最后更新: 2024-12-14 14:24 ● 参与者查看: 260 次纠错分享参与项目词条搜索

能量守恒定律的理解和应用

1.内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变.
2.理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等.

`例`如图所示，轻弹簧放在倾角为37°的斜面体上，轻弹簧的下端与斜面底端的挡板连接，上端与斜面上b点对齐，质量为m的物块在斜面上的a点由静止释放，物块下滑后，压缩弹簧至c点时速度刚好为零，物块被反弹后返回b点时速度刚好为零，已知ab长为L，bc长为   ，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.则
 ![图片](/uploads/2024-12/59e506.jpg)
A.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
B.物块接触弹簧后，速度先减小后增大
C.弹簧具有的最大弹性势能为0.5mgL
D.物块在上述过程因摩擦产生的热量为0.6mgL

解：物块在 $a$ 点由静止释放, 压缩弹簧至 $c$ 点, 被反弹后
返回 $b$ 点时速度刚好为零，对整个过程应用动能定理得 $m g L \sin \theta-\mu m g \cos \theta\left(L+\frac{L}{4}+\frac{L}{4}\right)=0$ ，解得 $\mu=0.5$ ，则整个过程因摩擦产生的热量为 $Q=\mu m g \cos \theta\left(L+\frac{L}{4}+\frac{L}{4}\right)=0.6 m g L$,故 A、D 正确;
物块接触弹簧后，向下运动时，开始由于 $m g \sin \theta>\mu m g \cos \theta+F_{\text {弹， }}$,块将向下减速，则物块向下运动时先加速后减速，向上运动时，于在 $c$ 点和 $b$ 点的速度都为零，则物块先加速后减速，故 B 错误；
设弹簧的最大弹性势能为 $E_{ pm }$, 物块由 $a$ 点到 $c$ 点的过程中, 根据能量守恒定律得 $m g \sin \theta\left(L+\frac{L}{4}\right)=\mu m g \cos \theta\left(L+\frac{L}{4}\right)+E_{ pm }$, 解得 $E_{ pm }=$ 0.25 mgL ，故 C 错误。

## 应用能量守恒定律解题的步骤

1.首先确定初、末状态，分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等.
2.明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式.

`例`如图所示，一自然长度小于R的轻弹簧左端固定，在水平面的右侧，有一底端开口的光滑圆环，圆环半径为R，圆环的最低点与水平轨道相切，用一质量为m的小物块(可看作质点)压缩弹簧右端至P点，P点到圆环最低点距离为2R，小物块释放后，刚好过圆环的最高点，已知重力加速度为g，小物块与水平面间的动摩擦因数为μ.
 ![图片](/uploads/2024-12/3eeea3.jpg)
(1)弹簧的弹性势能为多大？
(2)改变小物块的质量，仍从P点释放，要使小物块在运动过程中不脱离轨道，小物块质量满足的条件是什么？

解：（1）小物块恰好过圆环最高点, 则由牛顿第二定律有

$$
m g=m \frac{v^2}{R} .
$$

从小物块释放至运动到最高点的过程中, 由能量守恒定律有 $E_{ p }=$ $\mu m g \cdot 2 R+m g \cdot 2 R+\frac{1}{2} m v^2$ ，联立可解得 $E_{ p }=2 \mu m g R+\frac{5}{2} m g R$

（2）要使小物块在运动过程中不脱离轨道，有两种情
况：①小物块能够通过最高点；②小物块在运动过程中最高到达与圆心等高处.
①设小物块质量为 $m_1$, 在最高点满足 $m_1 g \leqslant m_1 \frac{v_1^2}{R}$, 从小物块释放至运动到最高点的过程满足 $E_{ p }=2 \mu m_1 g R+2 m_1 g R+\frac{1}{2} m_1 v_1^2$, 解得 $m_1 \leqslant m$ 
②设小物块质量为 $m_2$, 当小物块运动的最高点不高于圆心时, 满足 $h \leqslant R$, 此时 $E_{ p }=2 \mu m_2 g R+m_2 g h$, 解得 $m_2 \geqslant \frac{4 \mu+5}{4 \mu+2} m$.

`例`(多选)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A点的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力.已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P点运动到B点的过程中
 ![图片](/uploads/2024-12/73a3d7.jpg)
 A. 重力做功 $2 m g R$
B. 机械能减少 $m g R$
C. 合外力做功 $\frac{1}{2} m g R$
D. 克服摩擦力做功 $\frac{1}{2} m g R$

解：小球从 $P$ 点运动到 $B$ 点的过程中，重力做的功 $W_{ G }=$ $m g(2 R-R)=m g R$ ，故A错误；
小球沿轨道到达最高点 $B$ 时恰好对轨道没有压力,则有 $m g=m \frac{v_B^2}{R}$, 解得 $v_B=\sqrt{g R}$ ，则此过程中机械能的减少量为 $\Delta E=m g R-\frac{1}{2} m v_B^2=\frac{1}{2} m g R$, 故 B 错误;根据动能定理可知, 合外力做功 $W_{\text {合 }}=\frac{1}{2} m v_B{ }^2-0=\frac{1}{2} m g R$, 故 C 正确;

根据功能关系可知，小球克服摩擦力做的功等于机械能的减少量, 则 $W_{\text {克 } f }=\Delta E=\frac{1}{2} m g R$, 故 D 正确.

`例`如图所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端平齐，重力加速度为g.用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中
 ![图片](/uploads/2024-12/5832b9.jpg)
A.物块的机械能逐渐增加
B.软绳的重力势能共减少了
C.物块减少的重力势能等于软绳克服摩擦力所做的功
D.软绳减少的重力势能大于其增加的动能与克服摩擦力所做的功之和

解：物块克服细线的拉力做功，其机械能逐渐减少，A错误;软绳重力势能减少量 $\Delta E_{ p }$ 減 $=m g \cdot \frac{l}{2}-m g \cdot \frac{l}{2} \sin \theta=\frac{1}{4} m g l$,
B 正确;
因为物块的机械能减小，则物块的重力势能减小量大于物块的动能增加量，机械能的减小量等于拉力做功的大小，由于拉力做功大于克服摩擦力做功，所以物块重力势能的减少量大于软绳克服摩擦力所做的功， C错误；
细线的拉力对软绳做正功，对物块做负功，则物块的机械能减小，软绳的机械能增加，软绳重力势能的减少量一定小于其动能的增加量，故软绳重力势能的减少量小于其动能的增加量与克服摩擦力所做功的和，D错误.

`例`如图所示为某缓冲装置的模型图,一轻杆 $S$ 被两个固定薄板夹在中间, 轻杆 $S$ 与两薄板之间的滑动摩擦力大小均为 $F_{ f }$, 轻杆 $S$ 露在薄板外面的长度为 $l$. 轻杆 $S$ 前端固定一个劲度系数为 $\frac{3 F_{ f }}{l}$ 的轻弹簧，一质量为 $m$ 的物体从左侧以大小为 $v_0$ 的速度撞向弹簧，能使轻杆 $S$ 向右侧移动 $\frac{l}{6}$. 已知弹簧的弹性势能 $E_{ p }=\frac{1}{2} k x^2$, 其中 $k$ 为劲度系数, $x$ 为形变量. 最大静摩擦力等于滑动摩擦力, 弹簧始终在弹性限度内.下列说法正确的是
![图片](/uploads/2024-12/e2d515.jpg)
A. 欲使轻杆 $S$ 发生移动, 物体 $m$ 运动的最小速度为 $\frac{\sqrt{10}}{10} v_0$
B. 欲使轻杆 $S$ 发生移动, 物体 $m$ 运动的最小速度为 $\frac{\sqrt{6}}{3} v_0$
C. 欲使轻杆 $S$ 左端恰好完全进入薄板, 物体 $m$ 运动的速度大小为 $\frac{\sqrt{6}}{2} v_0$
D. 欲使轻杆 $S$ 左端恰好完全进入薄板, 物体 $m$ 运动的速度大小为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} v_0$

解：当轻杆刚要移动时，对轻杆受力分析，设此时弹簧弹力大小为 $F$ ，压缩量为 $x$ ，由平衡条件知 $F=k x=2 F f$ ，代入 $k$ 的值可得 $x=\frac{2}{3} l$ ，设欲使轻杆 $S$ 发生移动, 物体 $m$ 运动的最小速度为 $v_1$, 则由能量守恒定律有 $\frac{1}{2} m v_1^2=\frac{1}{2} k\left(\frac{2}{3} l\right)^2$ ，
由题意知, 物体以大小为 $v_0$ 的速度撞向弹簧, 能使轻杆 $S$ 向右侧移动 $\frac{l}{6}$,
由能量守恒定律有 $\frac{1}{2} m v_0^2=2 F_{ f } \times \frac{l}{6}+\frac{1}{2} m v_1^2$,
联立可得 $v_1=\frac{\sqrt{6}}{3} v_0$, 故 A 错误, B 正确;
设物体 $m$ 的运动速度大小为 $v_2$ 时, 轻杆 $S$ 左端恰好完全进入薄板,则由能量守恒定律有 $\frac{1}{2} m v_2^2=2 F_{ f } \times l+\frac{1}{2} m v_1^2$, 可解得 $v_2=\frac{2 \sqrt{6}}{3} v_0$, 故 C错误，D 正确.

上一篇：摩擦力做功与能量转化

下一篇：试验：验证能量守恒

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)