最后更新: 2026-04-15 13:48 查看: 390 次纠错评论(0) 课件开VIP

Laplace性质5-卷积与卷积定理

## 卷积

卷积有什么作用？我想这个问题比卷积的定义更令人感兴趣。其实卷积的本质是信号的分解，类似加减乘除运算，卷积是一种计算规则，之所以给这个计算规则起个名字，是因为这种计算经常能用到。因为卷积的本质是信号的分解，所以最好先了解一下信号的分解。

## 理解1：从吃汉堡理解卷积
 
首先设定一个常见：人的消化系统是一个线性消化系统，他有自己的消化曲线。输入为每个小时吃的汉堡，系统为消化系统，输出为某个时刻我们肚子里剩的汉堡。

我们不妨设置消化系统系数为每小时变化一次，例如，我们设置消化系数为$[0.9，0.8，0.7]$，这就代表着我们吃下去一个汉堡，在1个小时后，肚子里还有0.9个汉堡；在2个小时以后，肚子里还有0.8个汉堡；在三个小时以后，肚子里还有0.7个汉堡。

这里注意一下，我们每一次吃的汉堡都是分批次消化。意思就是六点吃的汉堡和七点吃的汉堡没什么关系，消化系统会把他们**分批次计算**。

**吃一次汉堡很容易理解**，比如在六点的时候，我们吃了 10 个汉堡，那么在七点，肚子里还剩 9个汉堡，在八点，我们的肚子里就还剩 8 个汉堡。

那么吃两次呢？我们没吃饱，在七点钟的时候又吃了 3 个汉堡。那么在八点钟的时候：
**第一次吃的汉堡**（6： 00 吃的，现在8： 00 ）过了两个小时还剩 $(10 \times 0.8=8)$ 个汉堡

**第二次吃的汉堡**（7：00吃的，现在8：00）过了一个小时还剩 $(3 \times 0.9=2.7)$ 个汉堡
所以在八点钟时候，我们的肚子里还剩 $(8+2.7=10.7)$ 个汉堡，即 $y(1)=9, ~ y(2)$ $=10.7$ 。

那么吃三次，六个小时后我们肚子里的汉堡还剩多少呢？
那么吃四次，四个小时后我们肚子里的汉堡还剩多少呢？
那么吃无数次， n 小时后我们肚子里的汉堡还剩多少呢？

按照上面的规律，可以得到如下一个函数

$$
g(n)=f(n) * h(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(k) \cdot h(n-k)
$$
其中，
$g(n)$ 一输出，某时刻肚子里的汉堡留存。
$h(n)$ 一输入，每时刻吃的汉堡。
$f(n)$ 一系统，消化系数。

现在看懂这个公式了吗？这就是卷积。

**卷**是因为第一批吃的汉堡一定是最先开始被消化的。**积**是因为他们是相乘的。

### 连续型
假设我们在每个时刻吃不定量的汉堡，消化系统在以一个稳定的速率消化汉堡，最终的输出就是我们吃过的每个批次的汉堡在某个时刻肚子里的总存量。这其实是一个很简单的小学问题，经典的排水问题——水池在加水的同时放水，问某个时刻水池里还有多少水。只不过这个小学案例的放水加水是恒定的速度，卷积有加权系数罢了，如果我们每个时刻吃3个汉堡，消化1个汉堡，那么这就是妥妥的水池问题了。

顺带一提，这里的吃汉堡是离散输入，连续输入是一样的，你可以理解为持续不断的吃汉堡（准确的说，每批次之间有很小的时间间隔Δt，Δt趋向0）。或者干脆考虑水池进水出水问题，水龙头和出水口一直开着，每时刻的进水速度在变，出水有稳定的系数函数——这是非常标准的连续输入输出。上面公式就变成

$$
g(x)=f(x) * h(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cdot h(t-\tau) d t
$$

### 为什么信号处理经常使用卷积
信号可以理解为波，想象一下河边里的水波，波浪一波接着一波冲击海岸，选定一个质点，当一个波浪作用在质点上还未结束，下一个波浪又开始到来，因此在信号处理里，大量使用卷积。

以上内容摘自 [傅里叶变换卷积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=914)  卷积并不神秘，你可以把他看成“加减乘除”的一种运算，只是这种运算使用积分的形式。

## 理解2：擦玻璃
现在我们对上面卷积公式进一步抽象，如果把消化系数理解为对消化的加权值，那么就会发现卷积进一步可以理解为 “带着一个模板，在数据上滑一遍，每滑到一个位置就算一次**加权**相似度”。

1. 最简单的比喻：擦玻璃
- 你手里拿一块**抹布**（这就是卷积核/模板）
- 玻璃上有灰尘（这就是原始数据/图像）
- 你拿着抹布在玻璃上**一点点滑动**
- 每滑到一个位置，抹布就把那一块的灰尘**按一定方式混合、抹平**

这就是卷积：
**用一个固定小模板，在大数据上滑动加权平均**。

2. 数学上的理解
不用公式，只说逻辑：
1. 准备一个**小窗口**（卷积核）
2. 把这个窗口放在数据的**某一个位置**
3. 对应位置**相乘再加总**（加权）
4. 得到一个新值，作为输出
5. 窗口往右/往下挪一格，重复计算
最终得到一张**被处理过的新数据**。

## 卷积与卷积定理

卷积的定义，两个函数的卷积是指

$$
\boxed{
f_1(t) * f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) d \tau
}
$$

如果函数满足：当 $t<0$ 时，$f_1(t)=f_2(t)=0$ ，则有

$$
\boxed{
f_1(t) * f_2(t)=\int_0^t f_1(\tau) f_2(t-\tau) d \tau, \quad(t \geq 0)
}
$$

显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律，结合律以及分配律等性质。
 
 如果你实在理解不了卷积，那么拿到题目后，直接往公式里套。情况例题
 
 `例`求函数 $f_1(t)=t$ 与 $f_2(t)=\sin t$ 的卷积。
解

$$
\begin{aligned}
f_1(t) * f_2(t) & =\int_0^t \tau \sin (t-\tau) d \tau \\
& =\int_0^t \tau d \cos (t-\tau) \\
& =\left.\tau \cos (t-\tau)\right|_0 ^t-\int_0^t \cos (t-\tau) d \tau \\
& =t+\left.\sin (t-\tau)\right|_0 ^t \\
& =t-\sin t
\end{aligned}
$$

## 卷积定理
定理 
$$
\boxed{
L \left[f_1(t) * f_2(t)\right]=F_1(s) \cdot F_2(s)
}
$$
证明 左边 $= L \left[f_1(t) * f_2(t)\right]=\int_0^{+\infty}\left[f_1(t) * f_2(t)\right] e ^{-s t} d t$

![图片](/uploads/2025-01/a68be5.jpg)
 
$$
\begin{aligned}
& =\int_0^{+\infty}\left[\int_0^t f_1(\tau) f_2(t-\tau) d \tau\right] e^{-s t} d t \\
& =\iint_D f_1(\tau) f_2(t-\tau) e^{-s t} d \tau d t \\
& =\int_0^{+\infty} f_1(\tau)\left[\int_\tau^{+\infty} f_2(t-\tau) e^{-s t} d t\right] d \tau
\end{aligned}
$$

或写成

$$
L ^{-1}\left[F_1(s) \cdot F_2(s)\right]=f_1(t) * f_2(t) .
$$

> 这个性质表明：两函数卷积的拉普拉斯变换等于这两个函数拉普拉斯变换的乘积．

#### 推广
 一般地，若

$$
\begin{aligned}
&\text { } L \left[f_k(t)\right]=F_k(s)(k=1,2, \cdots, n) \text { ，则有 }\\
&L \left[f_1(t) * f_2(t) * \cdots * f_n(t)\right]=F_1(s) \cdot F_2(s) \cdot \cdots \cdot F_n(s) .
\end{aligned}
$$

`例` 设 $f(t)=\int_0^t \frac{\sin 2 t}{t} d t, g(t)= e ^{b t} t^m$（ $b>0, m>-1$ 为常数），求：

$$
L [f(t) * g(t)] .
$$

解 由卷积性质

$$
\begin{gathered}
L [f(t) * g(t)]= L [f(t)] \cdot L [g(t)], \\
L [f(t)]= L \left[\int_0^t \frac{\sin 2 t}{t} d t\right]=\frac{1}{s} L \left[\frac{\sin 2 t}{t}\right],
\end{gathered}
$$

而

$$
\begin{gathered}
L [\sin 2 t]=\frac{2}{s^2+4} \\
L \left[\frac{\sin 2 t}{t}\right]=\int_s^{\infty} \frac{2}{s^2+4} d s=\left[\arctan \frac{s}{2}\right]_s^{\infty}=\frac{\pi}{2}-\arctan \frac{s}{2}=\operatorname{arccot} \frac{s}{2}
\end{gathered}
$$

所以

$$
L [f(t)]=\frac{1}{s} \operatorname{arccot} \frac{s}{2}
$$

又因为

$$
L \left[t^m\right]=\frac{\Gamma(m+1)}{s^{m+1}}, \quad L [g(t)]= L \left[e^{b t} t^m\right]=\frac{\Gamma(m+1)}{(s-b)^{m+1}},
$$

因此

$$
L [f(t) * g(t)]=\frac{\operatorname{arccot}(s / 2)}{s(s-b)^{m+1}} \Gamma(m+1)
$$

由例知，运用卷积性质求 $L [f(t) * g(t)]$ 比先求卷积再求拉普拉斯变换要简便的多．

`例` 求如图8．4所示的阶梯函数 $f(t)$ 的拉普拉斯变换．

![图片](/uploads/2026-04/111957.jpg)

解 因 $u(t-k)$ 从零跳跃到 1 的起跳点在 $k$ ，跳跃高度为 1 ，故图8．4的阶梯形函数可通过跳跃点在  $0,,\tau, 2 \tau, 3 \tau, \cdots$ 的单位阶跃函数的和表示出来．于是有

$$
\begin{aligned}
f(t) & =A[u(t)+u(t-\tau)+u(t-2 \tau)+\cdots] \\
& =A \sum_{k=0}^{\infty} u(t-k \tau)
\end{aligned}
$$

由于

$$
\left|u(t-k \tau) \mathrm{e}^{-s t}\right|=\left|u(t-k \tau) \mathrm{e}^{-s(t-k \tau)} \mathrm{e}^{-s k \tau}\right| \leqslant\left|\mathrm{e}^{-s k \tau}\right|,
$$

当 $\operatorname{Re}(s)>0$ 时，$\left|\mathrm{e}^{-s \tau}\right|<1$ ，故级数 $\sum_{k=0}^{\infty} u(t-k \tau) \mathrm{e}^{-s t}$在 $t>0$ 上一致收敛，从而可以逐项积分。因此，上式两端可取拉普拉斯变换，且右端可逐项取拉普拉斯变换．

由位移性质

$$
\mathscr{L}[u(t-k \tau)]=\mathrm{e}^{-k \tau s} \mathscr{L}[u(t)]=\frac{1}{s} \mathrm{e}^{-k \tau s},
$$

于是

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L}[f(t)] & =A \sum_{k=0}^{\infty} \mathscr{L}[u(t-k \tau)]=\frac{A}{s} \sum_{k=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-k \tau s} \\
& =\frac{A}{s} \frac{1}{1-\mathrm{e}^{-s \tau}}=\frac{A}{2 s}\left(1+\operatorname{cth} \frac{s \tau}{2}\right), \quad \operatorname{Re}(s)>0 .
\end{aligned}
$$

一般地，若 $f(t)$ 满足拉普拉斯变换存在定理的条件，且 $\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$ ，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，有

$$
\mathscr{L}\left[\sum_{k=0}^{\infty} f(t-k \tau)\right]=\sum_{k=0}^{\infty} \mathscr{L}[f(t-k \tau)]=\frac{F(s)}{1-\mathrm{e}^{-s t}}, \operatorname{Re}(s)>c_0 .
$$

## 性质总结
 ![图片](/uploads/2025-08/d1ee7f.jpg)

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