最后更新: 2024-12-15 07:07 查看: 408 次反馈刷题

滑块—弹簧模型

1.模型图示
 ![图片](/uploads/2024-12/fbda00.jpg)
 
 2.模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒.
(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒.
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能).
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞).

`例` 如图所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物体甲、乙连接，静止在光滑的水平面上.现在使甲瞬间获得水平向右的速度v0＝4 m/s，当甲物体的速度减小到1 m/s时，弹簧最短.下列说法中正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/0cfeca.jpg)
A.此时乙物体的速度大小为1 m/s
B.紧接着甲物体将开始做加速运动
C.甲、乙两物体的质量之比m1∶m2＝1∶4
D.当弹簧恢复原长时，乙物体的速度大小为4 m/s
解：根据题意可知，当弹簧压缩到最短时，两物体速度相同，所以此时乙物体的速度大小也
是 $1 m / s$ ，A正确；
因为弹簧压缩到最短时，甲受力向左，甲继续减速，B错误；根据动量守恒定律可得 $m_1 v_0=\left(m_1+m_2\right) v_{\text {，解得 } m_1}: m_2=1: 3, C$ 错误；
当弹簧恢复原长时, 根据动量守恒定律和机械能守恒定律有 $m_1 v_0=$ $m_1 v_1{ }^{\prime}+m_2 v_2{ }^{\prime}, \frac{1}{2} m_1 v_0{ }^2=\frac{1}{2} m_1 v_1{ }^{\prime}{ }^2+\frac{1}{2} m_2 v_2{ }^{\prime 2}$ ，联立解得 $v_2{ }^{\prime}=2 m / s$ ， D错误。

`例`(多选)如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上.现使A以3 m/s的速度向B运动压缩弹簧，A、B的速度—时间图像如图乙，则有
 ![图片](/uploads/2024-12/aa594d.jpg)

A.在t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧都处于压缩状态
B.从t3到t4过程中，弹簧由压缩状态恢复原长
C.两物块的质量之比m1∶m2＝1∶2
D.在t2时刻A与B的动能之比Ek1∶Ek2＝1∶8
解：开始时A逐渐减速，B逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相同，系统动能最小，势能最大，弹簧被压缩到最短，然后弹簧逐渐恢复原长，B仍然加速，A先减速为零，然后反向加速，t2时刻，弹簧恢复原长，由于此时两物块速度方向相反，因此弹簧的长度将逐渐增大，两物块均减速，A减为零后又向B运动的方向加速，在t3时刻，两物块速度相同，系统动能最小，弹簧最长，因此从t3到t4过程中，弹簧由伸长状态恢复原长，故A、B错误；

根据动量守恒定律， $t=0$ 时刻和 $t=t_1$ 时刻系统总动量相等，有 $m_1 v_1$ $=\left(m_1+m_2\right) v_2$ ，其中 $v_1=3 m / s , v_2=1 m / s$ ，解得 $m_1: m_2=1: 2$ ，故 C正确；
在 $t_2$ 时刻 $A$ 的速度为 $v_A=-1 m / s , B$ 的速度为 $v_B=2 m / s$ ，根据 $E_{ k }=\frac{1}{2} m v^2$ ，且 $m_1: m_2=1: 2$ ，求出 $E_{ k 1}: E_{ k 2}=1: 8$ ，故D正确。

`例` 如图(a)，一质量为 $m$ 的物块 $A$ 与轻质弹簧连接，静止在足够长光滑水平面上；物块 $B$ 向 $A$ 运动， $t=0$ 时与弹簧接触，到 $t=2 t_0$ 时与弹簧分离，碰撞结束， $A 、 B$ 的 $v-t$ 图像如图(b)所示. 已知从 $t=0$ 到 $t=t_0$ 时间内，物块 $A$ 运动的距离为 $0.36 v_0 t_0$. 碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内.求:
(1)碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
(2)碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值.

![图片](/uploads/2024-12/40f230.jpg)

解：（1）当弹簧被压缩至最短时，弹簧弹性势能最大，此时 $A 、 B$ 速度相等，即在 $t=t_0$ 时刻，根据动量守恒定律有 $m_B \cdot 1.2 v_0=\left(m_B+m\right) v_0$根据能量守恒定律有

$$
E_{pmax}=\frac{1}{2} m_B\left(1.2 v_0\right)^2-\frac{1}{2}\left(m_B+m\right) v_0^2
$$

联立解得 $m_B=5 m, E_{ pmax }=0.6 mv _0{ }^2$

（2）$B$ 接触弹簧后，压缩弹簧的过程中， $A 、 B$ 动量守恒，
有 $m_B \cdot 1.2 v_0=m_B v_B+m v_A$
对方程两边同时乘以时间 $\Delta t$ ，有

$$
6 m v_0 \Delta t=5 m v_B \Delta t+m v_A \Delta t
$$

$0 \sim t_0$ 之间，根据位移等于速度在时间上的累积，
可得 $6 m v_0 t_0=5 m s_B+m s_A$ ，将 $s_A=0.36 v_0 t_0$
代入可得 $s_B=1.128 v_0 t_0$
则碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值

$$
\Delta s=s_B-s_A=0.768 v_0 t_0 .
$$

刷题

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