最后更新: 2024-12-14 09:57 ● 参与者查看: 37 次纠错分享参与项目词条搜索

卫星运行参量的分析

## 卫星运行参量的分析
 1.基本公式
 ![图片](/uploads/2024-12/8a847e.jpg)
 
 2. "黄金代换式" 的应用忽略中心天体自转影响，则有 $m g=G \frac{M m}{R^2}$ ，整理可得 $G M=g R^2$ 。在引力常量 $G$ 和中心天体质量 $M$ 末知时，可用 $g R^2$ 替换 $G M$ 。
 
 
  ![图片](/uploads/2024-12/bdc904.jpg)
  
  
3.人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道.
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.
(2)同步卫星
①轨道平面与赤道平面 共面，且与地球自转的方向相同.
②周期与地球自转周期相等，T＝24h.
③高度固定不变，$h＝3.6×10^7 m.$
④运行速率约为v＝3.1 km/s.

(3)近地卫星：轨道在 地球表面 附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期).
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星.

## 判断
1.同一中心天体的两颗行星，公转半径越大，向心加速度越大.（×）
2.同一中心天体质量不同的两颗行星，若轨道半径相同，速率不一定相等. $(\times)$
3.近地卫星的周期最小（ $\sqrt{ } /$ ）
4.极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合. $(\times)$
5.不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的。$(\sqrt{ })$

1.公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
2.同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关.

`例` “祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季.假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍.火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动.下列关于火星、地球公转的说法正确的是
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
解：由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据 $G \frac{M m}{r^2}=m \frac{4 \pi^2}{T^2} r$ ，可得 $T=2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}$, 可知火星的公转半径大于地球的公转半径, 故 C错误；
根据 $G \frac{M m}{r^2}=m \frac{v^2}{r}$ ，可得 $v=\sqrt{\frac{G M}{r}}$ ，结合 C 选项解析，可知火星公转的线速度小于地球公转的线速度，故 A 错误；
根据 $\omega=\frac{2 \pi}{T}$ 可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故 B 错误；根据 $G \frac{M m}{r^2}=m a$ ，可得 $a=\frac{G M}{r^2}$ ，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故 D 正确。

`例`火星探测任务 "天问一号" 的标识如图所示.若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为 $3: 2$ ，则火星与地球绕太阳运动的
A. 轨道周长之比为 $2: 3$
B. 线速度大小之比为 $\sqrt{3}: \sqrt{2}$
C. 角速度大小之比为 $2 \sqrt{2}: 3 \sqrt{3}$
D. 向心加速度大小之比为 $9: 4$

解：轨道周长 $C=2 \pi r$ ，与半径成正比，故轨道周长之比为 $3: 2$ ，故A错误；
根据万有引力提供向心力有 $\frac{G M m}{r^2}=m \frac{v^2}{r}$, 得 $v=\sqrt{\frac{G M}{r}}$,则 $\frac{v_{\text {火 }}}{v_{\text {地 }}}=\sqrt{\frac{r_{\text {地 }}}{r_{\text {火 }}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$, 故 B 错误;
由万有引力提供向心力有 $\frac{G M m}{r^2}=m \omega^2 r$, 得 $\omega=\sqrt{\frac{G M}{r^3}}$, 则 $\frac{\omega_{\text {火 }}}{\omega_{\text {地 }}}=\sqrt{\frac{r_{\text {地 }}{ }^3}{r_{\text {火 }}}}$ $=\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$, 故 C 正确;
$\text { 由 } \frac{G M m}{r^2}=m a \text {, 得 } a=\frac{G M}{r^2} \text {, 则 } \frac{a_{\text {火 }}}{a_{\text {地 }}}=\frac{r_{\text {先 }}{ }^2}{r_火{ }^2}=\frac{4}{9} \text {, 故 D 错误. }$
 ![图片](/uploads/2024-12/1b7290.jpg)
 
 
 
`例` 关于地球同步卫星，下列说法错误的是
A.它的周期与地球自转周期相同
B.它的周期、高度、速度大小都是一定的
C.我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空
D.我国发射的同步通信卫星必须定点在赤道上空
解：地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，选项A正确；
根据 $G \frac{M m}{r^2}=m \frac{v^2}{r}=m \frac{4 \pi^2}{T^2} r$ 可知，因地球同步卫星的周期一定，则高度、速度大小都是一定的, 选项 B 正确;
同步卫星必须定点在赤道上空，不可以定点在北京上空，选项C错误，D正确。

`例`利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为
A.1 h  		B.4 h  		C.8 h  		D.16 h

解：地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由几何关系可作出卫星间的位置关系如图所示.
 ![图片](/uploads/2024-12/9d2116.jpg)
卫星的轨道半径为 $r=\frac{R}{\sin 30^{\circ}}=2 R$,由 $\frac{r_1^3}{T_1{ }^2}=\frac{r_2^3}{T_2{ }^2}$ 得 $\frac{(6.6 R)^3}{(24 h)^2}=\frac{(2 R)^3}{T_2{ }^2}$, 解得 $T_2 \approx 4 h$,故选 B.

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