最后更新: 2025-01-20 14:21 查看: 236 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

几个常用函数的 Laplace 变换

## 几个常用函数的 Laplace 变换

`例` $L [1]= L [u(t)]=\frac{1}{s}$;

`例` $L [\delta(t)]=1$;
解

$$
\begin{aligned}
L [\delta(t)] & =\int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-s t} d t \\
& =\left.e^{-s t}\right|_{t=0}=1
\end{aligned}
$$

`例` $L \left[t^m\right]=\frac{m!}{s^{m+1}}=\frac{\Gamma(m+1)}{s^{m+1}} $

解：
$$
\begin{aligned}
L \left[t^m\right] & =\int_0^{+\infty} t^m e^{-s t} d t=\frac{1}{-s} \int_0^{+\infty} t^m d^{-s t} \\
& =\left.\frac{1}{-s} t^m e^{-s t}\right|_0 ^{+\infty}+\frac{m}{s} \int_0^{+\infty} t^{m-1} e^{-s t} d t=\frac{m}{s} L \left[t^{m-1}\right] \\
& =\frac{m(m-1)}{s^2} L \left[t^{m-2}\right]=\cdots=\frac{m!}{s^m} L [1]=\frac{m!}{s^{m+1}}
\end{aligned}
$$

`例` $L \left[ e ^{a t}\right]=\frac{1}{s-a}$;

`例` $L [\cos a t]=\frac{s}{s^2+a^2}$;
解：
$$
\begin{aligned}
L [\cos a t] & =\frac{1}{2}\left(\int_0^{+\infty} e^{j a t} e^{-s t} d t+\int_0^{+\infty} e^{-j a t} e^{-s t} d t\right) \\
& =\frac{1}{2}\left( L \left[e^{j a t}\right]+ L \left[e^{-j a t}\right]\right) \\
& =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-j a}+\frac{1}{s+j a}\right)=\frac{s}{s^2+a^2}
\end{aligned}
$$

`例` $L [\sin a t]=\frac{a}{s^2+a^2} .$
解：
$$
\begin{aligned}
L [\sin a t] & =\frac{1}{2 j}\left(\int_0^{+\infty} e^{j a t} e^{-s t} d t-\int_0^{+\infty} e^{-j a t} e^{-s t} d t\right) \\
& =\frac{1}{2 j}\left( L \left[e^{j a t}\right]- L \left[e^{-j a t}\right]\right) \\
& =\frac{1}{2 j}\left(\frac{1}{s-j a}-\frac{1}{s+j a}\right)=\frac{a}{s^2+a^2} .
\end{aligned}
$$

特点：变换的结果均为分式函数。

## 关于含冲激函数的 Laplace 变换问题
－当函数 $f(t)$ 在 $t=0$ 附近有界时，$f(0)$ 的取值将不会影响其 Laplace 变换的结果。
－当函数 $f(t)$ 在 $t=0$ 处含冲激函数时，则有必要考察一下其Laplace 变换中积分下限的设定。对积分下限分别取 $0 ^{+}$和 $0 ^{-}$，可得到下面两种形式的 Laplace 变换：

$$
\begin{aligned}
& L _{+}[f(t)]=\int_{0^{+}}^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t \\
& L _{-}[f(t)]=\int_{0^{-}}^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t .
\end{aligned}
$$

本教材采用了后一种形式作为 $\delta$ 函数的 Laplace 变换。

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