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复变函数与积分变换
第八篇 拉普拉斯变换
Laplace 逆变换
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2025-01-20 14:42
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Laplace 逆变换
## 反演积分公式——Laplace 逆变换公式 公式推导 推导（1）由 Laplace 变换与 Fourier 变换的关系可知， 函数 $f(t)$ 的 Laplace 变换 $F(s)=F(\beta+j \omega)$就是函数 $f(t) u(t) e ^{-\beta t}$ 的 Fourier 变换， 即 $F(s)=F(\beta+j \omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[f(t) u(t) e ^{-\beta t}\right] e ^{-j \omega t} d t$ ． （2）根据 Fourier 逆变换，在 $f(t)$ 的连续点 $t$ 处，有 $$ f(t) u(t) e^{-\beta t}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\beta+j \omega) e^{j \omega t} d \omega $$ （2）根据 Fourier 逆变换，在 $f(t)$ 的连续点 $t$ 处，有 $$ f(t) u(t) e^{-\beta t}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\beta+j \omega) e^{j \omega t} d \omega $$ （3）将上式两边同乘 $e ^{\beta t}$ ，并由 $s=\beta+j \omega$ ，有 $$ f(t) u(t)=\frac{1}{2 \pi j} \int_{\beta-j \infty}^{\beta+j \infty} F(s) e^{s t} d s $$ 即得 $f(t)=\frac{1}{2 \pi j} \int_{\beta-j \infty}^{\beta+j \infty} F(s) e ^{s t} d s,(t>0)$ ． 根据上面的推导，得到如下的 Laplace 变换对： $$ \left[\begin{array}{rl} F(s) & =\int_0^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t ; ...(A) \\ \\ f(t) & =\frac{1}{2 \pi j} \int_{\beta-j \infty}^{\beta+j \omega} F(s) e^{s t} d s,(t>0) ...(B) \end{array}\right. $$ 定义 称 $(B)$ 式为**反演积分公式**。 反演积分公式中的积分路径是 $s$ 平面上的一条直线 $\operatorname{Re} s=\beta$ ，该直线处于 $F(s)$ 的存在域中。 
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