最后更新: 2024-12-14 13:45 ● 参与者查看: 31 次纠错分享参与项目词条搜索

动能定理与图像问题的结合

## 图像与横轴所围“面积”或图像斜率的含义
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 `例`所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图(b)所示.重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为
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A.m＝0.7 kg，f＝0.5 N
B.m＝0.7 kg，f＝1.0 N
C.m＝0.8 kg，f＝0.5 N
D.m＝0.8 kg，f＝1.0 N

解：$0 \sim 10 m$ 内物块上滑，由动能定理得 -$m g \sin 30^{\circ} \cdot s-f s=E_{ k }-E_{ k 0}$,

整理得 $E_{ k }=E_{ k 0}-\left(m g \sin 30^{\circ}+f\right) s$ ，
结合 $0 \sim 10 m$ 内的图像得，斜率的绝对值
$|k|=m g \sin 30^{\circ}+f=4 N$,
$10 \sim 20 m$ 内物块下滑，由动能定理得
$\left(m g \sin 30^{\circ}-f\right)\left(s-s_1\right)=E_{ k }$,
整理得 $E_{ k }=\left(m g \sin 30^{\circ}-f\right) s-\left(m g \sin 30^{\circ}-f\right) s_1$ ，结合 $10 \sim 20 m$ 内的图像得，
斜率 $k^{\prime}=m g \sin 30^{\circ}-f=3 N$ ，
联立解得 $f=0.5 N, m=0.7 kg$ ，故选A.

`例`如图所示，一小物块由静止开始沿斜面向下滑动，最后停在水平地面上.斜面和地面平滑连接，且物块与斜面、物块与地面间的动摩擦因数均为常数.该过程中，物块的动能Ek与水平位移x关系的图像是
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   解析：A
   
   `例`(多选)在某一粗糙的水平面上，一质量为2 kg的物体在水平恒定拉力的作用下做匀速直线运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出了拉力随位移变化的关系图像.重力加速度g取10 m/s2.根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有
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A.物体与水平面间的动摩擦因数
B.合力对物体所做的功
C.物体做匀速运动时的速度
D.物体运动的时间

解：物体做匀速直线运动时, 受力平衡, 拉力 $F_0$ 与滑动摩擦力 $F_{ f }$ 大小相等, 物体与水平面间的动摩擦因数为 $\mu=\frac{F_0}{m g}=0.35$, A 正确;
减速过程由动能定理得 $W_F+W_{ f }=0-\frac{1}{2} m v^2$, 根据 $F-x$ 图像中图线与 $x$ 轴围成的面积可以估算力 $F$ 对物体做的功 $W_F$, 而 $W_{ f }=-\mu m g x$, 由此可求得合力对物体所做的功及物体做匀速运动时的速度 $v, B 、 C$正确；
因为物体做变加速运动，所以运动时间无法求出， D 错误。

## 解决图像问题的基本步骤

(1)观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义.
(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式.
(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线之间的交点、图线与横轴围成的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量.

`例`如图所示，DO是水平面，AB是斜面，初速度为v0的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零，如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑动到A点且速度刚好为零，则物体具有的初速度(已知物体与斜面及水平面之间的动摩擦因数处处相同且不为零，不计B、C处能量损失)
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A.等于v0  				B.大于v0
C.小于v0  				D.取决于斜面

解：物体从 $D$ 点滑动到顶点 $A$ 过程中, 由动能定理可得 $-m g \cdot x_{A O}-\mu m g \cdot x_{D B}-\mu m g \cos \alpha \cdot x_{A B}=0-\frac{1}{2} m v_0{ }^2, \alpha$ 为
斜面倾角, 由几何关系有 $x_{A B} \cos \alpha=x_{O B}$, 因而上式可以简化为 $-m g \cdot x_{A O}$ $\mu m g \cdot x_{O D}=0-\frac{1}{2} m v_0{ }^2$, 从上式可以看出, 物体的初速度与路径无关.故选 A.

`例` 如图所示，一半径为 $R$ 、粗糙程度处处相同的半圆形轨道坚直固定放置，直径 $P O Q$ 水平.一质量为 $m$ 的小球(可看成质点)从 $P$ 点上方高为 $R$ 处由静止开始下落，恰好从 $P$ 点进入轨道.小球滑到轨道最低点 $N$ 时，对轨道的压力大小为 $4 m g, g$ 为重力加速度. 用 $W$ 表示小球从 $P$ 点运动到 $N$ 点的过程中克服摩擦力所做的功，则
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A. $W=\frac{1}{2} m g R$ ，小球恰好可以到达 $Q$ 点
B. $W>\frac{1}{2} m g R$ ，小球不能到达 $Q$ 点
C. $W=\frac{1}{2} m g R$, 小球到达 $Q$ 点后, 继续上升一段距离
D. $W<\frac{1}{2} m g R$, 小球到达 $Q$ 点后, 继续上升一段距离

解：在 $N$ 点, 根据牛顿第二定律有 $F_{ N }-m g=m \frac{v_N}{R}$,
由牛顿第三定律知 $F_{ N }=F_{ N }{ }^{\prime}=4 m g$ ，解得 $v_N$
$=\sqrt{3 g R}$, 对小球从开始下落至到达 $N$ 点的过程,
由动能定理得 $m g \cdot 2 R-W=\frac{1}{2} m v_N{ }^2-0$, 解得 $W=\frac{1}{2} m g R$.
由于小球在 $P N$ 段某点处的速度大于此点关于 $O N$ 在 $N Q$ 段对称点处的速度，
所以小球在 $P N$ 段某点处受到的支持力大于此点关于 $O N$ 在 $N Q$ 段对称点处受到的支持力，
则小球在 $N Q$ 段克服摩擦力做的功小于在 $P N$ 段克服摩察力做的功，小球在 $N Q$ 段运动时，由动能定理得 $-m g R-W^{\prime}=\frac{1}{2} m v_{Q^2}{ }^2-\frac{1}{2} m v_N{ }^2$ ，因为 $W^{\prime}<\frac{1}{2} m g R$, 故 $v_Q>0$, 所以小球到达 $Q$ 点后, 继续上升一段距离，选项 C 正确.

`例`如图，在坚直平面内，一半径为 $R$ 的光滑圆弧轨道 $A B C$ 和水平轨道 $P A$在 $A$ 点相切， $B C$ 为圆弧轨道的直径， $O$ 为圆心， $O A$ 和 $O B$ 之间的夹角为 $\alpha$ ， $\sin \alpha=\frac{3}{5}$ ，一质量为 $m$ 的小球沿水平轨道向右运动，经 $A$ 点沿圆弧轨道通过 $C$ 点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在 $C$ 点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零.重力加速度大小为 $g$.求:
(1)水平恒力的大小和小球到达 $C$ 点时速度的大小;
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 (2)小球到达B点时对圆弧轨道的压力大小.

解：（1）设水平恒力的大小为 $F_0$, 小球所受重力和水平恒力的合力的大小为 $F$, 小球到达 $C$ 点时速度的大小为 $v_C$, 则 $\frac{F_0}{m g}=\tan \alpha, F=\frac{m g}{\cos \alpha}$,由牛顿第二定律得 $F=m \frac{v c^2}{R}$,联立并代入数据解得 $F_0=\frac{3}{4} m g, v_C=\frac{\sqrt{5 g R}}{2}$.

（2）设小球到达 $B$ 点时速度的大小为 $v_B$ ，小球由 $B$
到 $C$ 的过程中由动能定理可得

$$
-2 F R=\frac{1}{2} m v_C{ }^2-\frac{1}{2} m v_B^2,
$$

代入数据解得 $v_B=\frac{5}{2} \sqrt{g R}$
小球在 $B$ 点时有 $F_{ N }-F=m \frac{v_B^2}{R}$, 解得 $F_{ N }=\frac{15}{2} m g$
由牛顿第三定律可知, 小球在 $B$ 点时对圆弧轨道的压力大小为 $F_{ N }{ }^{\prime}$

$$
=\frac{15}{2} mg .
$$

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