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复变函数与积分变换
第八篇 拉普拉斯变换
周期函数的像函数
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2025-01-20 14:34
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周期函数的像函数
## 周期函数的像函数 性质 设 $f(t)$ 是 $[0,+\infty)$ 内以 $T$ 为周期的函数，且逐段光滑， 则 $L [f(t)]=\frac{1}{1- e ^{-s T}} \int_0^T f(t) e ^{-s t} d t$. 证明 $L [f(t)]=\int_0^T f(t) e ^{-s t} d t+\int_T^{+\infty} f(t) e ^{-s t} d t \xlongequal{=\text { 记为 }} I_1+I_2$ ， 其中，$I_2 \xlongequal{\text { 令 } x=t-T} \int_0^{+\infty} f(x+T) e ^{-s(x+T)} d x$ $$ =e^{-s T} \int_0^{+\infty} f(x) e^{-s x} d x=e^{-s T} L [f(t)] $$ 即得 $L [f(t)]=\frac{1}{1- e ^{-s T}} \int_0^T f(t) e ^{-s t} d t$ ． `例` 求全波整流后的正弦波 $f(t)=|\sin \omega t|$ 的象函数。 解 函数 $f(t)$ 的周期为 $T=\frac{\pi}{\omega}$ ，故有 $$ \begin{aligned} L [f(t)] & =\frac{1}{1-e^{-s T}} \int_0^T e^{-s t} \sin \omega t d t \\ & =\left.\frac{1}{1-e^{-s T}} \cdot \frac{e^{-s t}(-s \sin \omega t-\omega \cos \omega t)}{s^2+\omega^2}\right|_0 ^T \\ & =\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \cdot \frac{1+e^{-s T}}{1-e^{-s T}}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \operatorname{cth} \frac{s \pi}{2 \omega} . \end{aligned} $$
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