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共形映射的求法

## 保域性定理
定理 设函数 $w=f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且不恒为常数，则其象集合 $G=f(D)$ 仍然为区域。

证明（略）
意义 保域性定理将解析函数的象集合的求解问题变成了求象区域的问题。

## 边界对应原理
定理 设区域 $D$ 的边界为简单闭曲线 $C$ ，函数 $w=f(z)$ 在闭域 $\bar{D}= D + C$ 上解析，且将曲线 $C$ 双方单值地映射为简单闭曲线 $\Gamma$ ．当 $z$ 沿 $C$ 的正向绕行时，相应的 $w$ 的绕行方向定为 $\Gamma$ 的正向，并令 $G$ 是以 $\Gamma$ 为边界的区域，则 $w=f(z)$ 将 $D$ 共形映射为 $G$ 。

**意义** 边界对应原理进一步将解析函数的象区域的求解问题变成了求象曲线的问题。
 ![图片](/uploads/2025-01/01a7da.jpg)
 
 
 
 ## 求象区域的一般方法
设函数 $w =f(z)$ 在闭域 $\bar{D}=D+C$ 上解析，且为一一映射。
**（1）**令 $z=x+i y, w=u+i v$ ，则有
（A）$\left\{\begin{array}{l}u=u(x, y), \\ v=v(x, y) ;\end{array} \quad \Rightarrow\right.$
（B）$\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(u, v), \\ y=\psi(u, v) .\end{array}\right.$

（2）求边界曲线 $C$ 的象曲线 $\Gamma$ ．
若 $C$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t), \\ y=y(t),\end{array} \xrightarrow{\text { 由（A）式 }}\left\{\begin{array}{l}u=u(x(t), y(t)), \\ v=v(x(t), y(t)),\end{array}\right.\right.$即得象曲线 $\Gamma$ 的方程 $\left\{\begin{array}{l}u=\widetilde{u}(t), \\ v=\widetilde{v}(t) .\end{array}\right.$（参数式）
  
 若 $C$ 的方程为 $F(x, y)=0$ ，（方程式）

$$
\stackrel{\text { 由 }(B) \text { 式 }}{\longrightarrow} F(\varphi(u, v), \psi(u, v))=0 \text {, }
$$

即得象曲线 $\Gamma$ 的方程 $\widetilde{ F }(u, v)=0$ ．（方程式）

（3）求象区域．
方法一 沿边界 $C$ 的正向找三点，考察象点的走向。
方法二 在区域 $D$ 的内部找一点，考察象点的位置。
注意 对于具体的函数，将还会有一些特殊的方法。

`例`已知函数 $w=\frac{1}{z+i}$ ，区域 $D$ 如图所示，求象区域 $G$ 。
 ![图片](/uploads/2025-01/e13297.jpg)
 
 解（1）由 $w=\frac{1}{z+i}$ ，有 $z=\frac{1}{w}-i$ ，
令 $z=x+i y, w=u+i v$ ，
则有 $x+i y=\frac{1}{u+i v}-i$

$$
\begin{aligned}
& =\frac{u}{u^2+v^2}-\frac{v}{u^2+v^2} i-i, \\
\Rightarrow x & =\frac{u}{u^2+v^2}, y=-\frac{u^2+v^2+v}{u^2+v^2} .
\end{aligned}
$$

$x=\frac{u}{u^2+v^2}, y=-\frac{u^2+v^2+v}{u^2+v^2}$ ．

（2）求边界曲线 $C$ 的象曲线 $\Gamma$ ．

![图片](/uploads/2025-01/f4318e.jpg)
 
曲线 $C$ 的方程为 $x-y=0$ ，

$$
\xrightarrow{\text { 由 }(1) \text { 式 }} u^2+v^2+u+v=0 \text {, }
$$

即得象曲线 $\Gamma$ 的方程为

$$
\left(u+\frac{1}{2}\right)^2+\left(v+\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 .
$$

（3）求象区域．
方法一 在 $D$ 的内部取一点 $z_0=i$ ，
代入函数 $w=\frac{1}{z+i}$ ，
得到象点 $w_0=-\frac{1}{2} i$ ，
故象区域 $G$ 在曲线 $\Gamma$ 的＂内部＂

![图片](/uploads/2025-01/209129.jpg)
 
 方法二 在 $D$ 的边界上取三点：
后续讨论 将会看到 仅此一步 就足够了

$z _1=\infty, \quad \longrightarrow w_1= 0$ ，
 $z_2=-1-i, \longrightarrow w_2=-1$ ，
 
$v _2=-1-i, \longrightarrow w_2=-1$,
  $z _3= 0 , \quad \longrightarrow w _3=- i$,

故象区域 $G$ 在曲线 $\Gamma$ 的＂内部＂
 ![图片](/uploads/2025-01/b62291.jpg)
 
`例`设 $D=\{z:|z|<1\}$ ，求它在下列映射下的象区域 $G$ 。
（1）$w=i z ;$
（2）$w=\frac{1}{z}$ ．

解 设区域 $D$ 的边界为 $C$ ，则 $C$ 的方程为

$$
z=e^{i \theta} \text {, 其中 } \theta: 0 \rightarrow 2 \pi \text {. }
$$

（1）在 $w=i z$ 的映射下，曲线 $C$ 对应的象曲线 $\Gamma$ 的方程为

$$
w=i e^{i \theta}=e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}=e^{i \varphi}
$$

其中 $\varphi: \frac{\pi}{2} \rightarrow 2 \pi+\frac{\pi}{2}$ ．
即得象区域 $G$ 如图所示。
 ![图片](/uploads/2025-01/ec44ba.jpg)
 
 设区域 $D$ 的边界为 $C$ ，则 $C$ 的方程为

$$
z=e^{i \theta} \text {, 其中 } \theta: 0 \rightarrow 2 \pi \text {. }
$$

（2）在 $w=\frac{1}{z}$ 的映射下，曲线 $C$ 对应的象曲线 $\Gamma$ 的方程为

$$
w=1 / e ^{i \theta}= e ^{i(-\theta)}= e ^{i \varphi}
$$

其中 $\varphi: 0 \rightarrow-2 \pi$ ．
即得象区域 $G$ 如图所示。
 ![图片](/uploads/2025-01/0d1ba4.jpg)
 
 
 
## 问题二（基本问题）
对给定的区域 $D$ 和 $G$ ，求共形映射 $w=f(z)$ ，使 $G=f(D)$ ．
1．黎曼存在唯一性定理
定理 设 $D$ 和 $G$ 是任意给的的两个单连域，在它们各自的边界上至少含有两个点，则一定存在解析函数 $w = f ( z )$ ，将区域 $D$ 双方单值地映射为 $G$ 。如果在区域 $D$ 和 $G$ 内再分别任意指定一点 $z_0$ 和 $w_0$ ，并任给一个实数 $\theta_0\left(-\pi<\theta_0 \leq \pi\right)$ ，要求函数 $w=f(z)$ 满足 $f\left(z_0\right)=w_0$ 且 $\arg f^{\prime}\left(z_0\right)=\theta_0$ ，则映射 $w=f(z)$ 的函数是唯一的。
对给定的区域 $D$ 和 $G$ ，求共形映射 $w=f(z)$ ，使 $G=f(D)$ ．
2．基本问题的简化 
对给定的单连域 $D$ ，求共形映射，使得 $D$ 映射为单位圆域。
－事实上，由此即可求得任意两个单连域之间的共形映射。
 ![图片](/uploads/2025-01/ca1436.jpg)

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