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复变函数与积分变换
第八篇 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换在求解常微分方程的应用
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2025-01-20 15:10
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拉普拉斯变换在求解常微分方程的应用
## 求解常微分方程(组) 工具 $L \left[f^{(n)}(t)\right]=s^n F(s)-s^{n-1} f(0)-s^{n-2} f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)$ . 步骤(1)将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组); (2)求解代数方程得到象函数; (3)求 Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。  `例` $y{\prime \prime}(t)+\omega^2 y(t)=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=\omega$ 解(1)令 $Y(s)= L [y(t)]$ , 对方程两边取 Laplace 变换,有 $$ s^2 Y(s)-s y(0)-y^{\prime}(0)+\omega^2 Y(s)=0 $$ 代入初值即得 $s^2 Y(s)-\omega+\omega^2 Y(s)=0$ , $$ \Rightarrow Y(s)=\frac{\omega}{s^2+\omega^2} $$ (2)求 Laplace 逆变换,得 $$ y(t)= L ^{-1}[Y(s)]=\sin \omega t . $$ `例` 利用 Laplace 变换求解微分方程 $$ x^{\prime \prime \prime}+3 x^{\prime \prime}+3 x^{\prime}+x=6 e^{-t}, \quad x(0)=x^{\prime}(0)=x^{\prime \prime}(0)=0 . $$ 解(1)令 $X(s)= L [x(t)]$ , 对方程两边取 Laplace 变换,并代入初值得 $$ s^3 X(s)+3 s^2 X(s)+3 s X(s)+X(s)=\frac{6}{s+1} $$ 求解此方程得 $X(s)=\frac{3!}{(s+1)^4}$ . (2)求 Laplace 逆变换,得 $$ x(t)= L ^{-1}[X(s)]=t^3 e^{-t} $$ `例` 利用 Laplace 变换求解微分方程组 $$ \begin{cases}x^{\prime}(t)+x(t)-y(t)=e^t, & x(0)=1 \\ y^{\prime}(t)+3 x(t)-2 y(t)=2 e^t, & y(0)=1\end{cases} $$ 解(1)令 $X(s)= L [x(t)], Y(s)= L [y(t)]$ , 对方程组两边取 Laplace 变换,并代入初值得整理得 $\left\{\begin{array}{l}(s+1) X(s)-Y(s)=\frac{s}{s-1}, \\ 3 X(s)+(s-2) Y(s)=\frac{s+1}{s-1} .\end{array}\right.$求解得 $X(s)=\frac{1}{s-1}, Y(s)=\frac{1}{s-1}$ . 令 $X(s)= L [x(t)], \quad Y(s)= L [y(t)]$ ,求解得 $X(s)=\frac{1}{s-1}, Y(s)=\frac{1}{s-1}$ . (2)求 Laplace 逆变换,得 $x(t)=y(t)= e ^t$ . `例`利用 Laplace 变换求解微分方程组 $$ \begin{cases}x^{\prime}+y^{\prime \prime}=\delta(t-1), & x(0)=y(0)=0 \\ 2 x+y^{\prime \prime \prime}=2 u(t-1), & y^{\prime}(0)=y^{\prime \prime}(0)=0\end{cases} $$ 解(1)令 $X(s)= L [x(t)], Y(s)= L [y(t)]$ , 对方程组两边取 Laplace 变换,并代入初值得 $$ \left\{\begin{array}{l} s X(s)+s^2 Y(s)=e^{-s}, \\ 2 X(s)+s^3 Y(s)=\frac{2}{s} e^{-s} . \end{array}\right. $$ 求解得 $X(s)=\frac{1}{s} e ^{-s}, Y(s)=0$ . (2)求 Laplace 逆变换,得 $x(t)=u(t-1), y(t)=0$ . ## 综合应用举例 `例`求函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{cc}1-t, & 0 \leq t \leq 1 \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$ 的 Laplace 变换 解 如图,函数 $f(t)$ 可写为  $$ \begin{aligned} f(t) & =(1-t) u(t)+(t-1) u(t-1) \\ & =u(t)-t u(t)+(t-1) u(t-1) \end{aligned} $$ 利用线性性质及延迟性质有 $L [f(t)]=\frac{1}{s}-\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s^2} e ^{-s}$ . `例`利用 Laplace 变换求解微分方程 $$ x^{\prime \prime}+4 x^{\prime}+3 x=e^{-t}, \quad x(0)=x^{\prime}(0)=1 $$ 解(1)令 $X(s)= L [x(t)]$ , 对方程两边取 Laplace 变换,并代入初值有 $$ \begin{aligned} & s^2 X(s)-s-1+4[s X(s)-1]+3 X(s)=\frac{1}{s+1} \\ \Rightarrow & X(s)=\frac{s^2+6 s+6}{(s+1)^2(s+3)}=\frac{7}{4(s+1)}+\frac{1}{2(s+1)^2}-\frac{3}{4(s+3)} . \end{aligned} $$ (2)求 Laplace 逆变换,得 $x(t)=\frac{7}{4} e ^{-t}+\frac{1}{2} t e ^{-t}-\frac{3}{4} e ^{-3 t}$ . `例`利用 Laplace 变换求解微分方程 $$ x^{\prime \prime}(t)-2 x^{\prime}(t)+2 x(t)=2 e^t \cos t, x(0)=x^{\prime}(0)=0 $$ 解(1)令 $X(s)= L [x(t)]$ ,对方程两边取 Laplace 变换有 $$ \begin{aligned} & s^2 X(s)-2 s X(s)+2 X(s)=\frac{2(s-1)}{(s-1)^2+1}, \\ \Rightarrow & X(s)=\frac{2(s-1)}{\left[(s-1)^2+1\right]^2} \end{aligned} $$ (2)求 Laplace 逆变换,得 $\qquad$ $$ \begin{aligned} x(t) & = L ^{-1}[X(s)]=e^t L ^{-1}\left[\frac{2 s}{\left(s^2+1\right)^2}\right] \\ & =e^t L ^{-1}\left[\left(\frac{-1}{s^2+1}\right)^{\prime}\right]=t e^t L ^{-1}\left[\frac{1}{s^2+1}\right]=t e^t \sin t \end{aligned} $$ `例`利用 Laplace 变换求解微分方程组 $$ \begin{cases}y^{\prime \prime}-x^{\prime \prime}+x^{\prime}-y=e^t-2, & x(0)=x^{\prime}(0)=0 \\ 2 y^{\prime \prime}-x^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+x=-t, & y(0)=y^{\prime}(0)=0\end{cases} $$ 解(1)令 $X(s)= L [x(t)], Y(s)= L [y(t)]$ , 对方程组两边取 Laplace 变换,并代入初值得整理得 $\left\{\begin{array}{l}(s+1) Y(s)-s X(s)=\frac{-s+2}{s(s-1)^2}, \\ 2 s Y(s)-(s+1) X(s)=-\frac{1}{s^2(s-1)} .\end{array}\right.$求解得 $X(s)=\frac{2 s-1}{s^2(s-1)^2}, \quad Y(s)=\frac{1}{s(s-1)^2}$ . 求解得 $X(s)=\frac{2 s-1}{s^2(s-1)^2}=-\frac{1}{s^2}+\frac{1}{(s-1)^2}$ , $$ Y(s)=\frac{1}{s(s-1)^2}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s-1}+\frac{1}{(s-1)^2} . $$ (2)求 Laplace 逆变换,得 $$ x(t)=-t+t e^t, \quad y(t)=1-e^t+t e^t $$ `例`利用 Laplace 变换求解微分方程组 $$ \begin{cases}x^{\prime \prime}-x-2 y^{\prime}=e^t, & x(0)=-3 / 2, \quad x^{\prime}(0)=1 / 2 \\ x^{\prime}-y^{\prime \prime}-2 y=t^2, & y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-1 / 2\end{cases} $$ 解(1)令 $X(s)= L [x(t)], Y(s)= L [y(t)]$ , 对方程组两边取 Laplace 变换,并代入初值得 $$ \begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} s^2 X(s)+\frac{3}{2} s-\frac{1}{2}-X(s)-2 s Y(s)+2=\frac{1}{s-1}, \\ s X(s)+\frac{3}{2}-s^2 Y(s)+s-\frac{1}{2}-2 Y(s)=\frac{2}{s^3} . \end{array}\right. \\ \Rightarrow & X(s)=-\frac{3}{2(s-1)}+\frac{2}{s^2}, \quad Y(s)=-\frac{1}{2(s-1)}-\frac{1}{s^3}+\frac{3}{2 s}, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\Rightarrow X(s)=-\frac{3}{2(s-1)}+\frac{2}{s^2}, \quad Y(s)=-\frac{1}{2(s-1)}-\frac{1}{s^3}+\frac{3}{2 s},\\ &\text {(2)求 Laplace 逆变换,得 }\\ &x(t)=-\frac{3}{2} e^t+2 t, \quad y(t)=-\frac{1}{2} e^t-\frac{1}{2} t^2+\frac{3}{2} \end{aligned} $$ `例`利用 Laplace 变换求解积分方程 $$ f(t)=a t-\int_0^t \sin (x-t) f(x) d x, \quad(a \neq 0) $$ 解(1)由于 $f(t) * \sin t=\int_0^t f(x) \sin (t-x) d x$ ,因此原方程为 $f(t)=a t+f(t) * \sin t$ . (2)令 $F(s)= L [f(t)]$ ,在方程两边取 Laplace 变换得 $$ \begin{aligned} & F(s)=a L [t]+F(s) \cdot L [\sin t]=\frac{a}{s^2}+F(s) \cdot \frac{1}{s^2+1}, \\ \Rightarrow & F(s)=\frac{a}{s^2}+\frac{a}{s^4} \end{aligned} $$ (3)求 Laplace 逆变换,得 $f(t)=a t+\frac{a t^3}{6}$ .
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