最后更新: 2026-04-14 17:10 查看: 298 次纠错评论(0) 课件开VIP

Laplace性质3-微分性质

## 像原函数的微分性质
在拉普拉斯变换里，
$$
L \left[f(t)\right]= F(s) 
$$

里，其中$f(t)$叫做**像原函数**，$F(s)$叫做**像函数**。

拉氏变换的微分性质有2个：$f'(t)$与$F'(s)$

## 像原函数微分性质 
$$
\boxed{
L \left[f^{\prime}(t)\right]=s F(s)-f(0)
}
$$

证明 $L \left[f^{\prime}(t)\right]=\int_0^{+\infty} f^{\prime}(t) e ^{-s t} d t=\int_0^{+\infty} e ^{-s t} d f(t)$

使用分部积分法

$$
=\left.f(t) e^{-s t}\right|_0 ^{+\infty}+s \int_0^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t
$$

由 $|f(t)| \leq M e ^{c t}$ ，有 $\left|f(t) e ^{-s t}\right| \leq M e ^{-(\operatorname{Re} s-c) t}$ ，
因此当 $\operatorname{Re} s=\beta>c$ 时，有 $\lim _{t \rightarrow+\infty} f(t) e ^{-s t}=0$ ，
即得   
$$
L \left[f^{\prime}(t)\right]=s F(s)-f(0)
$$

一般地，有

$$
\boxed{
L \left[f^{(n)}(t)\right]=s^n F(s)-s^{n-1} f(0)-s^{n-2} f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)
}
$$

其中，$f^{(k)}(0)$ 应理解为 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f^{(k)}(t)$ ．

下面给出1-4阶微分
**一阶微分**
$$
\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0^-)
$$

**二阶微分**
$$
\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0^-) - f'(0^-)
$$

**三阶微分**
$$
\mathcal{L}\{f'''(t)\} = s^3 F(s) - s^2 f(0^-) - s f'(0^-) - f''(0^-)
$$

**四阶微分**
$$
\mathcal{L}\{f^{(4)}(t)\} = s^4 F(s) - s^3 f(0^-) - s^2 f'(0^-) - s f''(0^-) - f'''(0^-)
$$

**一般规律**（$ n $阶）：
$$
\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n F(s) - \sum_{k=0}^{n-1} s^{\,n-1-k} f^{(k)}(0^-)
$$

## 像函数微分性质 
$$
\boxed{
F^{\prime}(s)=\mathscr{L}[-t f(t)] .
}
$$

一般地有

$$
\boxed{
F^{(n)}(s)=\mathscr{L}\left[(-t)^n f(t)\right], \quad n=1,2, \cdots .
}
$$

证明 
（1）

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right] & =\int_0^{+\infty} f^{\prime}(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} f(t) \\
& =\left[\mathrm{e}^{-s t} f(t)\right]_0^{+\infty}+s \int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t \\
& =s F(s)-f(0), \quad \operatorname{Re}(s)>c_0
\end{aligned}
$$

（2）因为 $F(s)=\int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t, f(t)$ 满足拉普拉斯变换存在定理条件，所以 $F(s)$ 在 $\operatorname{Re}(s)>c_0$ 上解析，且

$$
F^{\prime}(s)=\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left[f(t) \mathrm{e}^{-s t}\right] \mathrm{d} t=\int_0^{+\infty}[-t f(t)] \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t=\mathscr{L}[-t f(t)] .
$$

由数学归纳法可证：

$$
\mathscr{L}\left[f^{(n)}(t)\right]=s^n F(s)-s^{n-1} f(0)-s^{n-2} f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0), \quad n=1,2, \cdots
$$

与

$$
F^{(n)}(s)=\mathscr{L}\left[(-t)^n f(t)\right], \quad n=1,2, \cdots .
$$

特别地，当 $f(0)=f^{\prime}(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0$ 时，有

$$
\mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right]=s F(s), \quad \mathscr{L}\left[f^{\prime \prime}(t)\right]=s^2 F(s), \quad \cdots, \quad \mathscr{L}\left[f^{(n)}(t)\right]=s^n F(s) .
$$

下面列出1-4阶微分性质
**一阶** 
$$
 F'(s)=-\mathcal{L}\{t \cdot f(t)\} 
$$
**二阶** 
$$
 F''(s)=\mathcal{L}\{t^2 \cdot f(t)\} 
$$

**三阶** 
$$
 F^{(3)}(s)=-\mathcal{L}\{t^3 \cdot f(t)\} 
$$

**三阶** 
$$
 F^{(4)}(s)=\mathcal{L}\{t^4 \cdot f(t)\} 
$$

$n$为偶数 → 正号
$n$ 为奇数 → 负号

> **Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分方程（组）的初值问题**。 比如取$n=2$ 就是二阶微分方程。

> **这个性质是说："对函数求导，相当于给它的拉普拉斯变换'戴个帽子'再减掉初始值！"**

## 理解：如何理解微分的性质

1. 任何信号 $f(t)$，拉普拉斯变换就是把频率从0频率一直到$\infty$频率，把每隔频率和 $ e^{-s t}$ 做比较，看看 $ e^{-s t}$的相似度，然后再把所有频率累加，这就是拉普拉斯变换。

$$
F(s)= L [f(t)]=\int_0^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t ...
$$

2.  对 $f(t)$ 求导，就是对每一个 $e^{st}$ 求导，因为频率不含有$t$,  而指数函数求导有个逆天性质：

$$
  \frac{d}{dt}e^{st}=s\cdot e^{st}
$$

求导一次，就**乘一个 s**，函数形状不变。
因此，相当于每隔频率分量都会多了一个$s$，提取出来作为公约数。

所以：
- 对原信号做**微分**
- 等价于对它的拉普拉斯变换**乘 s**

这就是“微分变乘法”的根本原因。

因此，不是拉普拉斯 “强行” 把微分变乘法
而是指数函数天生就满足：求导 = 乘常数
拉普拉斯只是选了这种函数做基底，所以微分自然变成乘法。

**还有一个更物理的视角:频率的视角**

微分在现实里是**变化的快慢**。在变换后的世界（复频域）里，衡量快慢的唯一尺度就是 **频率 $ s $**。
- 变化得越快（导数大） = 频率越高（$ s $大）。
- 所以，**导数大** 自然就对应 **$ s $大**。它们是成正比的。

**再浓缩成一句最本质的话**
拉普拉斯变换选择了**求导算子的特征函数**作为基底：
$$
\frac{d}{dt}\phi = s\phi
$$
所以在这个基底下，**求导运算 = 乘以特征值 s** 这就是“微分变乘法”的几何与代数本质。

**总结成一句话：**
**微分之所以变乘法，是因为拉普拉斯变换强迫信号和“怎么打都打不死、只会吐出一个 $ s $的指数函数”强行绑定在了一起。要死也是你先死（被积分掉），而指数函数活着留下了 $ s $作为战利品。**

更详细解释参考[拉氏变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=4121)

## 例题
`例` 已知 $ f(t) = t^2 $，求 $ \mathcal{L}\{ f'(t) \} $：
1. 先求原变换：$ \mathcal{L}\{ t^2 \} = \frac{2}{s^3} $
2. 求导后的变换：$ \mathcal{L}\{ 2t \} = s \cdot \frac{2}{s^3} - 0 = \frac{2}{s^2} $
（正好等于 $ 2\mathcal{L}\{ t \} $）

`例` 求 $f(t)=\cos k t$ 的拉普拉斯变换．
解 由于

$$
\mathscr{L}[\sin k t]=\frac{k}{s^2+k^2}, \quad(\sin k t)^{\prime}=k \cos k t,
$$

由微分性质，

$$
\mathscr{L}\left[(\sin k t)^{\prime}\right]=s \mathscr{L}[\sin k t]-\left.\sin k t\right|_{t=0}=\frac{k s}{s^2+k^2},
$$

又因为

$$
\mathscr{L}\left[(\sin k t)^{\prime}\right]=\mathscr{L}[k \cos k t]=k \mathscr{L}[\cos k t],
$$

所以

$$
\mathscr{L}[\cos k t]=\frac{s}{s^2+k^2} .
$$

`例`求函数 $f(t)=t^m$ 的 Laplace 变换（ $m$ 为正整数）。
解 利用导数的象函数性质来求解本题
由 $f(0)=f^{\prime}(0)=\cdots=f^{(m-1)}(0)=0$ 以及 $f^{(m)}(t)=m$ ！有

$$
\begin{aligned}
L \left[f^{(m)}(t)\right] & = L [m!] \\
& =s^m F(s)-s^{m-1} f(0)-s^{m-2} f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(m-1)}(0) \\
& =s^m L [f(t)]=s^m L \left[t^m\right],
\end{aligned}
$$

故有 $L \left[t^m\right]=\frac{1}{s^m} L [m!]=\frac{m!}{s^m} L [1]=\frac{m!}{s^{m+1}}$ ．
 
`例` 求函数 $f(t)=t^2 \cos ^2 t$ 的 Laplace 变换。
解 $t^2 \cos ^2 t=\frac{1}{2} t^2(1+\cos 2 t)$ ，已知 $L [1]=\frac{1}{s}, L [\cos 2 t]=\frac{s}{s^2+2^2}$ ，

根据线性性质以及象函数的导数性质有

$$
\begin{aligned}
L \left[t^2 \cos ^2 t\right] & =\frac{1}{2} \cdot \frac{d^2}{d s^2}\left[\frac{1}{s}+\frac{s}{s^2+2^2}\right] \\
& =\frac{2\left(s^6+24 s^2+32\right)}{s^3\left(s^2+4\right)^3}
\end{aligned}
$$

`例`求函数 $f(t)=t e ^{-3 t} \sin 2 t$ 的 Laplace 变换。
解 已知 $L [\sin 2 t]=\frac{2}{s^2+2^2}$ ，
根据位移性质有

$$
L \left[e^{-3 t} \sin 2 t\right]=\frac{2}{(s+3)^2+4}
$$

再由象函数的导数性质有

$$
\begin{aligned}
L \left[t e^{-3 t} \sin 2 t\right] & =-\frac{d}{d s}\left(\frac{2}{(s+3)^2+4}\right) \\
& =\frac{4(s+3)}{\left[(s+3)^2+4\right]^2} .
\end{aligned}
$$

`例`求 $f(t)=t^3 \mathrm{e}^{k t}$（ $k$ 为实常数）的 Laplace 变换．
解：

$$
\mathscr{L}\left[\mathrm{e}^{k t}\right]=\frac{1}{s-k}[\operatorname{Re}(s)>k]
$$

所

$$
\mathscr{L}\left[t^3 \mathrm{e}^{k t}\right]=(-1)^n \frac{\mathrm{~d}^3}{\mathrm{~d} s^3}\left(\frac{1}{s-k}\right)=\frac{6}{(s-k)^4}[\operatorname{Re}(s)>k] .
$$

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