最后更新: 2025-08-11 21:16 查看: 277 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

Laplace 微积分的性质与周期函数的像函数

## 象原函数的微分性质
性质 
$$
\boxed{
L \left[f^{\prime}(t)\right]=s F(s)-f(0)
}
$$

证明 $L \left[f^{\prime}(t)\right]=\int_0^{+\infty} f^{\prime}(t) e ^{-s t} d t=\int_0^{+\infty} e ^{-s t} d f(t)$

$$
=\left.f(t) e^{-s t}\right|_0 ^{+\infty}+s \int_0^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t
$$

由 $|f(t)| \leq M e ^{c t}$ ，有 $\left|f(t) e ^{-s t}\right| \leq M e ^{-(\operatorname{Re} s-c) t}$ ，
因此当 $\operatorname{Re} s=\beta>c$ 时，有 $\lim _{t \rightarrow+\infty} f(t) e ^{-s t}=0$ ，
即得 $L \left[f^{\prime}(t)\right]=s F(s)-f(0)$ ．

$$
L \left[f^{\prime}(t)\right]=s F(s)-f(0)
$$

一般地，有

$$
\boxed{
L \left[f^{(n)}(t)\right]=s^n F(s)-s^{n-1} f(0)-s^{n-2} f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)
}
$$

其中，$f^{(k)}(0)$ 应理解为 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f^{(k)}(t)$ ．

> **Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分方程（组）的初值问题**。 比如取$n=2$ 就是二阶微分方程。

> **这个性质是说："对函数求导，相当于给它的拉普拉斯变换'戴个帽子'再减掉初始值！"**

他的核心思想是：对函数求导后的拉普拉斯变换，相当于：
①先把原变换 $ F(s) $ 乘以 $ s $（相当于"戴个帽子"）
②再减去函数在 $ t=0 $ 时的初始值 $ f(0) $（相当于"去掉起点"）

以汽车速度计算为例
①原函数 $ f(t) $：汽车行驶的距离
②导数 $ f'(t) $：汽车的瞬时速度
③变换过程：
    - 先给距离的变换 $ F(s) $ 乘以 $ s $（相当于从距离得到速度）
    - 再减去初始距离 $ f(0) $（如果汽车不是从原点出发要扣除）

这个性质将时域的微分运算转化为频域的代数运算，是拉普拉斯变换解微分方程的核心工具。记住："乘s减初始"，就能轻松掌握微分性质的运用！

`例` 已知 $ f(t) = t^2 $，求 $ \mathcal{L}\{ f'(t) \} $：
1. 先求原变换：$ \mathcal{L}\{ t^2 \} = \frac{2}{s^3} $
2. 求导后的变换：$ \mathcal{L}\{ 2t \} = s \cdot \frac{2}{s^3} - 0 = \frac{2}{s^2} $
（正好等于 $ 2\mathcal{L}\{ t \} $）

`例`求函数 $f(t)=t^m$ 的 Laplace 变换（ $m$ 为正整数）。
解 利用导数的象函数性质来求解本题
由 $f(0)=f^{\prime}(0)=\cdots=f^{(m-1)}(0)=0$ 以及 $f^{(m)}(t)=m$ ！有

$$
\begin{aligned}
L \left[f^{(m)}(t)\right] & = L [m!] \\
& =s^m F(s)-s^{m-1} f(0)-s^{m-2} f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(m-1)}(0) \\
& =s^m L [f(t)]=s^m L \left[t^m\right],
\end{aligned}
$$

故有 $L \left[t^m\right]=\frac{1}{s^m} L [m!]=\frac{m!}{s^m} L [1]=\frac{m!}{s^{m+1}}$ ．

## 象函数的微分性质
性质

$$
\boxed{
F^{\prime}(s)=- L [t f(t)] 
}
$$

一般地，有 $F^{(n)}(s)=(-1)^n L \left[t^n f(t)\right]$ ．
证明 由 $F(s)=\int_0^{+\infty} f(t) e ^{-s t} d t$ 有

$$
\begin{aligned}
F^{\prime}(s) & =\frac{d}{d s} \int_0^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t=\int_0^{+\infty} \frac{\partial}{\partial s}\left[f(t) e^{-s t}\right] d t \\
& =-\int_0^{+\infty} t f(t) e^{-s t} d t=- L [t f(t)]
\end{aligned}
$$

同理可得 $F^{(n)}(s)=(-1)^n L \left[t^n f(t)\right]$ ．

`例`求函数 $f(t)=t \sin \omega t$ 的 Laplace 变换。
解 已知 $L [\sin \omega t]=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$ ，
根据象函数的导

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇： Laplace 拉普拉斯变换的性质

下一篇：卷积与卷积定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)