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复变函数与积分变换
第六篇 共形映射
平移映射与旋转映射
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2025-01-19 10:32
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平移映射与旋转映射
## 平移映射 $$ \boxed{ w=z+b,(b 为复数 ) } $$ 令 $$ \begin{aligned} & w=u+i v, z=x+i y \\ & b=b_1+i b_2 \end{aligned} $$ 则有 $u=x+b_1, v=y+b_2$ ． 它将点集（点，曲线，区域等）沿着向量 $\vec{b}$ 的方向平移一段距离 $|\vec{b}|$ ．  ## 旋转映射 $$ \boxed{ w= e ^{i \theta_0} z , \quad \theta_0为实数 } $$ 令 $z=|z| e ^{i \theta}$ ， 则有 $w=|z| e ^{i\left(\theta+\theta_0\right)}$ ． 它将点集（点，曲线，区域等）旋转一个角度 $\theta_0$ ． 当 $\theta_0>0$ 时，沿逆时针旋转； 当 $\theta_0<0$ 时，沿顺时针旋转。  `例` 将分式线性映射 $w=\frac{2 z}{z+i}$ 分解为四种简单映射的复合。 解 $w=\frac{2 z}{z+i}=\frac{2 z+2 i-2 i}{z+i}=2+\frac{-2 i}{z+i}=2+2 e ^{-\frac{\pi}{2} i} \cdot \frac{1}{z+i}$ ． 
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