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平抛运动的特点
最后更新:
2024-01-10 10:07
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平抛运动的特点
以一定的速度将物体抛出, 在空气阻力可以忽略的情况下, 物体只受重力的作用, 这时的运动叫作抛体运动 (projectile motion)。如果初速度是沿水平方向的, 这样的抛体运动就叫作平抛运动。 下面我们通过实验来探究物体做平抛运动的特点。 在实验开始前, 请你思考: 平抛运动与我们之前研究的直线运动的显著区别是什么? 如何用实验来研究平抛运动的特点? ## 平抛运动的速度 在研究直线运动时, 我们已经认识到, 为了得到物体的速度与时间的关系, 要先分析物体受到的力, 由合力求出物体的加速度, 进而得到物体的速度与时间的关系。关于平抛运动, 我们仍然可以遵循这样的思路, 只是要在相互垂直的两个方向上分别研究。 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110bb98f23.png) 以速度 $v_0$ 沿水平方向抛出一物体, 物体做平抛运动。以抛出点为原点, 以初速度 $v_0$ 的方向为 $x$ 轴方向, 坚直向下的方向为 $y$ 轴方向, 建立平面直角坐标系 ( 图 5.4-1)。 由于物体受到的重力是坚直向下的, 它在 $x$ 方向的分力是 0 , 根据牛顿运动定律, 物体在 $x$ 方向的加速度是 0 ;又由于物体在 $x$ 方向的分速度 $v_x$ 在运动开始的时候是 $v_0$,所以它将保持 $v_0$ 不变, 与时间 $t$ 无关, 即在整个运动过程中始终有 $$ v_x=v_0 $$ 在 $y$ 方向受到的重力等于 $m g$ 。以 $a$ 表示物体在 $y$ 方向的加速度, 应用牛顿第二定律, 得到 $m g=m a$, 所以 $a=g$, 即物体在竖直方向的加速度等于自由落体加速度。 物体的初速度 $v_0$ 沿 $x$ 方向, 它在 $y$ 方向的分速度是 0 ,所以, 物体在 $y$ 方向的分速度 $v_y$ 与时间 $t$ 的关系是 $$ v_y=g t $$ 根据矢量运算法则, 代表速度矢量 $v$ 和它的两个分矢量 $v_x 、 v_y$ 的三个有向线段正好构成一个矩形的对角线和一对邻边 (图 5.4-1)。由勾股定理可知 $$ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+g^2 t^2} $$ 由此式可知, 物体在下落过程中速度 $v$ 越来越大, 这与日常经验是一致的。 速度的方向可以由图 5.4-1 中的夹角 $\theta$ 来表示。在图中, $\theta$ 是直角三角形的一个锐角, 它的正切等于对边与邻边之比, 即 $$ \tan \theta=\frac{v_y}{v_x}=\frac{g t}{v_0} $$ 由上式可知, 随着物体的下落, 角 $\theta$ 越来越大。也就是说, 物体运动的方向越来越接近坚直向下的方向。这也与日常经验一致。 ## 平抛运动的位移与轨迹 物体被抛出后, 它对于抛出点 $O$ 的位移的大小、方向都在变化。这种情况下我们就要分别研究它在水平和坚直两个方向上的分位移 $x$ 和 $y$ 。 通过前面的讨论我们已经知道, 做平抛运动的物体在 $x$方向的分运动是匀速直线运动, $v_x=v_0$ 。根据做匀速直线运动物体的位移与时间的关系可知, 这个物体的水平分位移与时间的关系是 $$ x=v_0 t $$ 物体在 $y$ 方向的分运动是从静止开始、加速度为 $g$ 的匀加速运动, $v_y=g t_{\circ}$ 根据自由落体运动的知识可知, 做平抛运动的物体的竖直分位移与时间的关系是 $$ y=\frac{1}{2} g t^2 $$ 物体的位置是用它的坐标 $x 、 y$ 描述的, 所以, (1) (2)两式确定了物体在任意时刻 $t$ 的位置和位移。 物体的位置和位移可以由 $x 、 y$ 确定, 物体的轨迹方程也可以由 $x 、 y$ 确定。 从 (1) 式解出 $t=\frac{x}{v_0}$, 代人 (2) 式, 得到 $$ y=\frac{g}{2 v_0{ }^2} x^2 $$ 在这个式子中, 自由落体加速度 $g$ 、物体的初速度 $v_0$都是常量, 也就是说, $\frac{g}{2 v_0{ }^2}$ 这个量与 $x 、 y$ 无关, 因此 (3)式具有 $y=a x^2$ 的形式。根据数学知识可知, 它的图像是一条抛物线 (parabola)。 ## 一般的抛体运动 如果物体被抛出时的速度 $v_0$ 不沿水平方向, 而是斜向上方或斜向下方 (这种情况常称为斜抛), 它的受力情况与平抛运动完全相同 : 在水平方向不受力, 加速度是 0 ; 在竖直方向只受重力, 加速度是 $g$ 。 但是, 斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平抛运动不同。如果斜抛物体的初速度 $v_0$ 与水平方向的夹角为 $\theta$, 则水平方向分速度 $v_{0 x}=v_0 \cos \theta$, 坚直方向分速度 $v_{0 y}=v_0 \sin \theta_{\circ}$ 仿照平抛运动的处理方法也能得到描述斜抛运动的几个关系式。图 5.4-5 是根据这一规律描绘出的斜抛运动的轨迹。生活中常见的斜抛运动很多, 比如斜向上喷出的水的径迹可以认为是斜抛运动的轨迹 。 ![图片](/uploads/2024-01/image_2024011027cb968.png)
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