气体模型-汽缸活塞类模型

1.解题的一般思路
(1)确定研究对象
研究对象分两类：①热学研究对象(一定质量的理想气体)；②力学研究对象(汽缸、活塞或某系统).
(2)分析物理过程
①对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程，依据气体实验定律列出方程.
②对力学研究对象要正确地进行受力分析，依据力学规律列出方程.
(3)挖掘题目的隐含条件，如几何关系等，列出辅助方程.
(4)多个方程联立求解.注意检验求解结果的合理性.

2.两个或多个汽缸封闭着几部分气体，并且汽缸之间相互关联的问题，解答时应分别研究各部分气体，找出它们各自遵循的规律，并写出相应的方程，还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式，最后联立求解.

`例`如图所示，内壁光滑的薄壁圆柱形导热汽缸开口朝下，汽缸高度为 $h$ ，横截面积为 $S$. 汽缸开口处有一厚度可忽略不计的活塞.缸内封闭了压强为 $2 p_0$ 的理想气体. 已知此时外部环境的热力学温度为 $T_0$ ，大气压强为 $p_0$ ，活塞的质量为 $\frac{2 p_0 S}{g}$ ， $g$ 为重力加速度。
(1)若把汽缸放置到热力学温度比外部环境低 $\frac{1}{10} T_0$ 的冷库中，稳定时活塞位置不变，求稳定时封闭气体的压强；
 ![图片](/uploads/2024-12/1547e2.jpg)
 
 (2)若把汽缸缓缓倒置，使开口朝上，环境温度不变，求稳定时活塞到汽缸底部的距离.

解：（1）由题意知封闭气体做等容变化，初态时热力学温度为 $T_0$ ，压强为 $2 p_0$ ，

末态时热力学温度为 $T_1=\frac{9}{10} T_0$, 压强设为 $p_1$.根据查理定律有 $\frac{2 p_0}{T_0}=\frac{p_1}{T_1}$, 解得 $p_1=\frac{9}{5} p_0$

（2）封闭气体初态压强为 $2 p_0$ ，体积 $V_0=S h$ ，汽缸倒置后，设气体压强为 $p_2$ ，活塞到汽缸底部的距离为 $H$ ，
则气体体积 $V_2=S H$ ，
根据平衡条件可知 $p_0 S+m g=p_2 S$ ，解得 $p_2=3 p_0$
根据玻意耳定律有 $2 p_0 V_0=p_2 V_2$, 解得 $H=\frac{2}{3} h$
所以稳定时活塞到汽缸底部的距离为 $\frac{2}{3} h$.

`例`水平放置的气体阻尼器模型截面如图所示，汽缸中间有一固定隔板，将汽缸内一定质量的某种理想气体分为两部分，“H”型连杆活塞的刚性连杆从隔板中央圆孔穿过，连杆与隔板之间密封良好.设汽缸内、外压强均为大气压强p0.活塞面积为S，隔板两侧气体体积均为SL0，各接触面光滑.连杆的截面积忽略不计.现将整个装置缓慢旋转至竖直方向，稳定后，上部气体的体积为原来的 1/2  ，设整个过程温度保持不变，求：
 ![图片](/uploads/2024-12/fc5e0e.jpg)
 (1)此时上、下部分气体的压强；
(2)“H”型连杆活塞的质量(重力加速度大小为g).

解：（1）旋转过程，上部分气体发生等温变化，
根据玻意耳定律可知 $p_0 \cdot S L_0=p_1 \cdot \frac{1}{2} S L_0$
解得旋转后上部分气体压强为 $p_1=2 p_0$
旋转过程, 下部分气体发生等温变化, 下部分气体体积增大为 $\frac{1}{2} S L_0+$ $S L_0=\frac{3}{2} S L_0$, 则

$$
p_0 \cdot S L_0=p_2 \cdot \frac{3}{2} S L_0
$$

解得旋转后下部分气体压强为 $p_2=\frac{2}{3} p_0$

（2）对 "H" 型连杆活塞整体受力分析，活塞的重力 $m g$ 坚直向下，上部分气体对活塞的作用力坚直向上，下部分气体对活塞的作用力坚直向下，大气压力上下部分抵消，根据平衡条件可知

$$
p_1 S=m g+p_2 S
$$

解得活塞的质量为 $m=\frac{4 p_0 S}{3 g}$.

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