最后更新: 2026-04-16 21:11 查看: 22 次纠错评论(0) 课件开VIP

拉普拉斯变换在线性系统的动态特性中的应用

## 拉普拉斯变换在线性系统的动态特性中的应用

1．系统的激励与响应
在实际应用中，常遇到对系统的分析和研究，所谓系统常指由一组相关联的元素构成的整体．如图 8.7 所示的 $R L C$ 电路，或图 8.8 所示的 $M K C$（质量－弹簧阻尼）体系均是系统。当外界给于系统一作用时，系统对这种作用就会有所反应。将外界施加于系统的作用称为激励或输人，将系统出现的反应称为响应或输出。图8．7的 $R L C$ 电路中外加的电动势 $e(t)$ 或图 $8.8 M K C$ 系统中施加的外力 $f(t)$ 都是系统的输入（函数）或激励；而电容器两端的电压 $u_C(t)$ 或电路中的电流函数 $i(t)$ 或 $M K C$ 系统中物体相对静止位置产生的位移 $x(t)$ 均为系统的响应或输出（函数）．
 
 ![图片](/uploads/2026-04/827ca3.jpg)
 
  系统由激励到响应的过程可用图8．9描述．在系统理论中，最基本的问题是已知系统的激励，求出系统的响应．
 
  ![图片](/uploads/2026-04/6b1c03.jpg)

2．线性系统
若激励和响应间的关系可用常系数线性微分方程表示，则称这样的系统为线性系统．所以线性系统微分方程的一般形式为

$$
\begin{align*}
& a_n \frac{\mathrm{~d}^n y}{\mathrm{~d} t^n}+a_{n-1} \frac{\mathrm{~d}^{n-1} y}{\mathrm{~d} t^{n-1}}+\cdots+a_1 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}+a_0 y \\
= & b_m \frac{\mathrm{~d}^m x}{\mathrm{~d} t^m}+b_{m-1} \frac{\mathrm{~d}^{m-1} x}{\mathrm{~d} t^{m-1}}+\cdots+b_1 \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}+b_0 x, \tag{8.4.1}
\end{align*}
$$

其中，$a_n, \cdots, a_0, b_m, \cdots, b_0$ 均为常数．$x=x(t), y=y(t)$ 分别为系统的激励和响应，$n$称为此线性系统的阶数．

如图 8.7 所示的 $R L C$ 电路，根据基尔霍夫（Kirchhoff）定理

$$
\begin{gathered}
u_C+u_R+u_L=e(t) \\
u_R=R i(t), \quad i(t)=C \frac{\mathrm{~d} u_C}{\mathrm{~d} t}, \quad u_L=L \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} i(t)
\end{gathered}
$$

则响应 $u_C(t)$ 与激励 $e(t)$ 的关系为

$$
L C \frac{\mathrm{~d}^2 u_C}{\mathrm{~d} t^2}+R C \frac{\mathrm{~d} u_C}{\mathrm{~d} t}+u_C=e(t)
$$

又如图8．8所示的 $M K C$ 系统，响应 $x(t)$ 与激励 $f(t)$ 的关系为

$$
\left\{\begin{array}{l}
m x^{\prime \prime}+c x^{\prime}+k x=f(t) \\
x(0)=x^{\prime}(0)=0
\end{array}\right.
$$

所以图8．7，图8．8所示的系统均为线性系统．
3．相似系统、相似量
许多物理本质完全不同的系统，可以用完全相同形式的微分方程来描述，这种具有完全相同形式微分方程的系统称为相似系统。以相同微分方程表示的不同物理量称为相似量．根据相似概念，只要是相似系统就具有相似的动态特性．因此研究系统的动态特性时，可以不必考虑它们物理上的本质差异，只研究其一般形式。在机－电相似系统中，力 $F$ 与电压 $U$ 相似，质量 $M$ 与电感 $L$ 相似，黏性阻尼系数 $C$与电阻 $R$ 相似等．有了这种相似关系，就可以用电气模拟的方法来研究机械、热工、流体等系统．在以下叙述中将线性系统简称为系统，若无特殊说明，本部分所及系统均指线性系统．

4．频率响应函数的幅频、相频特性
记 $\mathscr{L}[x(t)]=X(s), \mathscr{L}[y(t)]=Y(s)$ ，则当系统的初始条件为零，即

$$
y^{(n-1)}(0)=\cdots=y^{\prime}(0)=y(0)=0, \quad x^{(m-1)}(0)=\cdots=x^{\prime}(0)=x(0)=0
$$

时，对式（8．4．1）两侧作拉普拉斯变换，可得

$$
\begin{equation*}
\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_m s^m+b_{m-1} s^{m-1}+\cdots+b_1 s+b_0}{a_n s^n+a_{n-1} s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0} \triangleq H(s) . \tag{8.4.2}
\end{equation*}
$$

于是，$Y(s)=H(s) X(s), H(s)$ 被称为 $n$ 阶线性系统（8．4．1）的传递函数．当 $s=\mathrm{j} \omega$时，$H(s)=H(\mathrm{j} \omega)=\frac{Y(\mathrm{j} \omega)}{X(\mathrm{j} \omega)}, H(\mathrm{j} \omega)$ 称作为 $n$ 阶系统（8．4．1）的频率响应函数，简称为频率响应。这时，由于 $s=\mathrm{j} \omega$ ，所以 $H(\mathrm{j} \omega)$ 是系统初始条件为零时，输出与输人的傅里叶变换之比，它是一个复函数．

设

$$
\begin{gather*}
H(\mathrm{j} \omega)=R(\omega)+\mathrm{j} I(\omega) \\
|H(\mathrm{j} \omega)|=A(\omega), \quad \arg [H(\mathrm{j} \omega)]=\varphi(\omega) \tag{8.4.3}
\end{gather*}
$$

则

$$
\begin{gather*}
H(\mathrm{j} \omega)=A(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \varphi(\omega)},  \tag{8.4.4}\\
|H(\mathrm{j} \omega)|=A(\omega)=\sqrt{R^2(\omega)+I^2(\omega)} \tag{8.4.5}
\end{gather*}
$$

式（8．4．5）表示输出与输人比的幅值随频率 $\omega$ 的变化规律，称为系统的**幅频特性**．

$$
\begin{equation*}
\varphi(\omega)=\arctan \frac{I(\omega)}{R(\omega)} \tag{8.4.6}
\end{equation*}
$$

表示输出与输人的相位差随频率 $\omega$ 的变化规律，称为系统的**相频特性**．
5．一阶线性系统及其应用
一阶系统和二阶系统是最常用的线性系统．下面通过对一阶系统的分析，来说明拉普拉斯变换在线性系统分析中的应用．

一阶线性系统微分方程的一般形式为

$$
\begin{equation*}
a_1 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}+a_0 y=b_0 x \tag{8.4.7}
\end{equation*}
$$

其中，$y=y(t), x=x(t)$ ，当初始状态 $y(0)=0$ 时，对（8．4．7）两边同时取拉普拉斯变换得

$$
\left(a_1 s+a_0\right) Y(s)=b_0 X(s)
$$

所以系统的传递函数

$$
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_0}{a_1 s+a_0}=\frac{b_0}{a_0} \frac{1}{1+\frac{a_1}{a_0} s},
$$

令 $s_0=\frac{b_0}{a_0}, \tau=\frac{a_1}{a_0}$ ，则 $H(s)=s_0 \frac{1}{1+s \tau}$ ．
当 $s=\mathrm{j} \omega$ 时，得系统（8．4．7）的频率响应函数

$$
\begin{equation*}
H(\mathrm{j} \omega)=s_0 \frac{1}{1+\mathrm{j} \omega \tau}, \tag{8.4.8}
\end{equation*}
$$

其幅频、相频特性分别为

$$
\begin{align*}
& A(\omega)=|H(\mathrm{j} \omega)|=\frac{\left|s_0\right|}{\sqrt{1+(\omega \tau)^2}},  \tag{8.4.9}\\
& \varphi(\omega)=\arg [H(\mathrm{j} \omega)]=-\arctan (\omega \tau) \tag{8.4.10}
\end{align*}
$$

称 $\tau=\frac{a_1}{a_0}$ 为系统的时间常数，$s_0=\frac{b_0}{a_0}$ 为系统的静态灵敏度．
下面以一阶系统在单位阶跃激励下的响应为例，来说明拉普拉斯变换在分析系统的响应以及系统的幅频、相频特性的作用．

`例` 对一阶系统 $a_1 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}+a_0 y=b_0 x$ ，若静态灵敏度 $s_0=1, \tau=\frac{a_1}{a_0}>0$ ，输入 $x(t)=u(t)$ 为单位阶跃函数，求单位阶跃函数的响应函数 $y(t)$ 以及系统的幅频、相频特性．

解 设 $\mathscr{L}[x(t)]=X(s), \mathscr{L}[y(t)]=Y(s)$ ，则 $X(s)=\mathscr{L}[u(t)]=\frac{1}{s}$ ．
由 $s_0=1$ ，得 $H(s)=s_0 \frac{1}{1+s \tau}=\frac{1}{1+s \tau}$ ，所以

$$
\begin{aligned}
& Y(s)=H(s) X(s)=\frac{1}{s(1+s \tau)} \\
& y(t)=\mathscr{L}^{-1}[Y(s)]=\left.\frac{\mathrm{e}^{s t}}{[s(1+s \tau)]^{\prime}}\right|_{s=0}+\left.\frac{\mathrm{e}^{s t}}{[s(1+s \tau)]^{\prime}}\right|_{s=-\frac{1}{\tau}}=1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}
\end{aligned}
$$

所以响应函数为

$$
y(t)=1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}},
$$

其中第一项为常数，是系统的稳态响应，第二项 $\mathrm{e}^{-\frac{t}{\mathrm{r}}}$ 是时间 $t$ 的指数衰减函数，当 $t \rightarrow \infty$ 时， $\mathrm{e}^{-\frac{t}{\mathrm{t}}} \rightarrow 0$ ，是系统的瞬态响应．

当然，还可以用拉普拉斯变换的卷积性质求响应函数 $y(t)$ ．事实上，因为

$$
Y(s)=H(s) X(s), \quad h(t)=\mathscr{L}^{-1}[H(s)]=\left.\frac{\mathrm{e}^{s t}}{[s(1+s \tau)]}\right|_{s=\frac{-1}{\tau}}=\frac{1}{\tau} \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}},
$$

而 $x(t)=u(t)$ ，由卷积性质

$$
y(t)=u(t) * h(t)=\int_0^t \frac{1}{\tau} \mathrm{e}^{-\frac{t \xi}{\tau}} \mathrm{~d} \xi=\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} \int_0^t \mathrm{e}^{\frac{\xi}{\tau}} \mathrm{d} \frac{\xi}{\tau}=1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} .
$$

这种求输出 $y(t)$ 的方法，当 $h(t) * x(t)$ 易求时是很有效的．
当 $s=\mathrm{j} \omega$ 时，得一阶系统的频率响应函数：

$$
H(\mathrm{j} \omega)=\frac{1}{1+\mathrm{j} \omega \tau}=\frac{1-\mathrm{j} \omega \tau}{|1+\mathrm{j} \omega \tau|^2}
$$

其幅频特性为

$$
A(\omega)=|H(\mathrm{j} \omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega \tau)^2}}
$$

相频特性为

$$
\varphi(\omega)=-\arctan (\omega \tau)
$$

下面分析输出 $y(t)$ ，幅频特性 $A(\omega)$ ，相频特性 $\varphi(\omega)$ 在工程设计中的作用．因输出 $y=1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\mathrm{r}}}(t>0)$ ，所以一阶系统的单位阶跃响应是一条单调递增曲线（图 8．10）．$t=0$ 时，输出 $y(t)=0$ ，随 $t$ 增加，输出 $y(t)$ 按指数规律增大，最终趋于稳态．由图8．10知，当 $t=\tau$ 时，输出量为稳态的 $63.2 \%$ ；当 $t=4 \tau$ 时，则达 $98.2 \%$ 。由此知，$\tau$ 越小，响应速度越快，达到稳态值 $y_w=1$ 的时间越短，所以尽可能采用时间常数 $\tau$ 值小的系统，一般把输出达到稳态值的 $98 \%$ 所需的时间 $4 \tau$ 作为响应速度
 ![图片](/uploads/2026-04/24cacd.jpg)
 
指标．
以上是通过输出 $y(t)$ 在时域上的变化对参数 $\tau$ 讨论的结果．同时，在实际中人们还希望选出的设计参数使得系统工作频率范围宽一些，从而使系统的适应性更强，那么参数 $\tau$ 还应满足哪些条件呢？

因 $A(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega \tau)^2}}, \varphi(\omega)=-\arctan (\omega \tau)$ ，所以系统的工作频率范围取决于 $\tau$ ．在 $\omega \tau$ 较小时，$A(\omega) \approx 1,|\varphi(\omega)|$ 较小，即幅值和相位的失真都较小，当 $\omega \tau$ 值一定时，$\tau$ 越小，系统的工作频率范围越宽．例如，在 $\omega \tau=0.3$ 处，当 $\tau=0.3$ 时，对应频率 $\omega=1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ ，系统的工作范围为 $0 \sim 1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ ；当 $\tau=3$ 时，$\omega=0.1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ ．系统工作频率范围减小为 $0 \sim 0.1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ ．可见常数 $\tau$ 越小，工作频率范围越宽，反之越窄．

综上所述，从对系统的时域特性、频率特性的分析中知，为了减小一阶系统的稳态响应动态误差，增大工作频率范围，应尽可能采用时间常数 $\tau$ 小的系统．

常见的 $R C$ 电路，弹簧 $K$ 和阻尼器 $C$ 组成的机械系统，以及热电偶测温系统都是一阶系统．

用类似的方法可以分析确定二阶或更高阶线性系统的设计参数，当然情况更复杂一些，感兴趣的读者可参考有关书籍．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：拉普拉斯变换在求物理上应用

下一篇：利用 Matlab 实现 Laplace 变换

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)