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复变函数与积分变换
第六篇 共形映射
关于存在性与唯一性的补充说明
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2025-01-18 18:13
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关于存在性与唯一性的补充说明
## 关于存在性 若区域 $D$ 为下列情形之一：(1) 扩充复平面；(2) 复平面; (3) 扩充复平面上除去一个有限点 $z_0$, 则不存在解析函数,使 $\boldsymbol{D}$ 共形映射为单位圆域。 其中, 情形(3) 可利用映射 $\xi=\frac{1}{z-z_0}$ 转化为情形 (2)。 证明 若存在函数 $w=f(z)$, 将 $D$ 共形映射为单位圆域 $|w|<1$,则 $w=f(z)$ 在整个复平面上解析且 $|f(z)|<1$ (即有界),根据刘维尔(liouville) 定理 (见 $§ 3.4), f(z)$ 必恒为常数。这显然不是所要求的映射。 ## 关于唯一性 一般说来是不唯一的。 比如 对于任意给定的实常数 $\theta_0$, 函数 $w=z \mathrm{e}^{i \theta_0}$ 将单位圆域仍然映射为单位圆域。 {width=400px} ## 黎曼存在唯一性定理 定理 设 $\boldsymbol{D}$ 和 $\boldsymbol{G}$ 是任意给的的两个单连域, 在它们各自的边界上至少含有两个点, 则一定存在解析函数 $w=f(z)$, 将区域 $\boldsymbol{D}$ 双方单值地映射为 $\boldsymbol{G}$ 。如果在区域 $\boldsymbol{D}$ 和 $\boldsymbol{G}$ 内再分别任意指定一点 $z_0$ 和 $w_0$, 并任给一个实数 $\theta_0(-\pi<\theta \leq \pi)$,要求函数 $w=f(z)$ 满足 $f\left(z_0\right)=w_0$ 且 $\arg f^{\prime}\left(z_0\right)=\theta_0$, 则映射 $w=f(z)$ 的函数是唯一的。
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