最后更新: 2025-04-23 09:18 查看: 588 次纠错评论(0) 课件开VIP

强化训练：动态平衡问题　平衡中的临界、极值问题

## 动态平衡问题
1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态.
2.做题流程

![图片](/uploads/2024-12/b2a620.jpg)
 
 3.常用方法
(1)图解法
此法常用于定性分析三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况.
(2)解析法
对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程或根据相似三角形、正弦定理，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化.

1.一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示.
2.一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示.
 ![图片](/uploads/2024-12/f673ab.jpg)
 
 
 `例` (多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A物体的半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态.设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分
别是
 ![图片](/uploads/2024-12/572499.jpg)
A.F1减小  			B.F1增大
C.F2增大  			D.F2减小

解：
以球 $B$ 为研究对象，受力分析如图所示，可得出 $F_1=G \tan \theta$ ， $F_2=\frac{G}{\cos \theta}$ ，当 $A$ 向右移动少许后， $\theta$ 减小，则 $F_1$ 减小， $F_2$减小，故A、D正确.
 ![图片](/uploads/2024-12/dd24ba.jpg)
 
 
 > 一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化.
基本矢量图，如图所示

![图片](/uploads/2024-12/af9058.jpg){width=300px}
 
 `例` (多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中
A.斜面对球的支持力逐渐增大
B.斜面对球的支持力逐渐减小
C.挡板对小球的弹力先减小后增大
D.挡板对小球的弹力先增大后减小
  
  ![图片](/uploads/2025-04/81a5be.jpg){width=300px}
  
  解： BC
  对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，
 ![图片](/uploads/2025-04/aed8d7.jpg){width=200px}
由图看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C正确，A、D错误.

## 一力恒定，另两力方向均变化
1.一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等.
基本矢量图，如图所示
$$
\boxed {
\frac{m g}{H}=\frac{F_{N}}{R}=\frac{F_{T}}{L}
}
$$
 ![图片](/uploads/2025-04/f453f9.jpg){width=350px}
 
 
 `例` 如图所示，质量分布均匀的细棒中心为O点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，且O2在O1正上方，细绳跨过O2与O连接，水平外力F作用于细绳的一端.用FN表示铰链对杆的作用力，现在水平外力F作用下，θ从   缓慢减小到0的过程中，下列说法正确的是
A.F逐渐变小，FN大小不变
B.F逐渐变小，FN逐渐变大
C.F先变小再变大，FN逐渐变小
D.F先变小再变大，FN逐渐变大
  ![图片](/uploads/2025-04/86ba1c.jpg){width=350px}
解：A
受力分析如图所示，力三角形与几何三角形 $\left(\triangle O_2 O O_1\right)$ 相似，则有 $\frac{G}{O_2 O_1}=\frac{F_{ N }}{O O_1}=\frac{F}{O O_2}$ ，因为 $O_2 O_1, ~ O O_1$ 长度不变，故 $F_{ N }$ 大小不变， $OO _2$ 长度变短，故 $F$ 变小，故A正确，B，C，D错误．

`例` (多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞ ).现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变.在OM由竖直被拉到水平的过程中
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
 ![图片](/uploads/2024-12/84d452.jpg)
 
 解：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，
矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的
张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，
所以A、D正确，B、C错误.

## 一力恒定，另外两力方向一直变化 
 一力恒定，另外两力方向一直变化但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化.
基本矢量图，如图所示
 ![图片](/uploads/2025-04/d3e15a.jpg){width=300px}

`例` (多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞$\pi/2$ ).现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变.在OM由竖直被拉到水平的过程中
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小

解：AD

以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，
矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的
张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，
所以A、D正确，B、C错误.

![图片](/uploads/2025-04/6a5644.jpg){WIDTH=300PX}
 
 
 **一力恒定，另外两力方向均变化时常采用的方法有相似三角形、正弦定理或利用两力夹角不变作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化.**

![图片](/uploads/2024-12/d72ff1.jpg)
 
 如上图所示, "活结" 两端绳子拉力相等, 因结点所受水平分力相等, $F_{ T } \sin \theta_1=F_{ T } \sin \theta_2$, 故 $\theta_1=\theta_2=\theta_3$,根据几何关系可知， $\sin \theta=\frac{d}{L_1+L_2}=\frac{d}{L}$ ，若两杆间距离 $d$ 不变, 则上下移动绳子结点, $\theta$ 不变, 若两杆距离 $d$ 减小, 则 $\theta$ 减小, $2 F_{ T } \cos \theta=m g, F_{ T }=\frac{m g}{2 \cos \theta}$ 也减小.
 
`例`如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高).则在此过程中绳中拉力
A.先变大后不变
B.先变大后变小
C.先变小后不变
D.先变小后变大
 ![图片](/uploads/2024-12/71908f.jpg)
 
 解：选A
 对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即 $F_1=F_2$ ，由几何关系易知绳子拉力方向与坚直方向夹角相等，设为 $\theta$ ，可知

$$
F_1=F_2=\frac{m g}{2 \cos \theta}
$$

如图乙所示, 设绳长为 $L$, 由几何关系得 $\sin \theta=\frac{d}{L}$
其中 $d$ 为两端点间的水平距离，由 $B$ 点向 $C$ 点移动过程中， $d$ 先变大后不变，因此 $\theta$ 先变大后不变，由(1)式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确.

![图片](/uploads/2024-12/ba2912.jpg)
   ![图片](/uploads/2024-12/c28172.jpg)
   
   
## 平衡中的临界、极值问题

1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等.临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力.
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.

2.极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.
3.解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小.
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.

`例`如图所示，物体的质量为m＝5 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围.(g取10 m/s2)
 ![图片](/uploads/2024-12/00320e.jpg)
 
 解：设 $A B$ 绳的拉力为 $F_1, A C$ 绳的拉力为 $F_2$ ，对物体受力分析，由平衡条
件有 $F \cos \theta-F_2-F_1 \cos \theta=0$ ，
$F \sin \theta+F_1 \sin \theta-m g=0$ ，
可得 $F=\frac{m g}{\sin \theta}-F_1, F=\frac{F_2}{2 \cos \theta}+\frac{m g}{2 \sin \theta}$.
若要使两绳都能伸直，则有 $F_1 \geqslant 0, F_2 \geqslant 0$ ，
则 $F$ 的最大值 $F_{\text {max }}=\frac{m g}{\sin \theta}=\frac{100}{3} \sqrt{3} N$,
$F$ 的最小值 $F_{\min }=\frac{m g}{2 \sin \theta}=\frac{50}{3} \sqrt{3} N$,
即拉力 $F$ 的大小范围为 $\frac{50 \sqrt{3}}{3} N \leqslant F \leqslant \frac{100}{3} \sqrt{3} N$.

`例`如图所示，质量 $m=5.2 kg$ 的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力 $F$ 作用下，向右以 $v_0=2.0 m / s$ 的速度做匀速直线运动. 已知金属块与地面间的动摩擦因数 $\mu=0.2, g=10 m / s ^2$. 求所需拉力 $F$ 的最小值.
 ![图片](/uploads/2024-12/8e88f5.jpg)
 
 解：设拉力与水平方向夹角为 $\theta$, 根据平衡条件有 $F \cos \theta=\mu(m g-F \sin \theta)$,整理得 $\cos \theta+\mu \sin \theta=\frac{\mu m g}{F}, \sqrt{1+\mu^2} \sin (\alpha+\theta)=\frac{\mu m g}{F}$ (其中 $\sin \alpha=$ $\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$, 当 $\theta=\frac{\pi}{2}-\alpha$ 时 $F$ 最小, 故所需拉力 $F$ 的最小值 $F_{\min }=\frac{\mu m g}{\sqrt{1+\mu^2}}$ $=2 \sqrt{26} N$.

`例` 如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行.A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为
 ![图片](/uploads/2024-12/b1f065.jpg)
 
 解：如图
  ![图片](/uploads/2024-12/377f85.jpg)
  $A 、 B$ 刚要滑动时受力平衡，受力如图所示.
对 $A: F_{ T }=m g \sin 45^{\circ}+\mu m g \cos 45^{\circ}$
对B: $2 m g \sin 45^{\circ}=F_{ T }+3 \mu m g \cos 45^{\circ}+$ $\mu m g \cos 45^{\circ}$
整理得， $\mu=\frac{1}{5}$ ，选项 C 正确.

`例` (多选)如图，倾角为30°的斜面体放置于粗糙水平地面上，物块A通过跨过光滑定滑轮的柔软轻绳与小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点.
初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角θ＝120°，整个系统处于静止状态.现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角θ不变，从初始到轻绳OB段水平的过程中，斜面体与物块A均保持静止不动，则在此过程中
A.拉力F逐渐增大
B.轻绳上的张力先增大后减小
C.地面对斜面体的支持力逐渐增大
D.地面对斜面体的摩擦力先增大后减小
 ![图片](/uploads/2024-12/f9e67e.jpg)
 
 解：小球B受重力mg、轻绳OB的拉力FT和拉力F，由题意可知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，在FT转至水平的过程中，轻绳OB的拉力FT逐渐减小，拉力F逐渐增大，故选项A正确，B错误；

![图片](/uploads/2024-12/7a27d4.jpg)
 
 整体(含斜面体，物块A和小球B)受向下的重力、向上的支持力、向左的摩擦力以及拉力四个力的作用，根据对小球的受力分析可知，拉力F的竖直方向分力逐渐增大，水平方向分力先增大后减小，所以地面对斜面体的支持力逐渐减小，地面对斜面体的摩擦力先增大后减小，故选项C错误，D正确.

`例`(多选)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂质量为m的物块A，另一端系一位于固定光滑斜面上且质量为2m的物块B，斜面倾角θ＝45°，外力F沿斜面向上拉物块B，使物块B由滑轮正下方位置缓慢运动到和滑轮等高的位置，则
A.细绳OO′的拉力先减小后增大
B.细绳对物块B的拉力大小不变
C.斜面对物块B的支持力先减小后增大
D.外力F逐渐变大
 ![图片](/uploads/2024-12/0dd081.jpg)
 
 解：由题可知，物块缓慢移动，整体处于动态平衡状态，则绳OO′的拉力大小等于下面绳对A的拉力和绳对B的拉力的合力大小，由于绳对A的拉力和绳对B的拉力大小相等，都等于A物块的重力的大小，但是由于
 ![图片](/uploads/2024-12/a11bc0.jpg)
 B物块上移，导致二者之间的夹角变大，则根据平行
四边形定则可知合力变小，即绳OO′的拉力逐渐减小，故A错误，B正确；
对物块B受力分析如图所示，当物块B上移时，α先减小后增大，在垂直斜面方向根据平衡条件可知，斜面对物块B的支持力先减小后增大，在沿斜面方向根据平衡条件可知，外力F逐渐变大，故C、D正确.

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