最后更新: 2025-08-10 21:44 查看: 360 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

卷积与卷积定理

## 卷积

卷积有什么作用？我想这个问题比卷积的定义更令人感兴趣。其实卷积的本质是信号的分解，类似加减乘除运算，卷积是一种计算规则，之所以给这个计算规则起个名字，是因为这种计算经常能用到。因为卷积的本质是信号的分解，所以最好先了解一下信号的分解。

## 从吃汉堡理解卷积
 
首先设定一个常见：人的消化系统是一个线性消化系统，他有自己的消化曲线。输入为每个小时吃的汉堡，系统为消化系统，输出为某个时刻我们肚子里剩的汉堡。

我们不妨设置消化系统系数为每小时变化一次，例如，我们设置消化系数为$[0.9，0.8，0.7]$，这就代表着我们吃下去一个汉堡，在1个小时后，肚子里还有0.9个汉堡；在2个小时以后，肚子里还有0.8个汉堡；在三个小时以后，肚子里还有0.7个汉堡。

这里注意一下，我们每一次吃的汉堡都是分批次消化。意思就是六点吃的汉堡和七点吃的汉堡没什么关系，消化系统会把他们**分批次计算**。

**吃一次汉堡很容易理解**，比如在六点的时候，我们吃了 10 个汉堡，那么在七点，肚子里还剩 9个汉堡，在八点，我们的肚子里就还剩 8 个汉堡。

那么吃两次呢？我们没吃饱，在七点钟的时候又吃了 3 个汉堡。那么在八点钟的时候：
**第一次吃的汉堡**（6： 00 吃的，现在8： 00 ）过了两个小时还剩 $(10 \times 0.8=8)$ 个汉堡

**第二次吃的汉堡**（7：00吃的，现在8：00）过了一个小时还剩 $(3 \times 0.9=2.7)$ 个汉堡
所以在八点钟时候，我们的肚子里还剩 $(8+2.7=10.7)$ 个汉堡，即 $y(1)=9, ~ y(2)$ $=10.7$ 。

那么吃三次，六个小时后我们肚子里的汉堡还剩多少呢？
那么吃四次，四个小时后我们肚子里的汉堡还剩多少呢？
那么吃无数次， n 小时后我们肚子里的汉堡还剩多少呢？

按照上面的规律，可以得到如下一个函数

$$
g(n)=f(n) * h(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(k) \cdot h(n-k)
$$
其中，
$g(n)$ 一输出，某时刻肚子里的汉堡留存。
$h(n)$ 一输入，每时刻吃的汉堡。
$f(n)$ 一系统，消化系数。

现在看懂这个公式了吗？这就是卷积。

**卷**是因为第一批吃的汉堡一定是最先开始被消化的。**积**是因为他们是相乘的。

以上内容摘自 [傅里叶变换卷积](https://kb.kmath.c

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