最后更新: 2024-12-13 08:06 ● 参与者查看: 26 次纠错分享参与项目词条搜索

抛体运动压轴题

`例`(多选)如图所示，坚直截面为半圆形的容器， $O$ 为圆心， $A B$ 为沿水平方向的直径.一物体在 $A$ 点以向右的水平初速度 $v_A$ 抛出，与此同时另一物体在 $B$ 点以向左的水平初速度 $v_B$ 抛出，两物体都落到容器的同一点 $P$. 已知 $\angle B A P=37^{\circ}, \sin 37^{\circ}=0.6, \cos 37^{\circ}=0.8$ ，不计空气阻力，下列说法正确的是
A. $B$ 比 $A$ 先到达 $P$ 点
B. 两物体一定同时到达 $P$ 点
C. 抛出时，两物体的速度大小之比为 $v_A: v_B=16: 9$
D.抛出时，两物体的速度大小之比为 $v_A: v_B=4: 1$
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解：两物体同时抛出, 都落到 $P$ 点, 由平抛运动规律可知, 两物体下落了相同的坚直高度, 由 $h=\frac{g t^2}{2}$ 解得 $t=\sqrt{\frac{2 h}{g}}$, 可知两物体同时到达 $P$点, A 错误, B 正确;
在水平方向上，抛出的水平距离之比等于抛出速度之比，如图所示，设圆的半径为 $r$ ，由几何关系得 $x_{A M}=2 r \cos ^2 37^{\circ}, x_{B M}=2 r \sin ^2 37^{\circ}$ ，则 $x_{A M}: x_{B M}=$ $16: 9$ ，故 $v_A: v_B=16: 9, C$ 正确，D错误.

`例`如图所示，一小球(视为质点)以速度v从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M点且速度水平向右.现将该小球以2v的速度从斜面底端朝同样方向抛出，落在斜面上的N点.下列说法正确的是
A.落到M和N两点的小球在空中运动的时间之比大于1∶2
B.小球落到M和N两点的速度之比大于1∶2
C.小球落到N点时速度方向水平向右
D.M和N两点距离斜面底端的高度之比为1∶2
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 解析:由于落到斜面上 $M$ 点时小球速度水平向右，故可把小球在空中的运动逆向看成从 $M$ 点向左的平抛运动，设在 $M$ 点的速度大小为 $v_x$, 把小球在斜面底端的速度 $v$ 分解为水平速度 $v_x$ 和坚直速度 $v_y$, 则 $x=v_x t, y=\frac{1}{2} g t^2$ ，位移间的关系 $\tan \theta=\frac{y}{x}$, 联立解得在空中飞行时间 $t=\frac{2 v_x \tan \theta}{g}$, 且 $v_y=g t=$ $2 v_x \tan \theta, v$ 和水平方向夹角的正切值 $\tan \alpha=\frac{v_y}{v_x}=2 \tan \theta$, 为定值, 即落到 $N$ 点时速度方向水平向右, 故 C 正确;
 
 速度大小为 $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=v_x \sqrt{1+4 \tan ^2 \theta}$ ，即 $v$ 与 $v_x$成正比，故落到 $M$ 和 $N$ 两点的速度之比为 $1: 2$ ，故 B 错误；
由 $t=\frac{2 v_x \tan \theta}{g}$ 知, 落到 $M$ 和 $N$ 两点的小球在空中运动的时间之比为 $1: 2$, 故 A 错误;
坚直高度为 $y=\frac{1}{2} g t^2=\frac{2 v_x^2 \tan ^2 \theta}{g}, y$ 与 $v_x^2$ 成正比，则 $M$ 和 $N$ 两点距离斜面底端的高度之比为 $1: 4$, 故 D 错误.

`例`套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m处水平抛出半径为0.1 m的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m、高度为0.25 m的竖直细圆筒.若重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力，则小孩抛出圆环的初速度可能是
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A.4.3 m/s  			
B.5.6 m/s
C.6.5 m/s  			
D.7.5 m/s
解析：根据 $h_1-h_2=\frac{1}{2} g t^2$ 得

$$
t=\sqrt{\frac{2\left(h_1-h_2\right)}{g}}=\sqrt{\frac{2(0.45-0.25)}{10}} s=0.2 s,
$$

则平抛运动的最大速度

$$
v_1=\frac{x+2 R}{t}=\frac{1.0+2 \times 0.1}{0.2} m / s=6.0 m / s \text {, }
$$

最小速度 $v_2=\frac{x}{t}=\frac{1.0}{0.2} m / s =5.0 m / s$,
则 $5.0 m / s <v<6.0 m / s$ ，故选B.

`例` 将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光.某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示.图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7.重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力.求在抛出瞬间小球速度的大小.
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 解析：频闪仪每隔 0.05 发出一次闪光，每相邻两个球
之间被删去 3 个影像，故相邻两球的时间间隔为

$$
t=4 T=4 \times 0.05 s=0.2 s .
$$

设抛出瞬间小球的速度为 $v_0$ ，每相邻两球间的水平方向上位移为 $x$ ，坚直方向上的位移分别为 $y_1 、 y_{21}$
根据平抛运动位移公式有 $x=v_0 t, y_1=\frac{1}{2} g t^2=\frac{1}{2} \times 10 \times 0.2^2 m=0.2 m$, $y_2=\frac{1}{2} g(2 t)^2-\frac{1}{2} g t^2=\frac{1}{2} \times 10 \times\left(0.4^2-0.2^2\right) m =0.6 m$, 令 $y_1=y$, 则有 $y_2$ $=3 y_1=3 y$

已标注的线段 $s_1 、 s_2$ 分别为 $s_1=\sqrt{x^2+y^2}$

$$
s_2=\sqrt{x^2+(3 y)^2}=\sqrt{x^2+9 y^2}
$$

则有 $\sqrt{x^2+y^2}: \sqrt{x^2+9 y^2}=3: 7$
整理得 $x=\frac{2 \sqrt{5}}{5} y$, 故在抛出瞬间小球的速度大小为 $v_0=\frac{x}{t}=\frac{2 \sqrt{5}}{5} m / s$.

`例` 2022年北京冬奥会在北京和张家口举行，北京成为了历史上第一个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.图示为某滑雪运动员训练的场景，运动员以速度v1＝10 m/s沿倾角α＝37°、高H＝15 m的斜面甲飞出，并能无碰撞地落在倾角β＝60°的斜面乙上，顺利完成飞越.把运动员视为质点，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.以下说法正确的是
A.运动员落至斜面乙时的速率为16 m/s
B.斜面乙的高度为7.2 m
C.运动员在空中飞行时离地面的最大高度为20 m
D.两斜面间的水平距离约为11.1 m
 ![图片](/uploads/2024-12/970814.jpg)
 
 解析：运动员在水平方向做匀速直线运动，水平方向速度大小为 $v_x=v_1 \cos \alpha=8 m / s$ ，落到斜面乙时，设速度大小为 $v_2$ ，则满足 $v_x=v_2 \cos \beta$ ，解得 $v_2=16 m / s$ ，故A正确；设斜面乙高度为 $h$ ，从斜面甲到斜面乙过程中，由机械能守恒定律得 $m g(H-h)=\frac{1}{2} m v_2{ }^2-\frac{1}{2} m v_1^2$, 解得 $h=7.2 m$, 故 B 正确;从斜面甲飞出时，运动员在竖直方向的速度大小为 $v_y=v_1 \sin \alpha=6 m / s$,则运动员在空中飞行时离地面的最大高度为 $H_{\text {max }}=H+\frac{v_y{ }^2}{2 g}=16.8 m$,故 C 错误;
 
 运动员到达斜面乙的坚直方向速度大小为 $v_y{ }^{\prime}=v_2 \sin \beta=8 \sqrt{3} m / s$,则在空中运动的时间 $t=\frac{v_y{ }^{\prime}-\left(-v_y\right)}{g}=\frac{4 \sqrt{3}+3}{5} s$, 则水平距离为 $x=$ $v_x \approx \approx 15.9 m$, 故 D 错误.

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