 半球体 $C$ 受到的摩擦力大小 $F_{ f C}=F_{ T 1}=\frac{\sqrt{3}}{4} m g$,地面对半球体 $C$ 的支持力大小为 $F_{ N C}=(M+m) g-F_{ T 2}$ $=M g+\frac{1}{4} m g$, 故 C 正确, D 错误.
 
 ## 提高 
`例`如图所示，与水平方向成 $\theta$ 角的推力 $F$ 作用在物块上，随着 $\theta$ 逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动．关于物块受到的外力，下列判断正确的是（）

![图片](/uploads/2026-01/d430f4.jpg)
 
A．推力 $F$ 先增大后减小
B．推力 $F$ 一直减小
C．物块受到的摩擦力先减小后增大
D．物块受到的摩擦力一直不变

解析 对物块受力分析，建立如图所示的坐标系．由平衡条件得：$F \cos \theta-F_{\mathrm{f}}=0, F_{\mathrm{N}} -(m g+F \sin \theta)=0$ ，又 $F_{\mathrm{f}}=\mu F_{\mathrm{N}}$ ，联立可得 $F=\frac{\mu m g}{\cos \theta-\mu \sin \theta}$ ，可见，当 $\theta$ 减小时，$F$ 一直减小， B 正确；摩擦力 $F_{\mathrm{f}}=\mu F_{\mathrm{N}}=\mu(m g+F \sin \theta)$ ，可知，当 $\theta 、 F$ 减小时，$F_{\mathrm{f}}$ 一直减小．

![图片](/uploads/2026-01/5a6cca.jpg)
 
 `例`在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体 $A, A$ 与坚直墙面间放一光滑圆球 $B$ ，整个装置处于静止状态．现对 $B$ 施加一坚直向下的力 $F, F$ 的作用线通过球心，设墙对 $B$ 的作用力为 $F_1, B$ 对 $A$ 的作用力为 $F_2$ ，地面对 $A$ 的摩擦力为 $F_3$ ．若 $F$ 缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中 
   ![图片](/uploads/2026-01/cfc9d9.jpg)
A．$F_1$ 保持不变，$F_3$ 缓慢增大
B．$F_1$ 缓慢增大，$F_3$ 保持不变
C．$F_2$ 缓慢增大，$F_3$ 缓慢增大
D．$F_2$ 缓慢增大，$F_3$ 保持不变
解析 球 $B$ 受力情况如图所示，墙对球 $B$ 的作用力及 $A$ 对球 $B$ 的作用力的合力与 $F$ 及重力的合力大小相等，方向相反，故当 $F$ 增大时，$A$ 对 $B$ 的支持力 $F_2{ }^{\prime}$ 增大，故 $B$ 对 $A$ 的压力也增大，即 $F_2$ 增大，同理可知，墙对 $B$ 的作用力 $F_1$ 增大；对整体分析，整体坚直方向受重力、支持力及压力 $F$ ，水平方向受墙的作用力 $F_1$ 和地面对 $A$ 的摩擦力为 $F_3$ 而处于平衡，由平衡条件得，当 $F$ 增大时，地面对 $A$ 的摩擦力 $F_3$ 增大，故选项 C 正确．

答案 C
 ![图片](/uploads/2026-01/b050fc.jpg)

`例`如图所示，质量为 $M$ 的物体用轻绳悬挂于 $O$ 点，开始时轻绳 $O A$ 水平，$O A 、 O B$ 两绳之间的夹角 $\alpha=150^{\circ}$ ，现将两绳同时顺时针缓慢转过 $90^{\circ}$ ，且保持 $O$ 点及夹角 $\alpha$ 不变，物体始终保持静止状态。在旋转过程中，设绳 $O A$ 的拉力为 $F_1$ ，绳 $O B$ 的拉力为 $F_2$ ，则下列说法正确的是

A．$F_1$ 逐渐增大，最终等于 $M g$
B．$F_1$ 先减小后增大
C．$F_2$ 逐渐减小，最终等于零
D．$F_2$ 先增大后减小

![图片](/uploads/2026-01/44d4b6.jpg)

【详解】 AB ．结点 O 受三个力作用处于平衡状态，$F_{O A}$ 和 $F_{O B}$ 夹角 $\alpha=150^{\circ}$ 始终不变。作该矢量三角形的外接圆，如图所示，$F_{O A}$ 矢量箭头将始终落在圆周上，由图可知，$F_1$ 顺时针转过 $90^{\circ}$ ，先增大后减小，最终等于 $M g, \mathrm{AB}$ 错误；

CD．初始时刻，$F_{O B}$ 恰好为其外接圆的直径，故 $F_2$ 逐渐减小，当绳 $O A$ 转过 $90^{\circ}$ 处于坚直位置时 $F_2=0$ ，C 正确，D 错误。

故选 C。
 ![图片](/uploads/2026-01/08be48.jpg)

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