最后更新: 2025-08-11 21:20 查看: 386 次反馈同步训练

利用 Laplace 变换计算广义积分

## 利用 Laplace 变换计算广义积分

在 Laplace 变换及其性质中，如果取 $s$ 为某些特定的值，就可以用来求一些函数的广义积分。

$$
\boxed {
\begin{array}{l|l}
F(s)=\int_0^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t ; & F(0)=\int_0^{+\infty} f(t) d t ; \\
F^{\prime}(s)=-\int_0^{+\infty} t f(t) e^{-s t} d t ; & F^{\prime}(0)=-\int_0^{+\infty} t f(t) d t ; \\
\int_s^{\infty} F(s) d s=\int_0^{+\infty} \frac{f(t)}{t} e^{-s t} d t . & \int_0^{\infty} F(s) d s=\int_0^{+\infty} \frac{f(t)}{t} d t .
\end{array}
}
$$

> 注意在使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察一下 $s$ 的取值范围以及广义积分的存在性。

`例`计算积分 $\int_0^{+\infty} e ^{-3 t} \cos 2 t d t$ ．
解 由 $L [\cos 2 t]=\int_0^{+\infty} e ^{-s t} \cos 2 t d t=\frac{s}{s^2+4}$ ，得

$$
\int_0^{+\infty} e^{-3 t} \cos 2 t d t=\left.\frac{s}{s^2+4}\right|_{s=3}=\frac{3}{13}
$$

`例` 计算积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos t}{t} e ^{-t} d t$ ．
解 已知 $L [1-\cos t]=\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+1}=\frac{1}{s\left(s^2+1\right)}$ ，由积分性质有

$$
\begin{aligned}
L \left[\frac{1-\cos t}{t}\right] & =\int_s^{\infty} \frac{1}{s\left(s^2+1\right)} d s \\
& =\left.\frac{1}{2} \ln \frac{s^2}{s^2+1}\right|_s ^{\infty}=\frac{1}{2} \ln \frac{s^2+1}{s^2},
\end{aligned}
$$

即得 $\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos t}{t} e ^{-t} d t=\left.\frac{1}{2} \ln \frac{s^2+1}{s^2}\right|_{s=1}=\frac{1}{2} \ln 2$ ．

`例` 计算积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos t}{t} e ^{-t} d t$ ．
解 由像函数的积分性质，并注意解析函数的积分与路径无关，得

$$
\begin{aligned}
\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos t}{t} e^{-t} d t & =\int_1^{\infty} L[1-\cos t] d s=\int_1^{\infty}\left(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+1}\right) d s \\
& =\int_1^{+\infty}\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\right) d x=\left[\frac{1}{2} \ln \frac{x^2}{x^2+1}\right]_1^{+\infty}=\frac{1}{2} \ln 2
\end{aligned}
$$

## 延伸阅读
在 高等数学里介绍过[伽玛函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1456)

（i）由含参变量积分 $\int_0^{+\infty} e ^{-t} t^{m-1} d t$ 所定义的函数称为 Gamma 函数，记为 $\Gamma(m)$ ，即 $\Gamma(m)=\int_0^{+\infty} e ^{-t} t^{m-1} d t$ ，其中 $m>0 . \Gamma$ 函数具有如下的递推公式 $\Gamma(m+1)=m \Gamma(m)$ ，由此可知，当 $m$ 为正整数时，$\Gamma(m+1)=m!$ 。由定义可知 $\Gamma(1)=1$ ，由定义及概率积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} e ^{-\xi^2} d \xi=\sqrt{\pi}

其他版本
【高等数学】伽玛函数

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