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国际单位制SI

## 背景
在前面我们已经提到，选取的单位不同，会导致牛顿第二定律数学表达式中的比例系数不同．这意味着选择的单位不同，有可能使得同一个物理规律的数学表述形式不一样．由于物理量的单位是人为规定的，为了方便交流，需要有一个统一的标准．那么，如何制定与力学相关物理量的单位标准呢？

在公元前后的几百年内，人类在计量单位及计量制度方面是非常混乱的，例如欧洲一些国家的国王甚至把他们手臂的长度作为长度的单位，成为其国人交易必须遵循的度量规定．不难想象，这样的度量规定到了其他国家自然就寸步难行，甚至引起纷争．

中国自秦朝以来，不仅在政治上、经济上和军事上高度统一，而且统一了度量衡．使用统一的单位，不仅能方便交往，而且在一定程度上也表现出一种文化认同倾向。

下面是英系国家日常常用的单位
$$
\begin{aligned}
& 1 \text { 英尺 }=12 \text { 英寸 }=0.3048 \text { 米 }  \\
& 1 \text { 英寸 }=2.54 \text { 厘米 } 
\end{aligned}
$$

## 单位制的意义
单位制是由基本单位和导出单位所组成的一系列完整的单位体制。其中基本单位是可以任意选定的，导出单位则是由定义方程式与比例系数确定的。基本单位选取不同，组成的单位制也就不同。

单位制的形成、发展与科技的进步密切相关．早在 17 世纪，人们就开始感觉到计量单位及计量制度的混乱对科技和生产发展的影响。1795年，法国科学家创立了以米为基本

单位的计量制度（米制），成为国际上最早公认的通用单位制．随着科技的发展，米制又派生出许多适合于各种科技领域的不同单位制，如厘米、克、秒制，米、千克、秒制，绝对单位制等。

各种单位制的并存不仅对国际贸易有阻碍作用，而且也不利于各国间的科学文化交流．因此，统一单位制成为世界各国的共同要求．国际计量委员会于 1956 年将经过 21 个国家同意的计量单位制草案命名为国际单位制，并于1960年在第十一届国际计量大会上正式通过．国际单位制先进、实用、简单、科学，适用于文化教育、科学技术、经济建设等各个领域，已被世界各国及国际组织广泛采用。1977年，我国明确规定要逐步采用国际单位制。1984年，国务院颁布《国务院关于在我国统一实行法定计量单位的命令》，该命令就是以国际单位制为基础制定的．

## 国际单位组织
国际单位制（法语：Système International d'Unités，简称SI），是全球通用的计量体系，由国际计量大会（CGPM）制定和维护，核心是通过7个基本单位为基础，衍生出导出单位和辅助单位，实现计量的统一、精确和通用。

1960 年第 11 届国际计量大会制定了一种国际通用的、包括一切计量领域的单位制——**国际单位制**（international system of units），简称 SI。国际单位制很快就被世界上大多数国家采用，有力促进了各国间的贸易往来和科学技术交流。

##  7个基本单位（2018年新定义版，基于物理常数）
2018年第26届国际计量大会对SI基本单位完成重新定义，全部基于**不变的物理基本常数**（如普朗克常数、光速等），彻底摆脱对实物原器的依赖，精度大幅提升，7个基本单位及符号、定义依据如下：

| 物理量   | 符号|单位名称 | 单位符号 | 核心物理常数       |
|---------|-----|--------|---------|------|----------------------------|
| 长度     | $l$ | 米       | $m$ | 真空中的光速$c$            |
| 质量     | $m$|千克     | $kg$   | 普朗克常数$h$              |
| 时间     | $t$| 秒       | $s$    | 铯-133原子的超精细能级跃迁 |
| 电流     |$I$| 安培     | $A$    | 基本电荷$e$                |
| 热力学温度 |$K$| 开尔文   | $K$    | 玻尔兹曼常数$k$            |
| 物质的量 |$n$| 摩尔     | $mol$  | 阿伏伽德罗常数$N_\text{A}$ |
| 发光强度 |$I$| 坎德拉   | $cd$   | 频率为540THz的单色辐射光视效能$K_\text{cd}$ |

### 单位体系的构成
1. **基本单位**：上述7个，是整个SI体系的基础，无推导关系，独立定义。
2. **导出单位**：由基本单位通过数学运算（乘、除、幂次）推导而来，部分有专属名称和符号，如**牛顿（N，力）**、**焦耳（J，能量）**、**伏特（V，电压）**、**帕斯卡（Pa，压强）**等。
3. **辅助单位**：原设2个（弧度rad、球面度sr），现归为导出单位，用于几何量计量。
4. **倍数和分数单位**：通过**SI词头**（如千k、兆M、毫m、微μ）与基本/导出单位结合，适配不同量级的计量需求（如千米km、毫安mA、兆帕MPa）。

### SI 常用导出单位与基本单位推导对照表
 
本表整理物理、工程等领域高频导出单位，标注**单位名称/符号**、**物理量**、**与基本单位的推导关系**，部分补充常用等效换算，均遵循2018年SI单位新定义规范。

| 单位名称 | 符号 | 物理量 | 与SI基本单位的推导关系 | 常用等效换算 |
| :------- | :--- | :----- | :-------------------- | :----------- |
| 牛顿     | N    | 力     | $\text{kg·m·s}^{-2}$  | —            |
| 帕斯卡   | Pa   | 压强/应力 | $\text{N·m}^{-2}=\text{kg·m}^{-1}·\text{s}^{-2}$ | — |
| 焦耳     | J    | 能量/功/热量 | $\text{N·m}=\text{kg·m}^2·\text{s}^{-2}$ | $1\ \text{J}=1\ \text{W·s}$ |
| 瓦特     | W    | 功率/辐射通量 | $\text{J·s}^{-1}=\text{kg·m}^2·\text{s}^{-3}$ | $1\ \text{W}=1\ \text{V·A}$ |
| 库仑     | C    | 电荷量 | $\text{A·s}$          | —            |
| 伏特     | V    | 电压/电势差/电动势 | $\text{W·A}^{-1}=\text{kg·m}^2·\text{s}^{-3}·\text{A}^{-1}$ | $1\ \text{V}=1\ \text{J·C}^{-1}$ |
| 法拉     | F    | 电容   | $\text{C·V}^{-1}=\text{kg}^{-1}·\text{m}^{-2}·\text{s}^4·\text{A}^2$ | — |
| 欧姆     | Ω    | 电阻   | $\text{V·A}^{-1}=\text{kg·m}^2·\text{s}^{-3}·\text{A}^{-2}$ | $1\ \Omega=1\ \text{V/A}$ |
| 西门子   | S    | 电导   | $\text{A·V}^{-1}=\text{kg}^{-1}·\text{m}^{-2}·\text{s}^3·\text{A}^2$ | $1\ \text{S}=1\ \Omega^{-1}$ |
| 韦伯     | Wb   | 磁通量 | $\text{V·s}=\text{kg·m}^2·\text{s}^{-2}·\text{A}^{-1}$ | $1\ \text{Wb}=1\ \text{T·m}^2$ |
| 特斯拉   | T    | 磁感应强度 | $\text{Wb·m}^{-2}=\text{kg·s}^{-2}·\text{A}^{-1}$ | $1\ \text{T}=1\ \text{N·A}^{-1}·\text{m}^{-1}$ |
| 亨利     | H    | 电感   | $\text{Wb·A}^{-1}=\text{kg·m}^2·\text{s}^{-2}·\text{A}^{-2}$ | — |
| 赫兹     | Hz   | 频率   | $\text{s}^{-1}$       | —            |
| 弧度     | rad  | 平面角 | $\text{m·m}^{-1}=1$（无量纲） | — |
| 球面度   | sr   | 立体角 | $\text{m}^2·\text{m}^{-2}=1$（无量纲） | — |
| 流明     | lm   | 光通量 | $\text{cd·sr}$（cd为基本单位，sr无量纲） | — |
| 勒克斯   | lx   | 光照度 | $\text{lm·m}^{-2}=\text{cd·sr·m}^{-2}$ | — |
| 开尔文每米 | K/m | 温度梯度 | $\text{K·m}^{-1}$ | — |
| 摩尔每立方米 | mol/m³ | 物质的量浓度 | $\text{mol·m}^{-3}$ | — |
| 安培每平方米 | A/m² | 电流密度 | $\text{A·m}^{-2}$ | — |

补充说明
1. 无量纲单位（弧度、球面度）虽推导后为1，仍作为SI导出单位保留，用于明确几何量计量维度；
2. 所有导出单位均可通过**基本单位的乘、除、幂次运算**唯一推导，无额外独立定义，保证SI体系的连贯性；
3. 表中等效换算为**常用导出单位间的关联**，并非独立于基本单位的定义，优先级低于基本单位推导关系。

## 力的单位

在力学中，把**长度**、**质量**、**时间**作为基本量。它们的单位米（m）、千克（kg）和秒（s）就是**基本单位**。

用基本物理量的单位根据物理量之间的关系所推导出的其他物理量的单位叫**导出单位**。根据位移的单位 m 和时间的单位 s，利用 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 导出速度的单位为 $m / s$ ；利用 $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 导出加速度的单位为 $m / s ^2$ 。

> 为了简单明了地表示数值特别大或者特别小的物理量，我们往往在常用的单位前加上特殊的前缀，例如，纳米（nm）就是在单位米（m）前加了前缀“纳”，表示 $10^{−9}$。

力学中，$F=k m a$ 中 $k$ 的数值取决于 $F 、 m 、 a$ 的单位的选取。当 $k=1$ 时, 质量为 $1 \mathrm{~kg}$ 的物体在某力的作用下获得 $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 的加速度, 则这个力

$$
F=m a=1 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s}^2
$$

如果我们把这个力叫作 “一个单位” 的力的话, 力 $F$的单位就是千克米每二次方秒。后人为了纪念牛顿, 把它称作 “牛顿”, 用符号 $\mathrm{N}$ 表示。

在质量的单位取千克 $(\mathrm{kg})$, 加速度的单位取米每二次方秒 $\left(\mathrm{m} / \mathrm{s}^2\right)$, 力的单位取牛顿 ( $\left.\mathrm{N}\right)$ 时, 牛顿第二定律可以表述为

$$
F=m a
$$

有了牛顿第二定律，我们就能够更进一步理解：描述物体惯性的物理量是质量的含义，即在确定的作用力下，决定物体运动状态变化难易程度的因素是物体的质量

## 本章总结
### 基本单位
1.单位制：基本 单位和导出 单位一起组成了单位制.
2.基本单位：基本量的单位.国际单位制中基本量共七个，其中力学有三个，是长度、质量、时间，单位分别是米、王克、秒。
3.导出单位: 由基本量根据 物理关系 推导出来的其他物理量的单位.

### 国际单位制的基本单位
 ![图片](/uploads/2024-12/05abc2.jpg){width=600px}
 
 `例` 汽车在高速行驶时会受到空气阻力的影响，已知空气阻力 $f=\frac{1}{2} c \rho S v^2$ ，其中 $c$ 为空气阻力系数， $p$ 为空气密度， $S$ 为物体迎风面积， $v$ 为物体与空气的相对运动速度. 则空气阻力系数 $c$ 的国际单位是
A. 常数, 没有单位
B. $\frac{ s }{ m }$
$C \cdot \frac{ s ^2}{kg \cdot m }$
D. $\frac{ N \cdot s ^2}{kg^2}$
解： 由 $f=\frac{1}{2} c \rho S v^2$ ，可得 $c=\frac{2 f}{\rho S v^2}$ ，右边式子代入单位可得 $\frac{2 kg \cdot m / s ^2}{kg / m ^3 \cdot m^2 \cdot(m / s )^2}$ $=2$, 即 $c$ 为常数, 没有单位, B、C、D 错误, A 正确.

`例` 橡皮筋也像弹簧一样，在弹性限度内，伸长量 $x$ 与弹力 $F$ 的大小成正比，即 $F=k x$ ， $k$ 的值与橡皮筋未受到拉力时的长度 $L$ 、横截面积 $S$ 有关，理论与实践都表明 $k=Y \frac{S}{L}$ ，其中 $Y$ 是一个由材料决定的常数，材料学上称之为杨氏模量. 在国际单位制中，杨氏模量 $Y$ 的单位应该是
A.N
B.m
C.N/m
D.Pa

解：根据 $k=Y \frac{S}{L}$, 可得 $Y=\frac{k L}{S}$, 则 $Y$ 的单位是 $\frac{\frac{ N }{ m } \cdot m }{ m ^2}=\frac{ N }{ m ^2}= Pa$, 故选 D.

`例` 例9　航天员王亚平在“天宫一号”目标飞行器里成功进行了我国首次太空授课.授课中的一个实验展示了失重状态下液滴的表面张力引起的效应.在视频中可观察到漂浮的液滴处于相互垂直的两个椭球之间不断变化的周期性“脉动”中.假设液滴处于完全失重状态，液滴的上述“脉动”可视为液滴形状的周期性微小变化(振动)，如图所示.已知液滴振动的频率表达式为$f=k r^\alpha \rho^\beta \sigma^\gamma$，其中k为一个无单位的比例系数，r为液滴半径，ρ为液体密度，σ为液体表面张力系数(其单位为N/m)，α、β、γ是相应的待定常数.
 ![图片](/uploads/2025-04/52cd45.jpg)
 对于这几个待定常数的大小，下列表达式中可能正确的是 
 
 A．$\alpha=\frac{3}{2}, \quad \beta=\frac{1}{2}, \gamma=-\frac{1}{2}$
B．$\alpha=\frac{3}{2}, \quad \beta=-\frac{1}{2}, \quad \gamma=\frac{1}{2}$
C．$\alpha=-3, \beta=-1, \gamma=1$
D. $ \cdot \alpha=-\frac{3}{2}, \quad \beta=-\frac{1}{2}, \quad \gamma=\frac{1}{2}$

解：从物理单位的方面来考虑，则 $A$ 选项单位为 $m ^{\frac{3}{2}}\left(\frac{kg}{ m ^3}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{N}{ m }\right)^{-\frac{1}{2}}= s$ ，而频率的单位是 $Hz \left( s ^{-1}\right)$ ，故A错误；

B选项单位为 $m^{\frac{3}{2}}\left(\frac{kg}{ m ^3}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{N}{ m }\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{ m ^3}{s}$ ，故B错误；
$C$ 选项单位为 $m ^{-3}\left(\frac{kg}{ m ^3}\right)^{-1} \frac{N}{ m }= s ^{-2}$ ，故 C 错误；
D选项单位为 $m ^{-\frac{3}{2}}\left(\frac{kg}{ m ^3}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{N}{ m }\right)^{\frac{1}{2}}= s ^{-1}$ ，故D正确．

## 阅读： 尺和英尺的来历

在古代，人们常用身体的某些器官或部位的尺度作为计量单位．在遥远的古埃及时代，人们用中指来衡量人体的身长，认为健美的人身长应该是中指长度的 19 倍．各个国家、地区以及各个历史时期，都有各自的计量单位．仅以长度为例，欧洲曾以手掌的宽度或长度作为长度的计量单位，称为掌尺．在英国， 1 掌尺相当于 7.62 cm ．而在荷兰， 1 掌尺却相当于 10 cm ．英尺源于 8 世纪英王的脚长， 1 英尺等于 0.3048 m .10 世纪时，英王埃德加把自己大拇指关节间的距离定为 1 英寸， 1 英寸为 2.54 cm ．这位君王又别出心裁，想出了＂码＂这个长度单位。他把从自己的鼻尖到伸开手臂中指末端的距离— 91 cm ，定为 1 码。 1101年，亨利一世在法律上认定了这一度量单位。此后，＂码＂便成为英国的主要长度单位，一直沿用了一千多年．在我国亦有＂伸掌为尺＂的说法．我国三国时期（3世纪初）王肃编的《孔子家语》一书中记载有：＂布指知寸，布手知尺，舒肘知寻。＂两臂伸开长八尺，就是一寻．从秦朝至清末的两千多年间，我国的 ＂ 1 尺＂在 $0.2309 \sim 0.3558 \mathrm{~m}$ 之间变化，其差别相当悬殊．

7 个基本单位改由常数定义

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