最后更新: 2024-12-19 11:08 查看: 400 次反馈刷题

电磁感应中电荷量的计算

计算电荷量的导出公式: $q = n \frac{\Delta \Phi}{R_{\text {总 }}}$
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间 $\Delta t$ 内通过导体横截面的电荷量为 $q$ ，则根据电流定义式 $\bar{I}=\frac{q}{\Delta t}$ 及法拉第电磁感应定律 $\bar{E}=n \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$, 得 $q=\bar{I} \Delta t=\frac{\bar{E}}{R_{\text {总 }}} \Delta t=$ $\frac{n \Delta \Phi}{R_{\text {总 }} \Delta t} \Delta t=\frac{n \Delta \Phi}{R_{\text {总 }}}$, 即 $q=n \frac{\Delta \Phi}{R_{\text {总 }}}$.

`例`在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1 m2，线圈电阻为1 Ω.规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图甲所示.磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示.以下说法正确的是
A.在0～2 s时间内，I的最大值为0.02 A
B.在3～5 s时间内，I的大小越来越小
C.前2 s内，通过线圈某横截面的总电荷量为0.01 C
D.第3 s内，线圈的发热功率最大
 ![图片](/uploads/2024-12/ad946d.jpg)
 解：$0 \sim 2 s$ 时间内, $t=0$ 时刻磁感应强度变化率最大, 感应电流最大, $I=$ $\frac{E}{R}=\frac{\Delta B \cdot S}{\Delta t R}=0.01 A, A$ 错误;
$3 \sim 5 s$ 时间内电流大小不变，B错误；
前 2 s 内通过线圈的电荷量 $q=\frac{\Delta \Phi}{R}=\frac{\Delta B \cdot S}{R}=0.01 C , C$ 正确;第 3 s 内， $B$ 没有变化，线圈中没有感应电流产生，则线圈的发热功率最小，D错误。

`例`如图，导体轨道 $O P Q S$ 固定，其中 $P Q S$ 是半圆弧， $Q$ 为半圆弧的中点， $O$ 为圆心。轨道的电阻忽略不计。 $O M$ 是有一定电阻、可绕 $O$转动的金属杆， $M$ 端位于 $P Q S$ 上， $O M$ 与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为 $B$ 现使 $O M$ 从 $O Q$ 位置以恒定的角速度逆时针转到 $O S$ 位置并固定（过程 I）；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从 $B$ 增加到 $B^{\prime}$ （过程 II）。在过程 I、II 中，流过 $O M$ 的电荷量相等，则 $\frac{B^{\prime}}{B}$等于

![图片](/uploads/2024-12/251223.jpg)
 
 解：在过程 I 中，根据法拉第电磁感应定律，有

$$
E_1=\frac{\Delta \Phi_1}{\Delta t_1}=\frac{B\left(\frac{1}{2} \pi r^2-\frac{1}{4} \pi r^2\right)}{\Delta t_1},
$$

根据闭合电路的欧姆定律，有 $I_1=\frac{E_1}{R}$ ，且 $q_1=I_1 \Delta t_1$
在过程 II 中, 有 $E_2=\frac{\Delta \Phi_2}{\Delta t_2}=\frac{\left(B^{\prime}-B\right) \frac{1}{2} \pi r^2}{\Delta t_2}$

$$
I_2=\frac{E_2}{R}, \quad q_2=I_2 \Delta t_2
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { 又 } q_1=q_2 \text {, 即 } \frac{B\left(\frac{1}{2} \pi r^2-\frac{1}{4} \pi r^2\right)}{R}=\frac{\left(B^{\prime}-B\right) \frac{1}{2} \pi r^2}{R}\\
&\text { 所以 } \frac{B^{\prime}}{B}=\frac{3}{2} 
\end{aligned}
$$

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