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复变函数与积分变换
第八篇 拉普拉斯变换
卷积与卷积定理
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2025-01-20 14:36
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卷积与卷积定理
## 卷积与卷积定理 1．卷积 按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指 $$ f_1(t) * f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) d \tau $$ －如果函数满足：当 $t<0$ 时，$f_1(t)=f_2(t)=0$ ，则有 $$ f_1(t) * f_2(t)=\int_0^t f_1(\tau) f_2(t-\tau) d \tau, \quad(t \geq 0) $$ 显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律，结合律以及分配律等性质。 `例`求函数 $f_1(t)=t$ 与 $f_2(t)=\sin t$ 的卷积。 解 $$ \begin{aligned} f_1(t) * f_2(t) & =\int_0^t \tau \sin (t-\tau) d \tau \\ & =\int_0^t \tau d \cos (t-\tau) \\ & =\left.\tau \cos (t-\tau)\right|_0 ^t-\int_0^t \cos (t-\tau) d \tau \\ & =t+\left.\sin (t-\tau)\right|_0 ^t \\ & =t-\sin t \end{aligned} $$ ## 卷积定理 定理 $L \left[f_1(t) * f_2(t)\right]=F_1(s) \cdot F_2(s)$ ． 证明 左边 $= L \left[f_1(t) * f_2(t)\right]=\int_0^{+\infty}\left[f_1(t) * f_2(t)\right] e ^{-s t} d t$  $$ \begin{aligned} & =\int_0^{+\infty}\left[\int_0^t f_1(\tau) f_2(t-\tau) d \tau\right] e^{-s t} d t \\ & =\iint_D f_1(\tau) f_2(t-\tau) e^{-s t} d \tau d t \\ & =\int_0^{+\infty} f_1(\tau)\left[\int_\tau^{+\infty} f_2(t-\tau) e^{-s t} d t\right] d \tau \end{aligned} $$
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