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Laplace 初值定理与终值定理

## 初值定理与终值定理
已经知道，求拉普拉斯逆变换就是通过像函数 $F(s)$ 求像原函数 $f(t)$ 的表达式．但实际中有时在知道或求得 $F(s)$ 后，我们关心的并不是 $f(t)$ 的表达式，而是 $f (t)$ 在 $t \rightarrow+0$ 或 $t \rightarrow+\infty$ 时的性质，即关心 $f(0), f(+0)=\lim _{t \rightarrow+0} f(t)$ 或 $f(+\infty)= \lim _{t \rightarrow+\infty} f(t)$ 的值．称 $f(0)$ 和 $f(+0)$ 为 $f(t)$ 的初值，称 $f(+\infty)$ 为 $f(t)$ 的终值．而它们与 $F(s)$ 有什么关系呢？下面两个定理表明，在一定条件下，$F(s)$ 能确定 $f(t)$ 的初值和终值．

**定理 8.3.2（初值定理）** 若 $\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$ ，且 $\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s)$ 存在，则

$$
\begin{equation*}
\lim _{t \rightarrow 0} f(t)=\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s) \tag{8.3.5}
\end{equation*}
$$

或

$$
\begin{equation*}
f(0)=\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s) \tag{8.3.6}
\end{equation*}
$$

证 由拉普拉斯变换微分性质

$$
\mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right]=s F(s)-f(0)
$$

由于 $\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s)$ 存在，故 $\lim _{\operatorname{Re}(s) \rightarrow+\infty} s F(s)$ 存在，且 $\lim _{\operatorname{Re}(s) \rightarrow+\infty} s F(s)=\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s)$ ．
又因为 $f^{\prime}(t)$ 满足拉普拉斯变换存在定理条件，积分 $\int_0^{+\infty} f^{\prime}(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t$ 在某 $\operatorname{Re}(s)>c_1$ 上一致收敛，因此 $\lim _{\operatorname{Re}(s) \rightarrow+\infty} f^{\prime}(t) \mathrm{e}^{-s t}=0$ ，且下式中积分与极限的次序可交换。所以

$$
\lim _{\operatorname{Re}(s) \rightarrow+\infty} \mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right]=\lim _{\operatorname{Re}(s) \rightarrow+\infty} \int_0^{+\infty} f^{\prime}(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t=\int_0^{+\infty} \lim _{\operatorname{Re}(s) \rightarrow+\infty} f^{\prime}(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t=0
$$

于是
$$
\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s)-f(0)=\lim _{\operatorname{Re}(s) \rightarrow+\infty} \mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right]=0
$$

即

$$
f(+0)=f(0)^{(1)}=\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s)
$$

这表明，$s \rightarrow \infty$ 时 $s F(s)$ 的极限即为 $f(t)$ 的初值．这反映了 $f(t)$ 的初值与 $s F(s)$在无穷远点的值之间的关系．

**定理 8.3.3（终值定理）** 若 $\mathscr{L}[f(t)]=F(s)$ ，且 $s F(s)$ 的所有奇点全在 $s$ 平面的左半平面 $\operatorname{Re}(s)<0$ 内，则

$$
\begin{equation*}
\lim _{t \rightarrow+\infty} f(t)=\lim _{s \rightarrow 0} s F(s) \tag{8.3.7}
\end{equation*}
$$

或

$$
\begin{equation*}
f(+\infty)=\lim _{s \rightarrow 0} s F(s) \tag{8.3.8}
\end{equation*}
$$

证 因为

$$
\begin{aligned}
\mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right] & =s F(s)-f(0) \\
\lim _{s \rightarrow 0} \mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right] & =\lim _{s \rightarrow 0} s F(s)-f(0)
\end{aligned}
$$

而

$$
\begin{aligned}
\lim _{s \rightarrow 0} \mathscr{L}\left[f^{\prime}(t)\right] & =\lim _{s \rightarrow 0} \int_0^{+\infty} f^{\prime}(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t=\int_0^{+\infty} \lim _{s \rightarrow 0} f^{\prime}(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t \\
& =\int_0^{+\infty} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\left.f(t)\right|_0 ^{+\infty}=f(+\infty)-f(0)
\end{aligned}
$$

所以

$$
f(+\infty)-f(0)=\lim _{s \rightarrow 0} s F(s)-f(0)
$$

即

$$
f(+\infty)=\lim _{s \rightarrow 0} s F(s)
$$

终值定理表明，$f(t)$ 在 $t \rightarrow+\infty$ 时的性态即 $f(t)$ 的终值可由 $s \rightarrow 0$ 时 $s F(s)$ 的极限决定。

定理 8.3 .2 与定理 8.3 .3 提供了由 $F(s)$ 直接求出 $f(t)$ 的初值和终值的方法．

`例` 若 $\mathscr{L}[f(t)]=\frac{1}{s+a}(a>0)$ ，求 $f(0), f(+\infty)$ ．
解 由式（8．3．6）及式（8．3．8），

$$
\begin{gathered}
f(0)=\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s)=\lim _{s \rightarrow \infty} \frac{s}{s+a}=1 \\
f(+\infty)=\lim _{s \rightarrow 0} s F(s)=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{s}{s+a}=0
\end{gathered}
$$

已知 $\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+a}\right]=\mathrm{e}^{-a t}=f(t)$ ，由此知，计算结果与实际相一致。例8．3．6的计算还表明，若已知 $F(s)$ ，求 $f(t)$ 的初值或终值时，是不必求出 $f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]$的表达式的。

在使用初值或终值定理时，应当注意定理条件是否满足．

例 8.3 .7 已知 $F(s)=\mathscr{L}[f(t)]=\frac{1}{s^2+1}$ ，问能否用初值定理和终值定理求出 $f(0)$ 和 $f(+\infty)$ ？

解 因 $\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s)=\lim _{s \rightarrow \infty} \frac{s}{s^2+1}=0$ ，所以能用初值定理求出 $f(0)$ ，且 $f(0)=0$ ．但因 $F(s)=\frac{1}{s^2+1}$ 在虚轴上有奇点 $\pm \mathrm{j}$ ，故不满足终值定理中 $F(s)$ 的所有奇点全在左半平面（ $\operatorname{Re}(s)<0$ ）内的条件，虽然

$$
\lim _{s \rightarrow 0} s F(s)=\lim _{s \rightarrow 0} \frac{s}{s^2+1}=0,
$$

但这末必是 $f(t)$ 的终值 $f(+\infty)$ ．
事实上，$f(t)=\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2+1}\right]=\sin t$ ，而 $f(t)$ 的终值 $f(+\infty)=\lim _{t \rightarrow+\infty} \sin t$ 是不存在的．这表明，因 $F(s)$ 不满足终值定理条件，所以终值定理提供的求终值的方法失效。此结论对初值定理也正确。

关于上述两定理的物理概念可作如下解释：$s \rightarrow 0$ ，相当于直流状态，因而得到电路稳定的终值 $f(+\infty)$ ；而 $s \rightarrow \infty$ ，相当于接人信号的突变（高频分量），它可以给出相应的初值 $f(0)$ ．

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