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复变函数与积分变换
第六篇 共形映射
分式线性映射的一般形式
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2025-01-19 10:16
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分式线性映射的一般形式
## 分式线性映射的一般形式 由分式线性函数 $$ w=\frac{a z+b}{c z+d}\left(a, b, c, d \text { 为复数且 } \frac{a}{c} \neq \frac{b}{d}\right) $$ 构成的映射，称为分式线性映射； 特别地，若 $c=0$ ，则称为 $($ 整式）线性映射。 注（1）两个分式线性映射的复合，仍是一个分式线性映射； （2）分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射： $$ z=-\frac{d w-b}{c w-a} $$ ## 分式线性映射的分解 分式线性函数 $w=\frac{a z+b}{c z+d}$ 可改写为： （1）当 $c \neq 0$ 时， $$ \begin{aligned} w & =\frac{1}{c} \cdot \frac{a c z+b c}{c z+d}=\frac{1}{c} \cdot \frac{a(c z+d)-a d+b c}{c z+d} \\ & =\frac{a}{c}+\frac{b c-a d}{c} \cdot \frac{1}{c z+d} \end{aligned} $$ （2）当 $c=0$ 时， $$ w=\frac{a z+b}{d}=\frac{a}{d}\left(z+\frac{b}{a}\right) . $$ 因此，一个一般形式的分式线性映射可以由下面四种 最简单的分式线性映射复合而成。  后面分别对四种映射进行讨论。为了比较映射前后的变化， 将 w 平面与 z 平面放在同一个平面上。
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