最后更新: 2025-09-01 14:31 查看: 317 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

复数导数的几何意义

> 关于复数导数的几何意义，是复数学习里的一个**难点**，大部分教材都安排在第六章《[共形映射](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=898)》里解决，本张将他的内容直接提到前面，如果有不明白的地方，可以学过后面的共形映射后再来学习本文

## 从一个简单函数$w=z^2$入手
先看一下在极坐标模式下，它把以原点为中心半径 $|z|=r$ 圆周映射为模长放大2倍，角度也放大为2倍的图像。

它的一个显然的推论就是：**$z$ 平面上的这些圆周与射线的交角为直角这一事实，在映射下仍得保持**，这就是说，它们在 $w$ 平面上的象仍以直角相交．正如图 4－1 所示，由这些圆周与射线所成的无穷小正方形网格被映为由无穷小矩形所成的象网格．不过这还不能解释为什么这些象矩形必定仍是正方形．

![图片](/uploads/2025-05/4b8470.jpg){width=500px}
 图 4-1 极坐标模式下$w=z^2$ 图像
 
我们马上就要解释，无穷小正方形得以保持这一事实，是另一事实的一个推论，即 $z \mapsto w=z^2$ 处处保持两条曲线在 $z$ 点相交的交角，特别是任一对正交曲线被映为另一对正交曲线。但是两个临界点 $z=0$ 和 $z=\infty$ 要除外，在那里角度要加倍。

为了给出另一个例子，我们先把这个映射分解为其实部与虚部。记 $z=x+ i y, w=u+ i v$ ，我们得到

$$
u+i v=w=z^2=(x+i y)^2=\left(x^2-y^2\right)+i 2 x y
$$

这样，新的坐标可由老的坐标表示为

$$
\left \{
\begin{aligned}
& u=x^2-y^2  \\
& v=2 x y 
\end{aligned}
\right. ...(4.1)
$$

现在暂时忘掉我们是处于复平面$C$ 中，而把（4.1）简单地看成一个由 $R ^2$ 到 $R ^2$ 的映射.

对于方程组（4.1）我们直觉上能感受到他们的曲线形状。对于 $x^2-y^2=c$ (c是常数)他表示的双曲线，对于$2xy=c$(c为常数)他表示的是反比例函数， 理解了两组曲线表达的意义后，现在分析$z$平面上点的运动并观察$w$像点的变化趋势。

>方程组（4.1）包含了2个等式却含有4个未知数，所以，在分析时，我们对一个做限制，另外一个任取取数。

如果我们让点 $(x, y)$ 沿着方程为 $x^2-y^2=常数$ 的直角双曲线滑动（对于$v$他可以任意取数），则由（4．1）可以看到，其象在一条铅直直线 $u=常数$ 上运动。

类似于此，水平直线 $v=常数 $ 的原象是另一族方程为 $2 x y=常数 $ 的直角双曲线．因为这两族 $w$ 平面上的直线和它们在 $z$ 平面上的原象（直角双曲线）都是正交的（我们在[复变函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=843) 一节已经进行了解释），所以这个映射保持它们的交角不变。这个性质我们称之为 $z \mapsto z^2$ 的**保角性**。

![图片](/uploads/2025-05/e1e1f5.jpg){width=500px}
 4-2 直角坐标系下$w=z^2$ 图像
 
 
图 4－2 使得这两类双曲线本身确为正交在几何上看得很清楚了。我们还可以用计算来验证这一点，只需记住，如果两条曲线在一个交点上的斜率之积为 $-1$ ，则它们在此点正交(详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=689))，对这两个双曲线方程做隐函数微分，我们得到

$$
\begin{aligned}
x^2-y^2=\text { 常数 } & \Rightarrow \quad x-y y^{\prime}=0 \quad \Rightarrow \quad y^{\prime}=+(x / y), \\
2 x y=\text { 常数 } \quad & \Rightarrow \quad y+x y^{\prime}=0 \quad \Rightarrow \quad y^{\prime}=-(y / x) .
\end{aligned}
$$

所以这两类双曲线在其一交点上斜率之积为$-1$,即所求证.

很清楚, 虽然我们可以这样做下去, 一对曲线又一对曲线地去分析映射的效果,但是我们真正需要的是,用一个一般的论证来证明如果两条曲线以任意角（而不一定是垂直）相交,则它们在映射下的象也以角相交. 要想得到这样一个论证, 我们还要继续采用单位元的微观方式研究曲线之间的关系。

## 复数导数的几何意义
我们先把结论给出来：复数的导数是一个复数，这个复数含有模长和夹角，分布表示像的伸缩率和旋转角。即：

> $\arg f^{\prime}\left(z_0\right)$ 在 $z_0$ 点的旋转角。

> $\left|f^{\prime}\left(z_0\right)\right|$ 在

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