最后更新: 2025-01-18 18:09 查看: 216 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

共形映射

## 第一类保角映射

第一类保角映射定义 若函数 $w=f(z)$ 在区域 $D$ 内满足：
（1）保角性，（保大小，保方向）；
（2）伸缩率不变性，
则称函数 $w=f(z)$ 为区域 $D$ 内的第一类保角映射。

结论 若函数 $w =f( z )$ 在区域 $D$ 内解析，  且 $f^{\prime}(z) \neq 0$ ，则函数 $w=f(z)$ 为 区域 $D$ 内的第一类保角映射。
 ![图片](/uploads/2025-01/24a59c.jpg)
 
 
## 第二类保角映射
定义 若函数 $w=f(z)$ 在区域 $D$ 内满足：
（1）能保持两条曲线的交角的大小不变，但方向相反；
（2）伸缩率不变性，
则称函数 $w = f ( z )$ 为区域 $D$ 内的第二类保角映射。

![图片](/uploads/2025-01/d2c2de.jpg)
 
 ## 共形映射
 定义 若函数 $w=f(z)$ 为区域 $D$ 内的第一类保角映射，且当 $z_1 \neq z_2$ 时，$f\left(z_1\right) \neq f\left(z_2\right)$ ，则称 $w=f(z)$ 为区域 $D$ 内的共形映射。

**关键** 要求函数还必须是——映射（即双方单值）。

`例`求函数 $w=f(z)=z^2$ 在 $z_1=i$ 和 $z_2=0$ 处的导数值，并说明其几何意义。

解 函数 $f(z)$ 在复平面上处处解析，且 $f^{\prime}(z)=2 z$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/ab4cf7.jpg)
 
 （1）在 $z_1=i$ 点，$f^{\prime}(i)=2 i=2 e ^{\frac{\pi}{2} i}$ ，因此，函数 $w=f(z)$ 在 $z_1=i$ 处的伸缩率不变，且具有保角性，其伸缩率为 2 ，旋转角为 $\pi / 2$ ．
（2）在 $z_2=0$ 点，$f^{\prime}(0)=0$ ，
因此，函数的保角性不成立。

`例` 函数 $w =\overline{ z }$ 是否为共形映射？
解（1）由于 $\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{|\Delta w|}{|\Delta z|}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{|\overline{\Delta z}|}{|\Delta z|}=1$ ，因此，它具有伸缩率不变性；
（2）显然，该函数能保持两条曲线的的交角的大小不变，但方向相反，因此，它是第二类保角映射。
 ![图片](/uploads/2025-01/1bfb0b.jpg)
 
 
 
`例`函数 $w = e ^z$ 是否为共形映射？
解（1）由于 $w= e ^z$ 在复平面上处处解析，且 $\left( e ^z\right)^{\prime}= e ^z \neq 0$ ，因此，它在整个复平面上是第一类共形映射。
（2）令 $z_1=x_1+i y_1$ ，则 $w_1= e ^{z_1}= e ^{x_1} \cdot e ^{i y_1}$ ，令 $z_2=x_1+i\left(y_1+2 \pi\right)$ ，则 $w_2= e ^{z_2}= e ^{x_1} \cdot e ^{i\left(y_1+2 \pi\right)}$ $= e ^{x_1} \cdot e ^{i y_1}= w _1$,
可见，它不是双方单值的，因此，它不是共形映射。
（3）如果设区域 $D=\{z: 0<\operatorname{Im} z<2 \pi\}$ ，则它在区域 $D$ 内是双方单值的，因此，它是区域 $D$ 内共形映射。

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