最后更新: 2024-12-13 07:57 ● 参与者查看: 154 次纠错分享参与项目词条搜索

斜抛运动

## 一般的抛体运动

如果物体被抛出时的速度 $v_0$ 不沿水平方向, 而是斜向上方或斜向下方 (这种情况常称为斜抛), 它的受力情况与平抛运动完全相同 : 在水平方向不受力, 加速度是 0 ; 在竖直方向只受重力, 加速度是 $g$ 。
但是, 斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平抛运动不同。如果斜抛物体的初速度 $v_0$ 与水平方向的夹角为 $\theta$, 则水平方向分速度 $v_{0 x}=v_0 \cos \theta$, 坚直方向分速度 $v_{0 y}=v_0 \sin \theta_{\circ}$

仿照平抛运动的处理方法也能得到描述斜抛运动的几个关系式。图 5.4-5 是根据这一规律描绘出的斜抛运动的轨迹。生活中常见的斜抛运动很多, 比如斜向上喷出的水的径迹可以认为是斜抛运动的轨迹  。
![图片](/uploads/2024-01/image_2024011027cb968.png)

## 梳理
1.定义：将物体以初速度 $v_0$ 斜向上方 或斜向下方抛出，物体只在 重力作用下的运动。
2.性质: 斜抛运动是加速度为 $g$ 的匀变速曲线运动，运动轨迹是 抛物线.
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向: 匀速 直线运动；
(2)坚直方向：匀变速 直线运动。

4.基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点 $O$ ，水平向右为 $x$ 轴的正方向，坚直向上为 $y$ 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系 $x O y$.
初速度可以分解为 $v_{0 x}=v_0 \cos \theta, v_{0 y}=v_0 \sin \theta$.
在水平方向，物体的位移和速度分别为

$$
\begin{aligned}
& x=v_{0 x} t=\left(v_0 \cos \theta\right) t  ...(1) \\
& v_x=v_{0 x}=v_0 \cos \theta  ...(2)
\end{aligned}
$$

在坚直方向，物体的位移和速度分别为

$$
\begin{aligned}
& y=v_{0 y} t-\frac{1}{2} g t^2=\left(v_0 \sin \theta\right) t-\frac{1}{2} g t^2  ...(3) \\
& v_y=v_{0 y}-g t=v_0 \sin \theta-g t   ...(4)
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2024-12/aa8ba5.jpg)
 
 1.斜抛运动中的极值
在最高点, $v_y=0$, 由(4)式得到 $t=\frac{v_0 \sin \theta}{g} ...(5)$
将(5)式代入(3)式得物体的射高 $y_{ m }=\frac{v_0^2 \sin ^2 \theta}{2 g}...(6)$
物体落回与抛出点同一高度时, 有 $y=0$,
由(3)式得总时间 $t_{\text {总 }}=\frac{2 v_0 \sin \theta}{g}...(7)$

将(7)式代入(1)式得物体的射程 $x_{ m }=\frac{v_0^2 \sin 2 \theta}{g}$
当 $\theta=45^{\circ}$ 时， $\sin 20$ 最大，射程最大.
所以对于给定大小的初速度 $v_0$ ，沿 $\theta=45^{\circ}$ 方向斜向上抛出时，射程最大.

2.逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题.

`例`如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是
A.A比B先落入篮筐
B.A、B运动的最大高度相同
C.A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D.A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
 ![图片](/uploads/2024-12/2a9c87.jpg)

解：若研究两个过程的逆过程，可看成是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度
上的两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐
中，A、B错误；
因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；
由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同，D正确.

`例`单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为 $17.2^{\circ}$ 。某次练习过程中，运动员以 $v_M=10 m / s$ 的速度从轨道边缘上的 $M$ 点沿轨道的坚直切面 $A B C D$ 滑出轨道，速度方向与轨道边缘线 $A D$ 的夹角 $\alpha=72.8^{\circ}$ ，腾空后沿轨道边缘的 $N$ 点进入轨道. 图乙为腾空过程左视图. 该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小 $g=10 m / s ^2, \sin 72.8^{\circ}=0.96$ ， $\cos 72.8^{\circ}=0.30$. 求:
(1)运动员腾空过程中离开 $A D$ 的距离的最大值 $d ;$
(2)M、N之间的距离L.
![图片](/uploads/2024-12/116130.jpg)
解：（1）在 $M$ 点，设运动员在 $A B C D$ 面内垂直 $A D$
方向的分速度为 $v_1$ ，由运动的合成与分
解规律得 $v_1=v_M \sin 72.8^{\circ} ...(1)$
设运动员在 $A B C D$ 面内垂直 $A D$ 方向的
分加速度为 $a_1$ ，由牛顿第二定律得 $m g \cos 17.2^{\circ}=m a_1...(2)$
由运动学公式得 $d=\frac{v_1^2}{2 a_1}...(3)$
联立(1)(2)(3)式，代入数据得 $d=4.8 m ...(4)$

(2) 在 $M$ 点，设运动员在 $A B C D$ 面内平行
$A D$ 方向的分速度为 $v_2$,
由运动的合成与分解规律得 $v_2=v_M \cos 72.8^{\circ} ...(5)$

设运动员在 $A B C D$ 面内平行 $A D$ 方向的分加速度为 $a_2$ ，由牛顿第二定
律得 $m g \sin 17.2^{\circ}=m a_2  ...(6)$

设腾空时间为 $t$, 由运动学公式得 $t=\frac{2 v_1}{a_1} ...(7)$
$L=v_2 t+\frac{1}{2} a_2 t^2...(8)$
联立(1)(2)(5)(6)(7)(8)式，代入数据得 $L=12 m$.

## 练习

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