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复变函数与积分变换
第八篇 拉普拉斯变换
求 Laplace 逆变换的方法
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2025-01-20 14:44
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求 Laplace 逆变换的方法
## 求 Laplace 逆变换的方法 1．留数法 －利用留数计算反演积分。 定理 设函数 $F(s)$ 除在半平面 $\operatorname{Re} s \leq c$ 内有有限个孤立奇点, $s_1, s_2, \cdots s_n$ 外是解析的，且当 $s \rightarrow \infty$ 时，$F(s) \rightarrow 0$ ，则 $$ \begin{aligned} f(t) & =\frac{1}{2 \pi j} \int_{\beta-j \infty}^{\beta+j \infty} F(s) e^{s t} d s \\ & =\sum_{k=1}^n \operatorname{Res}\left[F(s) e^{s t}, s_k\right],(t>0) . \end{aligned} $$ 证明（略） 2．查表法 常用 －利用Laplace 变换的性质，并根据一些已知函数的Laplace变换来求逆变换。 －大多数情况下，象函数 $F (s)$ 常常为（真）分式形式： $F(s)=\frac{P(s)}{Q(s)}$ ，其中，$P(s)$ 和 $Q(s)$ 是实系数多项式。由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法很容易得到象原函数。 －此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。
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