最后更新: 2025-01-20 14:51 查看: 34 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

将实系数真分式化为部分分式

1．$Q(s)$ 含单重一阶因子的情况若 $Q(s)$ 含单重一阶因子 $(s-a)$ ，即 $Q(s)=(s-a) Q_1(s)$ ，则 $F(s)=\frac{P(s)}{Q(s)}=\frac{P(s)}{(s-a) Q_1(s)}=\frac{A}{s-a}+\frac{P_1(s)}{Q_1(s)}$ ，

将上式两边同乘以 $(s-a)$ 得

$$
\frac{P(s)}{(s-a) Q_1(s)}(s-a)=A+\frac{P_1(s)}{Q_1(s)}(s-a)
$$

令 $s=a$ ，即得 $A=\left.\frac{P(s)}{Q_1(s)}\right|_{s=a}=\frac{P(a)}{Q_1(a)}$ ．

2．$Q(s)$ 含多重一阶因子的情况若 $Q(s)$ 含多重一阶因子 $(s-a)^m$ ，即 $Q(s)=(s-a)^m Q_2(s)$ ，则 $F(s)=\frac{P(s)}{Q(s)}=\frac{P(s)}{(s-a)^m Q_2(s)}$

$$
=\frac{A_0}{(s-a)^m}+\frac{A_1}{(s-a)^{m-1}}+\cdots+\frac{A_{m-1}}{s-a}+\frac{P_2(s)}{Q_2(s)}
$$

将上式两边同乘以 $(s-a)^m$ 得

$$
\frac{P(s)}{Q_2(s)}=A_0+A_1(s-a)+\cdots+A_{m-1}(s-a)^{m-1}+\frac{P_2(s)}{Q_2(s)}(s-a)^m
$$

令 $s=a$ ，即得 $A_0=\left.\frac{P(s)}{Q_2(s)}\right|_{s=a}=\frac{P(a)}{Q_2(a)}$ ，
两边逐次求导，并令 $s = a$ ，即得

$$
A_k=\frac{1}{k!} \frac{d^k}{d s^k}\left(\frac{P(s)}{Q_2(s)}\right)_{s=a} \quad(k=1,2, \cdots, m-1)
$$

－上面讨论了 $Q(s)$ 含单重和多重一阶因子的情况，如果是在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。
－但如果仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。
－由于实系数多项式的复零点总是互为共轭地成对出现的，即如果复数 $z=a+j b$ 为 $Q(s)$ 的零点，那么它的共轭复数 $\bar{z}=a-j b$ 也必为 $Q(s)$ 的零点。因此，$Q(s)$ 必含有（实的）二阶因子 $(s-z)(s-\bar{z})=(s-a)^2+b^2$ 。
－下面需进一步讨论含实二阶因子的情况。

3．$Q(s)$ 含单重二阶因子的情况
若 $Q (s)$ 含单重二阶因子 $(s-a)^2+b^2$ ，即

$$
Q(s)=\left[(s-a)^2+b^2\right] Q_3(s)
$$

则 $F(s)=\frac{P(s)}{\left[(s-a)^2+b^2\right] Q_3(s)}=\frac{C(s-a)+b D}{(s-a)^2+b^2}+\frac{P_3(s)}{Q_3(s)}$
将上式两边同乘以 $(s-a)^2+b^2$ ，得

$$
\begin{gathered}
\quad \frac{P(s)}{Q_3(s)}=C(s-a)+b D+\frac{P_3(s)}{Q_3(s)}\left[(s-a)^2+b^2\right], \\
\text { 令 } s=a+j b, \text { 有 } \frac{P(a+j b)}{Q_3(a+j b)}=j b C+b D,
\end{gathered}
$$

令 $s=a+j b$ ，有 $\frac{P(a+j b)}{Q_3(a+j b)}=j b C+b D$ ，则 $C=\frac{1}{b} \operatorname{Im}\left[\frac{P(a+j b)}{Q_3(a+j b)}\right], D=\frac{1}{b} \operatorname{Re}\left[\frac{P(a+j b)}{Q_3(a+j b)}\right]$ ．求出系数 $C$ 和 $D$ 后，则 $\frac{C(s-a)+b D}{(s-a)^2+b^2}$ 的逆变换不难得到：

$$
L ^{-1}\left[\frac{C(s-a)+b D}{(s-a)^2+b^2}\right]=e^{a t}(C \cos b t+D \sin b t)
$$

4.$Q(s)$ 含多重二阶因子的情况（略）

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