最后更新: 2025-08-16 09:00 查看: 351 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

保形映射(共形映射)

## 保形映射
本节主要介绍保形映射，这个概念比较难以理解，我们先用一个通俗的例子进行解释：

> 想象你有一张弹性极好、无限薄且透明的橡皮膜（代表定义域区域），上面画着一些图形（比如街道网格、一个三角形、一些相交的曲线）。保形映射就像是按照某种特定的规则，小心翼翼地**拉扯、弯曲、旋转**这张橡皮膜，然后把它铺到另一个形状的区域上（代表值域区域）。在拉扯变形的过程中，它保持了以下两个关键特性不变：**局部保角性不变**和**局部伸缩率不变**
①比如橡皮膜上在某个十字路口有夹角为90度的相交的两条街道，在变形后，这两条曲线在新的位置相交，形成的角度大小和方向依然和原来一模一样，还是90度直角。 
②再想象在橡皮膜上，围绕一个点画一个非常非常小的圆（小到像针尖那么大）。在变形后，这个无穷小的圆在新位置上会变成一个无穷小的圆（不再是圆就违反保形了），而不是椭圆或其他形状。而且，这个新圆的大小（半径）比原来的圆放大或缩小了，而且这个放大/缩小的比例（伸缩率）在这个小局部区域内是处处相同的。

**保角性另一种理解**：想象你用放大镜看地图上的一个路口，无论你怎么移动放大镜（相当于局部变形），放大镜里看到的路口夹角始终不变
**局部伸缩率不变性的另一种理解**：你站在路灯下，向任意方向**迈出极小的一步**，那么你的“你的影子”也在所有方向上都成比例的迈出一样的距离。不过，当你走到另一个点时，这个放大/缩小的比例可能就不同了（整体形状可以大变）

> **保角性**和**伸缩率不变性**是保形映射的核心内容。

## 曲线的参数表示
> 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $\Gamma$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $\Gamma$ 。 曲线 $\Gamma$ 的位置可以使用$(x,y)$坐标表示，而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y$ 也跟着变动。这样，我们就可以把 $\Gamma=f(x,y)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t)$ 来表示，曲线的切线可以用$x,y$的导数表示。接下来的$z,w$我们都使用参数$t$来表示。

想象你在路灯下，在灯光映射下地面上形成你的影子，当你走动时，你的影子也跟着变动，可以把你的运动看成时间$t$的函数，即$z=z(t)$ 可以看成
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x=x(t) \\
y=y(t)
\end{array}
\right.
$$

而你的影子的变动$w=f(z), z=z(t)$，所以$w=f(z(t))$,他是由你的运动和时间的运动所组成的复合运动。写成公式是
$$
\left\{
\begin{array}{c}
u=f(z) \cdot z_x(t) \\
v=f(z) \cdot z_y(t) \\
\end{array}
\right.
$$

上面记法仅表示$u,v$ 可以看成$z,t$的**复合函数**。

> 对于复数的导数，我们可以这样理解，在$t=t_0$时刻，我开始走动，当时间从$t_0 \to t$ 时，我在$z$平面上，则从$z(t_0) \to z(t)$, 同样的，我的影子则从$w(t_0) \to w(t)$ ，以地面为复数的定义域和值域，我们观察复数导数的几何意义。

![图片](/uploads/2025-08/c448cb.jpg)

参考下图，我的运动轨迹是左图橙红色曲线，而影子的运动是右图橙红色曲线。 现在让$t$无限趋近于$t_0$， 则在$z$平面上，过$z_0$的切线与$x$轴的夹角$\alpha$，就是 $Argz'(t_0)$, 即 $\alpha=Argz'(t_0)$

同样的，$t$无限趋近于$t_0$时，像函数过$w_0$的切线与$u$轴的夹角为$\beta$, 就是
$$
\beta=\left.\operatorname{Arg} \frac{d f(z(t))}{d t}\right|_{t=t_0}=\operatorname{Arg}\left[f^{\prime}\left(z_0\right) \cdot z^{\prime}\left(t_0\right)\right]=\operatorname{Arg} f^{\prime}\left(z_0\right)+\operatorname{Arg} z^{\prime}\left(t_0\right)
$$

上面这个推导，用了一个公式：两个复数相乘，则对应的辐角相加 [复数乘法](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2903) 。

即$\beta$的值等于$\alpha$ 的值，加上导数的辐角的值。 其具体证明见下面详细介绍。

![图片](/uploads/2025-08/56fcf1.jpg)

`例`我们以$f(z)=z^2$ 为例，来解释一下复数导数辐角的意义。
 
 解：易知$f'(z)=2z$。 现在考虑$z$平面上一点$i$(下图左图),单独$i$这点他与$x$的夹角为 $\alpha=\frac{\pi}{2}$,  通过$w=z^2$映射后, 点$i$被映射为$w$平面上的点$-1$（下图右图）, $-1$的辐角为$\beta=\pi$。
再看导数，在$z=i$ 这一点，他的导数为$f'(i)=2i$， 即 $2i$ 的辐角主值为$ \gamma=\frac{\pi}{2}$，这样我们就找到了3个角。可以发现$\beta=\alpha+\gamma$, 这样就验证了上面给的结论。
  
 通过这个简单例子需要明白三个角度：

> $\alpha$ 角 对应$z$复平面上那一点复数的角度。
>  $\beta$ 角 对应$w$复平面上那一点复数的角度。
> $\gamma$ 角 对应映射求导后得的复数的辐角，他的值为$\gamma=\beta-\alpha$ 即 $ \beta =\alpha+ \gamma$ ，这表明，$\beta$角可以由 $\alpha$角 加上导数的辐角组成，所以，我们把导数的辐角称作 **旋转角**
 
 ![图片](/uploads/2025-08/deb9f6.jpg)

`例` 试求映射 $f(z)=\ln (z-1)$ 在点 $z_0=-1+2 i$ 处的旋转角

解 $f^{\prime}(z)=\frac{1}{z-1},\left|f^{\prime}(z)\right|=\frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}$ ，在 $z_0=-1+2 i$ 处有

$$
f^{\prime}(-1+2 i)=-\frac{1}{4}(1+i), \quad \arg \left[-\frac{1}{4}(1+i)\right]=-\frac{3}{4} \pi
$$

在例2里，$z_0$的辐角为 $\alpha= arc tan (-2)$, $\gamma=\pi$ , 则经过映射后的$w_0$ 的角度为 $\beta=\pi+arc tan (-2)$

### 数学推导

在复平面上，有向曲线 $C$ 可由实变量 $t$ 的参数方程

$$
z=z(t)=x(t)+i y(t), \quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta
$$

来表示．参数 $t$ 增大时点 $z(t)$ 移动的方向规定为 $C$ 的正方向．当 $x^{\prime}(t), y^{\prime}(t)$ 连续且 $x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t) \neq 0$ 时，称 $C$ 为有向光滑曲线．易知，$C$ 为光滑曲线时，$z^{\prime}(t)$ 连续，且 $z^{\prime}(t) \neq 0$ ．

对实二维平面的简单有向光滑曲线 $C: x=x(t), y=y(t)(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$（其正向为参数 $t$ 增大的方向）．由＂高等数学＂知道，曲线 $C$ 上对应于 $t=t_0$ 的点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线的方向向量为 $T =\left\{x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right)\right\}$ ，且 $T$ 的方向与曲线 $C$ 的正向一致．详见[参数的导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=295)

如果将复平面看作实二维平面，则复平面上的简单有向光滑曲线 $C: z= z(t)=x(t)+ i y(t)(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$ 等同于实二维平面的有向光滑曲线 $C: x=x(t), y= y(t)(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$ ．若 $z_0=z\left(t_0\right)\left(\alpha<t_0<\beta\right)$ 是 $C$ 上的一点，那么表示 $z^{\prime}\left(t_0\right)=x^{\prime}\left(t_0\right)+ i y^{\prime}\left(t_0\right)$ 的向量与 $C$ 相切于点 $z_0$ 处，且与 $C$ 的正方向一致。从而 $\arg z^{\prime}\left(t_0\ri

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