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复变函数与积分变换
第八篇 拉普拉斯变换
利用 Matlab 实现 Laplace 变换
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2025-01-20 15:14
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利用 Matlab 实现 Laplace 变换
## 利用 Matlab 实现 Laplace 变换 在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数来进行 Laplace 变换与 Laplace 逆变换。 （1） $F =$ laplace（f）对函数 $f(t)$ 进行 Laplace 变换，对并返回结果 $F(s)$ 。 （2） $f =$ ilaplace（ F ）对函数 $F(s)$ 进行 Laplace 逆变换，对并返回结果 $f(t)$ 。 求函数 $f(t)=t e ^{-3 t} \sin 2 t$ 的 Laplace 变换。 解 Matlab 程序  输出 $F =4 /\left(( s +3)^{\wedge} 2+4\right)^{\wedge} 2 ^*(s+3)$ 即 $F(s)=\frac{4(s+3)}{\left[(s+3)^2+4\right]^2}$ ． `例`求函数 $f(t)=\frac{\sin t}{t}$ 的 Laplace 变换。 解 Matlab 程序  输出 $F = \operatorname { a t a n } ( 1 / s )$ 其中， $\operatorname{atan}$ 为反正切函数。 即 $F(s)=\arctan \frac{1}{s}=\operatorname{arccot} s$ 。 `例`求函数 $F(s)=\frac{s^2+2 s+1}{\left(s^2-2 s+5\right)(s-3)}$ 的 Laplace 逆变换。 解 Matlab 程序  输出 $f=2 * \exp (3 * t)-\exp (t) * \cos (2 * t)+\exp (t) * \sin (2 * t)$其中， $\exp$ 为指数函数。 即 $f(t)=2 e ^{3 t}- e ^t \cos 2 t+ e ^t \sin 2 t$ 。 `例`求函数 $F(s)=\frac{1}{s-1} e ^{-s}$ 的 Laplace 逆变换。 解 Matlab 程序  输出 $f =$ Heaviside $(t-1) * \exp (t-1)$ 其中，Heaviside为单位阶跃函数 $u (t)$ ． 即 $f(t)= e ^{t-1} u(t-1)=\left\{\begin{array}{cc} e ^{t-1}, & t>1, ~ \\ 0, & t<1 .\end{array}\right.$
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