最后更新: 2025-08-16 09:07 查看: 83 次纠错评论(0) 课件开VIP

共形映射与反共形映射

## 共形映射与反共形映射

**定义** 对于映射 $w=f(z)$ ，若它在 $D$ 内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称 $w=f(z)$ 是**第一类保角映射**；

若它在 $D$ 内任意一点保持曲线的交角的大小不变但方向相反和伸缩率不变，则称 $w=f(z)$ 是**第二类保角映射**．

我们把第一类保角映射称作**共形映射**，第二类保角映射称作**反共形映射**。

### 角的保持
我们从讨论＂角的保持＂是什么意思开始．下图的中部是两条交于 $p$ 点的曲线 $S_1, S_2$ 。如果它们在 $p$ 点充分光滑，就可以做出它们在 $p$ 点处的切线 $T_1, T_2$ 。我们现在定义 $p$ 点处＂由 $S_1$ 到 $S_2$ 的角＂即为由 $T_1$ 到 $T_2$ 的锐角 $\theta$ 。这样，这个角赋有一个符号：由 $S_2$ 到 $S_1$ 的角是图上所示由 $S_1$ 到 $S_2$ 的角反号。如果我们对这些曲线作任意光滑的变换，则象曲线在 $p$ 点之象处仍有切线，所以由它们之一到另一曲线也有适当定义的角。

![图片](/uploads/2025-08/b1a141.jpg)
 
如果由一条象曲线到另一条象曲线的角与原来的两条曲线在 $p$ 点的相应角相等，那么我们就说这个变换保持 $p$ 点处的角。完全有可能这个变换保持某一对过 $p$的曲线之间的角，但不保持每一对过 $p$ 的曲线之间的角。然而，如果这变换保持每一对过 $p$ 的曲线之间的角，我们就说它在 $p$ 点是共形的变换。我们要强调一下，这里所谓共形是指角的大小与符号均得到保持，上图右方就是一个共形的变换。如果相反，在 $p$ 点的角被映射为大小相同而符号相反的角，就说此变换在 $p$ 点是反共形的，上图左方所示。如果此映射在它有定义的区域之每一点都是共形的，就称之为**共形映射**；如果在每一点都反共形，就称它为**反共形映射**。最后，如果一映射只知道它能保持角的大小，而不知它是否也保持其定向，就称它为**等角映射**。

> 很容易想到一些具体的映射为共形的或反共形的。例如，平移 $z \mapsto(z+c)$ 是共形的，平面的旋转和伸缩 $z \mapsto a z(a \neq 0)$ 也是共形映射。反之，$z \mapsto \bar{z}$ 和对直线的反射一样，都是反共形映射的．

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