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Laplace 拉普拉斯变换的性质

在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的 Laplace 变换均假定存在。

## 线性性质  
与傅里叶变换一样，拉普拉斯变换有一系列的性质。首先，拉普拉斯变换是线性变换，即

$$
\boxed{
L \left\{C_1 f_1+C_2 f_2\right\}=C_1 L \left\{f_1\right\}+C_2 L \left\{f_2\right\}
}
$$

其中，$C_1$ 和 $C_2$ 是常数。
证明

$$
\begin{aligned}
L \left\{C_1 f_1+C_2 f_2\right\} & =\int_0^{\infty}\left[C_1 f_1(x)+C_2 f_2(x)\right] e^{-p t} d t \\
& =C_1 \int_0^{\infty} f_1(t) e^{-p t} d t+C_2 \int_0^{\infty} f_2(t) e^{-p t} d t \\
& =C_1 L \left\{f_1\right\}+C_2 L \left\{f_2\right\}
\end{aligned}
$$

进而，如果

$$
f(t) \longleftrightarrow F(p)
$$
 
上面线性性质主要表达了2个意思：

> **（1）如果你有两个信号（或函数），先把它们加起来再做拉普拉斯变换，结果等于分别对它们做拉普拉斯变换后再相加。
（2）果你把一个信号放大 $k$ 倍，再做拉普拉斯变换，结果等于先做变换，再把结果放大$k$倍**

`例`求函数 $f(t)=\sin 2 t \sin 3 t$ 的 Laplace 变换。

解
$$
\begin{gathered}
f(t)=\sin 2 t \sin 3 t=\frac{1}{2}(\cos t-\cos 5 t), \\
\mathscr{L}[f(t)]=\frac{1}{2}(\mathscr{L}[\cos t]-\mathscr{L}[\cos 5 t]) \\
=\frac{1}{2}\left(\frac{s}{s^2+1}-\frac{s}{s^2+25}\right) \\
=\frac{12 s}{\left(s^2+1\right)\left(s^2+25\right)} .
\end{gathered}
$$

`例`已知 $F(s)=\frac{1}{(s-1)(s-2)}$ ，求 $f(t)= L ^{-1}[F(s)]$ ．
解 $F(s)=\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s-1}$ ，

$$
\begin{aligned}
f(t) & = L ^{-1}[F(s)]= L ^{-1}\left[\frac{1}{s-2}\right]- L ^{-1}\left[\frac{1}{s-1}\right] \\
& =e^{2 t}-e^t
\end{aligned}
$$

## 相似性质

**相似性质** 设 $a$ 为任一正实数，则

$$
 \boxed{L [f(a t)]=\frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right)}
$$

证明 $L [f(a t)]=\int_0^{+\infty} f(a t) e ^{-s t} d t$

$$
\begin{aligned}
& \xlongequal{\text { 令 } x=a t} \frac{1}{a} \int_0^{+\infty} f(x) e^{-\frac{s}{a} x} d x \\
& =\frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right) .
\end{aligned}
$$

> **拉普拉斯变换的相似性质（也叫尺度变换性质）的通俗理解是：时间压缩或拉伸，会导致拉普拉斯变换的‘缩放’和‘频率调整’**

在上面公式里，在$a>0$的情况下，又可细分取值为两种：
**① 时间压缩（$ a > 1 $）**
如果信号 $ f(t) $ 在时间上**加快**（比如录音加速播放），那么它的拉普拉斯变换会： **幅度缩小**（乘 $ \frac{1}{a} $）  **频率范围扩大**（$ s \rightarrow \frac{s}{a} $，相当于频域“拉伸”）。

**② 时间拉伸

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