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复变函数与积分变换
第八篇 拉普拉斯变换
利用 Laplace 变换计算广义积分
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2025-01-20 14:38
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利用 Laplace 变换计算广义积分
## 利用 Laplace 变换计算广义积分 在 Laplace 变换及其性质中，如果取 $s$ 为某些特定的值，就可以用来求一些函数的广义积分。 $$ \begin{array}{l|l} F(s)=\int_0^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t ; & F(0)=\int_0^{+\infty} f(t) d t ; \\ F^{\prime}(s)=-\int_0^{+\infty} t f(t) e^{-s t} d t ; & F^{\prime}(0)=-\int_0^{+\infty} t f(t) d t ; \\ \int_s^{\infty} F(s) d s=\int_0^{+\infty} \frac{f(t)}{t} e^{-s t} d t . & \int_0^{\infty} F(s) d s=\int_0^{+\infty} \frac{f(t)}{t} d t . \end{array} $$ > 注意在使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察一下 $s$ 的取值范围以及广义积分的存在性。 `例`计算积分 $\int_0^{+\infty} e ^{-3 t} \cos 2 t d t$ ． 解 由 $L [\cos 2 t]=\int_0^{+\infty} e ^{-s t} \cos 2 t d t=\frac{s}{s^2+4}$ ，得 $$ \int_0^{+\infty} e^{-3 t} \cos 2 t d t=\left.\frac{s}{s^2+4}\right|_{s=3}=\frac{3}{13} $$ `例` 计算积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos t}{t} e ^{-t} d t$ ． 解 已知 $L [1-\cos t]=\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+1}=\frac{1}{s\left(s^2+1\right)}$ ，由积分性质有 $$ \begin{aligned} L \left[\frac{1-\cos t}{t}\right] & =\int_s^{\infty} \frac{1}{s\left(s^2+1\right)} d s \\ & =\left.\frac{1}{2} \ln \frac{s^2}{s^2+1}\right|_s ^{\infty}=\frac{1}{2} \ln \frac{s^2+1}{s^2}, \end{aligned} $$ 即得 $\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos t}{t} e ^{-t} d t=\left.\frac{1}{2} \ln \frac{s^2+1}{s^2}\right|_{s=1}=\frac{1}{2} \ln 2$ ．
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