最后更新: 2025-01-20 15:12 查看: 114 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

拉普拉斯变换在求物理上应用

## 拉普拉斯变换在求物理上应用

`例`设质量为 $m$ 的物体静止在原点，在 $t = 0$ 时受到 $x$ 方向的冲击力 $F_0 \delta(t)$ 的作用，其中 $F_0$ 为常数，求物体的运动方程。

解 设物体的运动方程为 $x=x(t)$ ，根据 Newton 定律有

$$
m x^{\prime \prime}(t)=F_0 \delta(t), x(0)=x^{\prime}(0)=0
$$

令 $X(s)= L [x(t)]$ ，在方程两边取 Laplace 变换得

$$
m s^2 X(s)=F_0, \quad \Rightarrow \quad X(s)=\frac{F_0}{m} \cdot \frac{1}{s^2}
$$

求 Laplace 逆变换，得物体的运动方程为 $x(t)=\frac{F_0}{m} t$ ．

`例`设有如图所示的 $R$ 和 $L$ 串联电路，在 $t = 0$ 时刻接到直流电势 $E$ 上，求电流 $i(t)$ 
 ![图片](/uploads/2025-01/510f74.jpg)
 
解 由 Kirchhoff 定律知，$i(t)$ 满足方程

$$
R i(t)+L i^{\prime}(t)=E, \quad i(0)=0 .
$$

令 $I(s)= L [i(t)]$ ，在方程两边取 Laplace 变换得

$$
R I(s)+L s I(s)=\frac{E}{s},
$$

求解此方程得 $I(s)=\frac{E}{s(R+s L)}=\frac{E}{R}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{R}{L}}\right)$ ．求Laplace逆变换，得 $i(t)=\frac{E}{R}\left(1- e ^{-\frac{R}{L} t}\right)$ ．

`例` 质量为 $m$ 的物体挂在弹簧系数为 $k$的弹簧一端（如图），作用在物体上的外力为 $f(t)$ 。若物体自静止平衡位置 $x =0$ 处开始运动，求该物体的运动规律 $x ( t )$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/bd02a7.jpg)
解（1）由Newton 定律及Hooke定律有

$$
m x^{\prime \prime}(t)=f(t)-k x(t)
$$

即物体运动的微分方程为

$$
m x^{\prime \prime}(t)+k x(t)=f(t), \quad x(0)=x^{\prime}(0)=0
$$

$m x^{\prime \prime}(t)+k x(t)=f(t), \quad x(0)=x^{\prime}(0)=0$ ．
（2）令 $X(s)= L [x(t)], F(s)= L [f(t)]$ ，
对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得

$$
m s^2 X(s)+k X(s)=F(s)
$$

记 $\omega_0^2=\frac{k}{m}$ ，有 $X(s)=\frac{1}{m \omega_0} \cdot \frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2} \cdot F(s)$ ，
（3）由 $L ^{-1}\left[\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}\right]=\sin \omega_0 t$ ，并利用卷积定理有 $x(t)= L ^{-1}[X(s)]=\frac{1}{m \omega_0} \cdot\left[\sin \omega_0 t * f(t)\right]$.
当 $f(t)$ 具体给出时，即可以求的运动方程 $x(t)$ ．
 由 $L ^{-1}\left[\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}\right]=\sin \omega_0 t$ ，利用卷积定理有

$$
x(t)= L ^{-1}[X(s)]=\frac{1}{m \omega_0} \cdot\left[\sin \omega_0 t * f(t)\right]
$$

当 $f(t)$ 具体给出时，即可以求的运动方程 $x(t)$ ．

例如 设物体在 $t=0$ 时受到冲击力 $f(t)=A \delta(t), A$ 为常数。
此时 $x(t)=\frac{A}{m \omega_0} \cdot \sin \omega_0 t$ ．
－可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动，振幅为 $\frac{A}{m \omega_0}$ ，角频率为 $\omega_0$ ，称 $\omega_0$ 为该系统的自然频率或固有频率。

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