最后更新: 2026-04-11 17:37 查看: 325 次纠错评论(0) 课件开VIP

拉氏变换的条件与冲激函数δ的拉氏变换

##  Laplace 变换存在的条件
定理 （**Laplace 变换存在定理**）设函数 $f(t)$ 满足
（1）在 $t \geqslant 0$ 的任何有限区间上分段连续；
（2）当 $t \rightarrow+\infty$ 时，$f(t)$ 的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数 $M>0$ 及 $c \geqslant 0$ ，使得

$$
|f(t)| \leqslant M e^{c t}(0 \leqslant t<+\infty)
$$

则象函数 $F(s)$ 在半平面 $\operatorname{Re}(s)>c$ 上一定存在，且为解析函数．其中，$c$ 称为 $f(t)$ 的增长指数。

在实际应用中，并不需要利用广义积分的方法来求函数的 Laplace 变换，可查 [Laplace表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=917)

> **理解拉氏变换存在条件**：只要原函数增长不快于指数函数，并且没有太离谱的间断，拉氏变换就存在。
**就像你给别人一笔钱（积分运算），但要求对方将来能还回来，那么只要这个人的每月收入大于支出，你就不担心他将来还不起**。
应用到拉氏变换要的是：原函数 $ f(t)$ 不会增长得比 $ e^{at} $ 还快（$ a $ 是某个实数）。

## 关于含冲激函数的 Laplace 变换问题
－当函数 $f(t)$ 在 $t=0$ 附近有界时，$f(0)$ 的取值将不会影响其 Laplace 变换的结果。
－当函数 $f(t)$ 在 $t=0$ 处含冲激函数时，则有必要考察一下其Laplace 变换中积分下限的设定。对积分下限分别取 $0 ^{+}$和 $0 ^{-}$，可得到下面两种形式的 Laplace 变换：

$$
\begin{aligned}
& L _{+}[f(t)]=\int_{0^{+}}^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t \\
& L _{-}[f(t)]=\int_{0^{-}}^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t .
\end{aligned}
$$

本教材采用了后一种形式作为 $\delta$ 函数的 Laplace 变换。

### 计算
**1. δ 函数定义**
狄拉克 δ 函数定义为：

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt = 1,
$$
并且对于任意连续函数 $ f(t)$，有
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \, \delta(t) \, dt = f(0).
$$

![图片](/uploads/2026-04/ab607d.jpg){width=280px}

在工程上，我们通常关心单边拉普拉斯变换：
$$
\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0^-}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt
$$
（积分从 $ 0^-$ 开始包含 $ t=0$ 的奇异性）。

**2. 直接计算**

对于 $ f(t) = \delta(t)$，

$$
\mathcal{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^-}^{\infty} \delta(t) e^{-st} \, dt.
$$

根据 δ 函数的筛选性质，在积分区间包含 $ t=0$ 的情况下（0 包含在 $[0^-, \infty)\) 内），有
$$
\int_{0^-}^{\infty} \delta(t) g(t) \, dt = g(0),
$$
只要 $ g(t)$ 在 $ t=0$ 连续。

这里 $ g(t) = e^{-st}$，它在 $ t=0$ 处为 $ e^{0} = 1$。

因此
$$
\int_{0^-}^{\infty} \delta(t) e^{-st} \, dt = e^{0} = 1.
$$

**3. 结果**

$$
\boxed{1}
$$

即：
$$
\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1.
$$

> **冲激函数δ的拉普拉斯变换为1**

### 直观理解：瞬间冲击与“全频响应”

- **$\delta(t)$ 的物理意义**：一个极短时间内的极大脉冲，能量集中在 $t=0$，积分为 1。
- **拉普拉斯变换的物理意义**：可以理解为用复指数 $e^{-st}$ 去“探测”信号 $f(t)$ 在不同复频率 $s=\sigma+j\omega$ 上的表现。
- **$\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1$ 的含义**：
  - 无论 $s$ 取什么值（无论频率、衰减率如何），$\delta(t)$ 的“响应”都是常数 1。
  - 这意味着：**理想冲激包含了所有频率成分，而且每个频率分量的幅度都一样**。
  - 所以在频域（或 s 域）里，它是一个均匀分布的“白色谱”。
 
###   对比傅里叶变换加深理解

- 傅里叶变换：$\mathcal{F}\{\delta(t)\} = 1$（对所有角频率 $\omega$ 都是 1）。
- 拉普拉斯变换：$\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$（对所有复数 $s=\sigma+j\omega$ 都是 1）。

两者结论一致，因为 $\delta(t)$ 的频谱是平坦的，不随频率变化。

> 从采样角度理解：δ 函数像是一个“采样器”，恰好提取出 $ e^{-st} $ 在 $ t=0 $ 的值（就是 1），与 $ s $ 无关。所以结果是常数 1。

**从频域（复频域）理解**

拉普拉斯变换 $ F(s) $ 表示信号用复指数 $ e^{st} $ 分解时的系数。

- 普通函数变换后通常是 $ s $ 的函数。
- 但 δ 函数“瞬间”只有 $ t=0 $ 处非零。
- 在 $ t=0 $ 时，所有复指数 $ e^{st} $ 都等于 1（因为 $ e^{s\cdot 0} = 1 $）。
- 所以 δ 函数与任意 $ e^{st} $ 的内积（积分）都等于 δ 函数自身的面积，即 1。

这意味着 δ 函数在所有复频率 $ s $ 上有相同的“分量强度” 1，类似白噪声在频域是常数。

**从能量角度对比**

普通信号（比如阶跃、正弦）是**持续作用**的，所以拉普拉斯变换是关于 s 的函数。
- 冲激 δ(t) 只在 t=0 一瞬间存在，**总强度为 1**，之后立刻消失。它“一次性给完”所有能量.

可以这么想：
- 它对系统的影响就是：**瞬间注入一个单位能量**
- 不管 s 是多少，这个“瞬间一击”的总效果就是 1
- 所以变换结果与 s 无关，就是常数 1

和其他信号对比一下，更好懂
- 单位阶跃 $u(t)$：持续给 1，变换是 $1/s$
- 斜坡 $t$：越来越大，变换是 $1/s^2$
- 冲激 $\delta(t)$：瞬间给完，变换是 **1**

时间越集中、越“猛”，变换结果越接近常数；
时间越拖越长，变换结果越依赖 s。

一般地，

$$
\mathscr{L}\left[\delta\left(t-t_0\right)\right]=\int_0^{+\infty} \delta\left(t-t_0\right) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t=\mathrm{e}^{-s t_0}, \quad t_0 \geqslant 0 .
$$

通常记

$$
\int_{0^{+}}^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t=\mathscr{L}_{+}[f(t)], \quad \int_{0^{-}}^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t=\mathscr{L}[f(t)] .
$$

在电路上， $\mathscr{L}_{+}[f(t)]$ 称为 $0^{+}$系统， $0^{+}$表示换路后初始时刻； $\mathscr{L}[f(t)]$ 称为 $0^{-}$系统， $0^{-}$表示换路前终止时刻．

## 例题
 
 `例` 已知函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{ll}2, & 0 \leqslant t<2 \\ 3, & t \geqslant 2\end{array}\right.$ ，求函数 $f(t)$ 的拉普拉斯变换．
 解法 1 利用定义求解
$$
\begin{aligned}
F(s)= L [f(t)] & =\int_0^{+\infty} f(t) e^{-x} d t=\int_v^2 2 e^{-x} d t+\int_2^{+\infty} 3 e^{-x} d t \\
& =-\left.\frac{2}{s} e^{-x}\right|_0 ^2-\left.\frac{3}{s} e^{-x}\right|_2 ^{+\infty}=\frac{2}{s}\left(1-e^{-2 s}\right)+\frac{3}{s} e^{-2 s} \\
& =\frac{1}{s}\left(2+e^{-2 s}\right)
\end{aligned}
$$

解法2 表示为单位阶跃函数来求解．
函数 $f(t)$ 可以表示为 $f(t)=2 u(t)+u(t-2)$ ，由 $L [u(t)]=\frac{1}{s}$ 以及延迟性质得

$$
F(s)= L [f(t)]=\frac{2}{s}+\frac{1}{s} e^{-2 t} .
$$

`例` 设 $f(t)=\alpha \cos \left(t+\frac{\pi}{6}\right) \delta(t)-\beta \mathrm{e}^{-\beta t} u(3 t-5)(\alpha, \beta$ 为常数，$\beta>0)$ ，求 $f(t)$ 的拉普拉斯变换．

解 因 $u(3 t-5)=u\left(t-\frac{5}{3}\right)$ ，所以

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L}[f(t)] & =\int_0^{+\infty} \alpha \cos \left(t+\frac{\pi}{6}\right) \delta(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t-\beta \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\beta t} u\left(t-\frac{5}{3}\right) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t \\
& =\alpha \int_{-\infty}^{+\infty} \cos \left(t+\frac{\pi}{6}\right) \delta(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t-\beta \int_{\frac{5}{3}}^{+\infty} \mathrm{e}^{-(\beta+s) t} \mathrm{~d} t \\
& =\alpha\left[\cos \left(t+\frac{\pi}{6}\right) \mathrm{e}^{-s t}\right]_{t=0}+\left.\frac{\beta}{\beta+s}\left[\mathrm{e}^{-(\beta+s) t}\right]\right|_{5 / 3} ^{+\infty} \\
& =\frac{\sqrt{3}}{2} \alpha-\frac{\beta}{\beta+s} \mathrm{e}^{-\frac{5}{3}(\beta+s)}, \quad \operatorname{Re}(s)>-\beta
\end{aligned}
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：理解：如何理解1的拉普拉斯变换是1/s ★★★★★

下一篇：周期函数的拉普拉斯变换

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)