最后更新: 2025-08-16 06:32 查看: 26 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

单叶解析函数的映射

## 单叶解析函数的映射性质
**定义** 设函数 $w=f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且对 $D$ 内任意不同两点 $z_1$ 和 $z_2$ ，均有 $f\left(z_1\right) \neq f\left(z_2\right)$ ，则称 $f(z)$ 为区域 $D$ 内的单叶解析函数，简称单叶函数．

`例`证明函数 $f(z)=\frac{z}{(1-z)^2}$ 为单位圆 $|z|<1$ 内的单叶函数．

证明：设 $z_1, z_2$ 为 $|z|<1$ 内不同两点，则有

$$
f\left(z_1\right)-f\left(z_2\right)=\frac{z_1}{\left(1-z_1\right)^2}-\frac{z_2}{\left(1-z_2\right)^2}=\frac{\left(z_1-z_2\right)\left(1-z_1 z_2\right)}{\left(1-z_1\right)^2\left(1-z_2\right)^2} \neq 0
$$

另外，$\frac{z}{(1-z)^2}=z+2 z^2+\cdots+n z^n+\cdots,|z|<1$ 。

**比伯巴赫Bieberbach猜想**：设 $S=\{f(z) \mid f(z)$ 在 $|z|<1$ 内单叶解析，且 $\left.f(0)=f^{\prime}(0)-1=0\right\}$ ，则对任意 $f \in S$ ，若 $f(z)=z+a_2 z^2+\cdots+a_n z^n+\cdots$则 $\left|a_n\right| \leq n(n=2,3, \cdots)$ ．

比伯巴赫猜想认为：若函数在单位圆内为单叶解析函数，其幂级数展开式中第$n$项系数满足$|a_n|≤n (n≥2)$，且仅当函数为克贝函数或其旋转形式时才能取等号。 该命题通过罗伯森猜想与米林猜想建立逻辑关联，最终需通过证明米林猜想达成目标。

1972年第五个系数被证实符合猜想。年美国数学家L.德·布朗基利用勒夫纳方法及雅可比多项式，通过证明米林猜想推导出罗伯森猜想，最终解决该猜想，其证明过程得到苏联数学家验证确认

## 单叶解析函数是什么意思
“单叶解析函数”是复变函数中的一个重要概念，它其实包含了两个关键属性：解析性和单叶性。

### 解析性
一个复变函数$f(z)$ 是解析的意味着，当你在$z$平面内走极小的一段圆域，那么像$w$区域内，也跟着变动极小的圆域，如下图，关于解析性在[解析函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=850) 里已经进行了详细的解释。
 ![图片](/uploads/2025-06/df99e3.jpg)

### 单叶性
一个函数$ f(z)$ 在某个区域 $D$ 内是单叶的, 这意味着对于 $D$ 内任意两个不同的点 $z_1,z_2$，它们的函数值也不同 $f(z_1) ≠ f(z_2))$

![图片](/uploads/2025-08/823d51.jpg){width=300px}
 
 
 **简单例子：**

*   `f(z) = z²` 在整个复平面上是解析的，但它**不是**单叶的。例如，`f(1) = 1` 和 `f(-1) = 1`，两个不同的点映射到了同一个点。它把整个复平面（除了原点）两倍地覆盖到去掉负实轴的复平面上（或者覆盖两遍上半平面/下半平面）。
*   `f(z) = eᶻ` 在整个复平面上是解析的，但它**不是**单叶的，因为它是周期函数 `f(z + 2πi) = f(z)`。它把宽度为 `2π` 的水平带形（如 `0 < Im(z) < 2π`) 一一映射到整个复平面去掉正实轴（或者去掉原点/负实轴，取决于带形位置）。
*   **单叶解析的例子：**
    *   `f(z) = z` (恒等映射) 在任何区域都是单叶解析的。
    *   `f(z) = az + b` (`a, b` 是复数，`a ≠ 0`) (线性映射/平移旋转伸缩) 在整个复平面上是单叶解析的。
    *   `f(z) = 1/z` 在区域 `D = {z : |z| >

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