最后更新: 2024-12-13 07:46 ● 参与者查看: 29 次纠错分享参与项目词条搜索

与斜面或圆弧面有关的平抛运动

## 与斜面或圆弧面有关的平抛运动
 
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  `例`如图所示，从倾角为 $\theta$ 且足够长的斜面顶端 $P$ 以速度 $v_0$ 抛出一个小球(可视为质点)，落在斜面上某处，记为 $Q$ 点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为 $\alpha$ ，若把初速度变为 $2 v_0$ ，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是
A. 夹角 $\alpha$ 将变大
B. 夹角 $\alpha$ 与初速度大小无关
C.小球在空中的运动时间不变
D. $P Q$ 间距是原来间距的 3 倍
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解析：根据 $\tan \theta=\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2} g t^2}{v_0 t}$, 解得 $t=\frac{2 v_0 \tan \theta}{g}$, 初速度变为原来的 2 倍, 则小球在空中的运动时间变为原来的 2 倍，C 错误；
根据 $x=v_0 t=\frac{2 v_0{ }^2 \tan \theta}{g}$ 知, 初速度变为原来的 2 倍, 则水平位移变为原来的 4 倍, 且 $P Q=\frac{x}{\cos \theta}$, 故 $P Q$ 间距变为原来间距的 4 倍, D 错误;
末速度与水平方向夹角的正切值 $\tan \beta=\frac{v_y}{v_0}=\frac{g t}{v_0}=2 \tan \theta$, 可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的 2 倍, 因为位移与水平方向夹角不变，则末速度与水平方向夹角不变，由几何关系可知 $\alpha$ 不变, 与初速度大小无关, A 错误, B 正确.

`例` 如图所示，1、2两个小球以相同的速度 $v_0$ 水平抛出.球 1 从左侧斜面抛出，经过时间 $t_1$ 落回斜面上，球 2 从某处抛出，经过时间 $t_2$ 恰能垂直撞在右侧的斜面上.已知左、右两侧斜面的倾角分别为 $\alpha=30^{\circ} 、 \beta=60^{\circ}$ ，则
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A. $t_1: t_2=1: 2$
B. $t_1: t_2=1: 3$
C. $t_1: t_2=2: 1$
D. $t_1: t_2=3: 1$

解析：由题意可得, 对球 1 , 有 $\tan \alpha=\frac{\frac{1}{2} g t_1{ }^2}{v_0 t_1}=\frac{g t_1}{2 v_0}$, 对球 2 , 有 $\tan \beta=\frac{v_0}{g t_2}$,又 $\tan \alpha \cdot \tan \beta=1$, 联立解得 $t_1: t_2=2: 1, A 、 B 、 D$ 错误, C 正确.

`例`如图所示，一小球从一半圆轨道左端 $A$ 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于 $B$ 点， $O$ 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为 $R, O B$ 与水平方向的夹角为 $60^{\circ}$ ，重力加速度为 $g$ ，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为
A. $\sqrt{\frac{3 \sqrt{3 g R}}{2}}$
B. $\sqrt{\frac{3 g R}{2}}$
C. $\sqrt{\frac{\sqrt{3} g R}{2}}$
D. $\sqrt{\frac{\sqrt{3} g R}{3}}$
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  解析：小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于 $B$ 点, 可知小球运动到 $B$ 点时速度方向与水平方向的夹角为 $30^{\circ}$, 设位移方向与水平方向的夹角为 $\theta$, 则 $\tan \theta=\frac{\tan 30^{\circ}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$, 由 $\tan \theta=\frac{y}{x}=\frac{y}{\frac{3}{2} R}$, 可得坚直方向的位移 $y=\frac{\sqrt{3}}{4} R$, 而 $v_y{ }^2=2 g y, \tan 30^{\circ}=\frac{v_y}{v_0}$, 联立解得 $v_0$ $=\sqrt{\frac{3 \sqrt{3} g R}{2}}$, 选项 A 正确.

## 平抛运动的临界和极值问题
1.平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好为某一方向.
2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界” “刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题.

`例` 如图所示，一网球运动员将网球(可视为质点)从 $O$ 点水平向右击出，网球恰好擦网通过落在对方场地的 $A$ 点， $A$ 点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的 2 倍. 已知球网的高度为 $h$ ，重力加速度为 $g$ ，不计空气阻力，则网球击出后在空中飞行的时间为
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A. $\sqrt{\frac{3 h}{g}}$
B. $\frac{3}{2} \sqrt{\frac{h}{g}}$
C. $\sqrt{\frac{5 h}{2 g}}$
D. $\cdot \frac{3}{2} \sqrt{\frac{2 h}{g}}$
解析：设网球击出后在空中飞行的时间为 $t$, 因为 $A$ 点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的 2 倍, 所以网球从击球点运动到球网的时间为 $\frac{t}{3}$, 则 $H=\frac{1}{2} g t^2, H-h=\frac{1}{2} g\left(\frac{t}{3}\right)^2$, 联立解得 $t=\frac{3}{2} \sqrt{\frac{h}{g}}$, 故选 B.

`例`某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示.模型放到 0.8 m 高的水平桌子上，最高点距离水平地面 2 m ，右端出口水平.现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为
A. 0
B. 0.1 m
C. 0.2 m
D. 0.3 m
解析：小球从最高点到右端出口, 机械能守恒, 有 $m g(H-h)=\frac{1}{2} m v^2$, 从右端出口飞出后, 小球做平抛运动, 有 $x=v t, h=\frac{1}{2} g t^2$, 联立解得 $x=$ $2 \sqrt{(H-h) h}$, 根据数学知识可知, 当 $H-h=h$ 时, $x$ 最大, 即 $h=1 m$ 时,小球飞得最远, 此时右端出口距离桌面高度为 $\Delta h=1 m-0.8 m=$ 0.2 m , 故 C 正确.

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