最后更新: 2024-12-14 21:29 查看: 245 次反馈刷题

碰撞问题

1.碰撞
碰撞是指物体间的相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大 的现象.
2.特点
在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒.

3.分类
 ![图片](/uploads/2024-12/764f07.jpg)

## 判断
1.碰撞前后系统的动量和机械能均守恒（ $\times$ ）
2.在光滑水平面上的两球相向运动，碰撞后均变为静止，则两球碰撞前的动量大小一定相同。（ $\sqrt{ }$ ）
3.两球发生非弹性碰撞时，既不满足动量守恒定律，也不满足机械能守恒定律（×）

## 提升
1.弹性碰撞的重要结论

以质量为 $m_1$ 、速度为 $v_1$ 的小球与质量为 $m_2$ 的静止小球发生弹性碰撞为例，则有

$$
\begin{aligned}
& m_1 v_1=m_1 v_1^{\prime}+m_2 v_2^{\prime} \\
& \frac{1}{2} m_1 v_1^2=\frac{1}{2} m_1 v_1^{\prime}{ }^2+\frac{1}{2} m_2 v_2^{\prime 2}
\end{aligned}
$$

联立解得: $v_1{ }^{\prime}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} v_1, v_2{ }^{\prime}=\frac{2 m_1}{m_1+m_2}{ }^{{ }^1}$

讨论: (1)若 $m_1=m_2$ ，则 $v_1{ }^{\prime}=0, v_2{ }^{\prime}=v_1$ (速度交换)；
(2) 若 $m_1>m_2$ ，则 $v_1{ }^{\prime}>0, v_2{ }^{\prime}>0$ (碰后两小球沿同一方向运动); 当 $m_1 \gg m_2$时， $v_1{ }^{\prime} \approx v_1, v_2{ }^{\prime} \approx 2 v_1$ ；
(3)若 $m_1<m_2$ ，则 $v_1{ }^{\prime}<0, v_2{ }^{\prime}>0$ (碰后两小球沿相反方向运动); 当 $m_1 \ll m_2$时， $v_1{ }^{\prime} \approx-v_1, v_2{ }^{\prime} \approx 0$ 。

2.静止物体被撞后的速度范围

物体 $A$ 与静止的物体 $B$ 发生碰撞, 当发生完全非弹性碰撞时损失的机械能最多, 物体 $B$ 的速度最小, $v_B=\frac{m_A}{m_A+m_B} v_0$, 当发生弹性碰撞时, 物体 $B$ 速度最大, $v_B=\frac{2 m_A}{m_A+m_B} v_0$. 则碰后物体 $B$ 的速度范围为: $\frac{m_A}{m_A+m_B} v_0 \leqslant v_B \leqslant$ $\frac{2 m_A}{m_A+m_B} v_0$.

`例` $A 、 B$ 两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动， $m_A=1 kg$ ， $m_B=2 kg, v_A=6 m / s , v_B=2 m / s$ ，当 $A$ 追上 $B$ 并发生碰撞后， $A 、 B$ 两球速度的可能值是

$$
\begin{aligned}
& \text { A. } \cdot v_A{ }^{\prime}=5 m / s, v_B{ }^{\prime}=2.5 m / s \\
& \text { B. } v_A{ }^{\prime}=2 m / s, v_B{ }^{\prime}=4 m / s \\
& \text { C. } v_A{ }^{\prime}=-4 m / s, v_B{ }^{\prime}=7 m / s \\
& \text { D. } v_A{ }^{\prime}=7 m / s, v_B{ }^{\prime}=1.5 m / s
\end{aligned}
$$

解：虽然题给四个选项均满足动量守恒定律，但A、D两项中，碰后 $A$ 的速度 $v_A{ }^{\prime}$ 大于 $B$ 的速度 $v_B{ }^{\prime}$ ，不符合实际，即A、D项错误；
C 项中, 两球碰后的总动能 $E_{ k 后} =\frac{1}{2} m_A v_A{ }^{\prime 2}+\frac{1}{2} m_B v_B{ }^{\prime}{ }^2=57 J$, 大于碰前的总动能 $E_{ k  前}$ $=\frac{1}{2} m_A v_A{ }^2+\frac{1}{2} m_B v_B^2=22 J$, 违背了能量守恒定律,所以 C 项错误；
而 $B$ 项既符合实际情况，也不违背能量守恒定律，所以B项正确.

## 碰撞问题遵守的三条原则

(1)动量守恒: $p_1+p_2=p_1{ }^{\prime}+p_2{ }^{\prime}$ 。
（2）动能不增加： $E_{ k 1}+E_{ k 2} \geqslant E_{ k 1}{ }^{\prime}+E_{ k 2}{ }^{\prime}$ 。
（3）速度要符合实际情况
①碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有 $v_{\text {后 }}>v_{\text {前 }}$ ，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有 $v_{\text {前 }}{ }^{\prime}$ $\geqslant_{v_{\text {后 }}'}$.
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变.

`例`1932年，查德威克用未知射线轰击氢核，发现这种射线是由质量与质子大致相等的中性粒子(即中子)组成.如图，中子以速度v0分别碰撞静止的氢核和氮核，碰撞后氢核和氮核的速度分别为v1和v2.设碰撞为弹性正碰，不考虑相对论效应，下列说法正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/5da7d9.jpg)
A.碰撞后氮核的动量比氢核的小
B.碰撞后氮核的动能比氢核的小
C.v2大于v1
D.v2大于v0

解：设中子的质量为 $m$ ，则氢核的质量也为 $m$ ，氮核的质量为 14 m ，设中子和氢核碰撞后中子速度为 $v_3$ ，取 $v_0$ 的方向为正方向，
由动量守恒定律和能量守恒定律可得 $m v_0=m v_1+m v_3, \frac{1}{2} m v_0^2=\frac{1}{2} m v_1^2$ $+\frac{1}{2} m v_3{ }^2$ ，联立解得 $v_1=v_0$ 。
设中子和氮核碰撞后中子速度为 $v_4$ ，取 $v_0$ 的方向为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律可得 $m v_0=14 m v_2+m v_4, \frac{1}{2} m v_0{ }^2=\frac{1}{2}$ $\times 14 m v_2^2+\frac{1}{2} m v_4^2$, 联立解得 $v_2=\frac{2}{15} v_0$, 可得 $v_1=v_0>v_2$, 碰撞后氢核的动量为 $p_{ H }=m v_1=m v_0$, 氮核的动量为 $p_{ N }=14 m v_2=\frac{28 m v_0}{15}$,
可得 $p_{ N }>p_{ H }$, 碰撞后氢核的动能为 $E_{ kH }=\frac{1}{2} m v_1^2=\frac{1}{2} m v_0^2$,氮核的动能为 $E_{ kN }=\frac{1}{2} \times 14 m v_2^2=\frac{28 m v_0^2}{225}$, 可得 $E_{ kH }>E_{ kN }$, 故 B 正确, A、C、D 错误.

`例`如图所示， $A B C$ 为一固定在坚直平面内的光滑轨道， $A B$ 段是半径 $R=$ 0.8 m 的 $\frac{1}{4}$ 圆弧， $B$ 在圆心 $O$ 的正下方， $B C$ 段水平， $A B$ 段与 $B C$ 段平滑连接.球2、球 3 均放在 $B C$ 轨道上，质量 $m_1=0.4 kg$ 的球 1 从 $A$ 点由静止释放，球 1 进入水平轨道后与球 2 发生弹性正碰，球 2 再与球 3 发生弹性正碰， $g=$ $10 m / s ^2$ 。
(1)求球 1 到达 $B$ 点时对轨道的压力大小；
(2)若球2的质量m2＝0.1 kg，求球1与球2碰撞后球2的速度大小；
(3)若球3的质量m3＝0.1 kg，为使球3获得最大的动能，球2的质量应为多少.

![图片](/uploads/2024-12/230e60.jpg)
解：（1）对球 1 从 $A$ 到 $B$ 应用动能定理: $m_1 g R=\frac{1}{2} m_1 v 0_0^2$
在 $B$ 点对球 1 应用牛顿第二定律：

$$
F_{N}-m_1 g=m_1 \frac{v_0^2}{R}
$$

联立解得： $v_0=4 m / s 、 F_{ N }=12 N$
由牛顿第三定律知球 1 在 $B$ 点对轨道的压力大小 $F_{ N }{ }^{\prime}=F_{ N }=12 N$.

（2）球1、球2碰撞时，根据动量守恒定律有:

$$
m_1 v_0=m_1 v_1+m_2 v_2
$$

由机械能守恒定律得：

$$
\frac{1}{2} m_1 v_0^2=\frac{1}{2} m_1 v_1^2+\frac{1}{2} m_2 v_2^2
$$

解得: $v_2=\frac{2 m_1}{m_1+m_2} v_0=6.4 m / s$.

（3）同理，球 $2 、$ 球 3 碰撞后： $v_3=\frac{2 m_2}{m_2+m_3} v_2$
则 $v_3=\frac{2 m_2}{m_2+m_3} \cdot \frac{2 m_1}{m_1+m_2} v_0$
代入数据得 $v_3=\frac{1.6}{m_2+\frac{0.04}{m_2}+0.5} v_0$,
由数学知识可知，当 $m_2=\frac{0.04}{m_2}$ 时， $m_2+\frac{0.04}{m_2}+0.5$ 最小， $v_3$ 最大所以 $m_2=0.2 kg$.

`例` 水平冰面上有一固定的竖直挡板，一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为4.0 kg的静止物块以大小为5.0 m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0 m/s的速度与挡板弹性碰撞.总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于5.0 m/s，反弹的物块不能再追上运动员.不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为
A.48 kg  	    B.53 kg  	C.58 kg  	D.63 kg

解：设运动员的质量为 $M$ ，第一次推物块后，运动员速度大小为 $v_1$ ，第二次推物块后，运动员速度大小为 $v_2 \cdots \cdots$ 第八次推物块后，运动员速度大小为 $v_8$ ，
第一次推物块后，由动量守恒定律知：Mv $v_1=m v_0$ ；
第二次推物块后由动量守恒定律知： $M\left(v_2-v_1\right)=m\left[v_0-\left(-v_0\right)\right]=$ $2 m v_0$ ， …..,
第 $n$ 次推物块后，由动量守恒定律知： $M\left(v_n-v_{n-1}\right)=2 m v_0$ ，各式相加可得 $v_n=\frac{(2 n-1) m v_0}{M}$,
则 $v_7=\frac{260 kg \cdot m / s }{M}, v_8=\frac{300 kg \cdot m / s }{M}$.
由题意知， $v_7<5 m / s$ ，则 $M>52 kg$ ，又知 $v_8>5 m / s$ ，则 $M<60 kg$ ，故选 B、C.

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