最后更新: 2024-12-16 05:53 ● 参与者查看: 22 次纠错分享参与项目词条搜索

带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题

带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题.
(1)找出多解的原因.
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况.

`例` (多选)如图所示, $A$ 点的离子源沿纸面垂直 $O Q$ 方向向上射出一束负离子, 离子的重力忽略不计. 为把这束负离子约束在 $O P$ 之下的区域,可加垂直纸面的匀强磁场. 已知 $O 、 A$ 两点间的距离为 $s$, 负离子的比荷为 $\frac{q}{m}$, 速率为 $v, O P$ 与 $O Q$ 间的夹角为 $30^{\circ}$, 则所加匀强磁场的磁感应强度 $B$ 的大小和方向可能是
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$A . B>\frac{m v}{3 q s}$ ，垂直纸面向里
B. $B>\frac{m v}{q s}$ ，垂直纸面向里
C. $B>\frac{m v}{q s}$ ，垂直纸面向外
D. $B>\frac{3 m v}{q s}$ ，垂直纸面向外

解：当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与 $O P$ 相切的轨迹如图甲所示，切点为 $M$ ，设轨迹半径为 $r_1$ ，
由几何关系可知 $\sin 30^{\circ}=\frac{r_1}{s+r_1}$, 可得 $r_1=s$,由 $r_1=\frac{m v}{B_1 q}$ 可得 $B_1=\frac{m v}{q s}$;
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当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与 $O P$ 相切于 $N$ 点，如图乙所示，设轨迹半径为 $r_2$ ，

由几何关系 $s=\frac{r_2}{\sin 30^{\circ}}+r_2$, 得 $r_2=\frac{s}{3}$,
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 又 $r_2=\frac{m v}{q B_2}$, 所以 $B_2=\frac{3 m v}{q s}$,
综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误。

(多选)如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以原速率弹回.一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度垂直于磁场方向从P点射入磁场，恰好从Q点射出.下列说法正确的是
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A.带电粒子一定带负电荷
B. 带电粒子的速度最小值为 $\frac{q B L}{4 m}$
C. 若带电粒子与挡板碰撞, 则受到挡板作用力的冲量

$$
\text { 大小为 } \frac{5 q B L}{2}
$$

D. 带电粒子在磁场中运动时间可能为 $\frac{\pi m}{3 q B}$

解：若粒子带正电，粒子与挡板 $M N$ 碰撞后恰好从
$Q$ 点射出，粒子运动轨迹如图甲所示，
设轨迹半径为 $r_2$, 由几何知识得 $L^2+\left(r_2-0.5 L\right)^2$
$=r_2{ }^2$, 解得 $r_2=\frac{5}{4} L$, 根据牛顿第二定律得 $q v_2 B=m \frac{v_2{ }^2}{r_2}$, 解得 $v_2=\frac{5 q B L}{4 m}$,
根据动量定理得 $I=2 m v_2=\frac{5 q B L}{2}$, 故 A 错误, C 正确;
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 根据动量定理得 $I=2 mv _2=\frac{5 q B L}{2}$, 故 A 错误, C 正确;若粒子带负电，则粒子的运动轨迹如图乙所示，粒子做圆周运动的半径为 $r_1=\frac{1}{2} L$ ，由牛顿第二定律得 $q v_1 B=m \frac{v_1^2}{r_1}$, 解得 $v_1=\frac{q B L}{2 m}$, 此时半径最小, 速度也最小, 故 B 错误;
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若粒子带负电, 粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为 $\frac{\pi}{3}$ 时, 粒子在磁场中的运动时间为 $t=\frac{1}{6} T=\frac{\pi m}{3 q B}$, 故 D 正确.
  
  
  `例`(多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直.离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角.已知离子比荷为k，不计重力.若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为
   ![图片](/uploads/2024-12/6107ef.jpg)
  A. $\frac{1}{3} k B L, 0^{\circ}$
B. $\frac{1}{2} k B L, 0^{\circ}$
C. $k B L, 60^{\circ}$
D. $2 k B L, 60^{\circ}$

解：若离子通过下部分磁场直接到达 $P$ 点，如图，根据几何关系则有 $R=L$, 由 $q v B=m \frac{v^2}{R}$, 可得 $v=\frac{q B L}{m}=k B L$,根据对称性可知出射速度与 $S P$ 成 $30^{\circ}$ 角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为 $\theta=60^{\circ}$.
当离子在两个磁场均运动一次时，如图，
因为两个磁场的磁感应强度大小均为 $B$,
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 则根据对称性有 $R=\frac{1}{2} L$,根据洛伦兹力提供向心力, 有 $q v B=m \frac{v^2}{R}$, 可得 $v=\frac{q B L}{2 m}=\frac{1}{2} k B L$,此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为 $\theta=0^{\circ}$.
通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时, 需满足 $v=\frac{q B L}{(2 n-1) m}=\frac{1}{2 n-1} k B L(n=1,2,3, \cdots)$ ，此时出射方向与入射方向的夹角为 $\theta=60^{\circ}$;当离子从上部分磁场射出时，需满足 $v=\frac{q B L}{2 n m}=\frac{1}{2 n} k B L(n=1,2,3, \cdots)$ ，此时出射方向与入射方向的夹角为 $\theta=0^{\circ}$, 故 $B 、 C$ 正确, $A 、 D$ 错误.

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