最后更新: 2024-12-16 05:47 查看: 190 次反馈刷题

带电粒子在有界匀强磁场中的运动

一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
1.圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲.
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙.
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 (3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝mv/qB　 计算出轨迹半径r，

则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙.

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 2.半径的计算方法

方法一 由 $R=\frac{m v}{q B}$ 求得
方法二 连半径构出三角形, 由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如: 如图甲, $R=\frac{L}{\sin \theta}$ 或由 $R^2=L^2+(R-d)^2$ 求得
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 常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α.
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝  α/2.
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 3.时间的计算方法

方法一 利用圆心角、周期求得 $t=\frac{\theta}{2 \pi} T$
方法二 利用弧长、线速度求得 $t=\frac{l}{v}$

二、带电粒子在有界磁场中的运动
1.直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
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 2.平行边界(往往存在临界条件，如图所示)

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 3.圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示.
(2)不沿径向射入时，如图乙所示.
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
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 4.在多边形边界或角形区域磁场
带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把握以下两点：
(1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入.
(2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出.
①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2Rsin α，如图甲所示.
②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，
粒子的运动轨迹会和另一个边界相切，如图乙所示.

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`例` 如图所示, 直线 $M N$ 上方有垂直纸面向里的匀强磁场, 电子 1 从磁场边界上的 $a$ 点垂直 $M N$ 和磁场方向射入磁场, 经 $t_1$ 时间从 $b$ 点离开磁场. 之后电子 2 也由 $a$ 点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场,经 $t_2$ 时间从 $a 、 b$ 连线的中点 $c$ 离开磁场, 则 $t_2$ 为
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A. 3
B. 2
C. $\frac{3}{2}$
D. $\frac{2}{3}$

解：电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示，电子 1 垂直边界射入磁场，从 $b$ 点离开，则运动了半个圆周， $a b$即为直径， $c$ 点为圆心；电子 2 以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经 $t_2$ 时间从 $a 、 b$ 连线的中点 $c$ 离开磁场，
根据半径 $r=\frac{m v}{B q}$ 可知, 电子 1 和 2 的半径相等,根据几何关系可知， $\triangle a O c$ 为等边三角形，
则电子 2 转过的圆心角为 $60^{\circ}$ ，
所以电子 1 运动的时间 $t_1=\frac{T}{2}=\frac{\pi m}{B q}$, 电子 2 运动的时间 $t_2=\frac{T}{6}=\frac{\pi m}{3 B q}$,所以 $t_{t_2}^{t_1}=3$, 故 A 正确, B、C、D 错误。

`例`(多选)如图所示, 在圆形边界的磁场区域, 気核${ }_1^1 H$和気核 ${ }_1^2 H$ 先后从 $P$ 点沿圆形边界的直径入射，从射入磁场到射出磁场，気核 ${ }_1^1 H$ 和気核${ }_1^2 H$ 的速度方向分别偏转了 $60^{\circ}$ 和 $120^{\circ}$ 角, 已知気核 ${ }_1^1 H$ 在磁场中运动的时间为 $t_0$, 轨迹半径为 $R$, 则
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A. 氞核 ${ }_1^2 H$ 在该磁场中运动的时间为 $2 t_0$
B. 気核 ${ }_1^2 H$ 在该磁场中运动的时间为 $4 t_0$
C. 気核${ }_1^2 H$ 在该磁场中运动的轨迹半径为 $\frac{1}{2} R$
D. 気核 ${ }_1^2 H$ 在该磁场中运动的轨迹半径为 $\frac{1}{3} R$
 
解：由题意, 作出两核在磁场中的运动轨迹示意图如图所示，两核在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力, $q v B=m \frac{v^2}{R}, T=\frac{2 \pi R}{v}=\frac{2 \pi m}{q B}$ ，两核在磁场中运动时间 $t=\frac{\theta}{2 \pi} T=\frac{\theta m}{q B},{ }_1^1 H$ 和 ${ }_1^2 H$ 的比荷之比为 $2: 1$, 圆心角之比为 $1: 2$, 代入可得気核 ${ }_1^2 H$ 在该磁场中运动的时间为 $t^{\prime}=4 t_0$, 故 A 错误, B 正确;
设磁场圆半径为 $r$, 気核 1 H 和気核 ${ }^2 H$ 的轨迹圆圆心分别为 $O_1 、 O_2$, 分别从 $A$ 点、 $C$ 点射出磁场, 気核 ${ }^2 H$ 在磁场中运动的轨迹半径为 $R^{\prime}$, 则对 $\triangle P A B$, 由几何关系可得 $R=\sqrt{3} r$, 对 $\triangle O_2 O C$, 由几何关系可得 $R^{\prime}=$ $\frac{1}{\sqrt{3}} r$, 可得出 $R^{\prime}=\frac{1}{3} R$, 故 C 错误, D 正确.

(多选)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里.一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场.忽略粒子重力.关于该粒子在磁场中的运动情况，
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  下列说法正确的是
A. 它的轨迹半径为 $\frac{2}{3} d$
B. 它进入磁场时的速度为 $\frac{2 q B d}{3 m}$
C. 它在磁场中运动的时间为 $\frac{2 \pi m}{3 q B}$
D. 它的运动轨迹与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $\sqrt{3} d$
解：粒子运动轨迹如图所示, $r+r \sin 30^{\circ}=d$, 解得粒子运动轨迹半径为 $r=\frac{2}{3} d$, 故 A 正确;由 $q v B=m \frac{v^2}{r}, r=\frac{2}{3} d$ ，联立解得粒子进入磁场时的速度为 $v=\frac{q B r}{m}=\frac{2 q B d}{3 m}$, 故 B 正确; $T=\frac{2 \pi r}{v}=\frac{2 \pi m}{q B}$, 如图由几何关系知 $t=\frac{2}{3} T$, 解得粒子在磁场中运动的时间为 $t=\frac{4 \pi m}{3 q B}$, 故 C 错误;
粒子运动轨迹与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $y=-2 r \cos 30^{\circ}$ $=-\frac{2 \sqrt{3}}{3} d$ ，故D错误。

带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题.解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解.

临界点常用的结论：
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.
(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，对应圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.
(3)当速度v变化时，圆心角越大，运动时间越长.

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